UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
André Gentil Almeida Leite
PINÇA ÓPTICA DUPLA: ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE
UMA MICROESFERA DURANTE A TRANSIÇÃO EM UM POÇO
DUPLO DE POTENCIAL
Belo Horizonte
2016
André Gentil Almeida Leite
PINÇA ÓPTICA DUPLA: ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE
UMA MICROESFERA DURANTE A TRANSIÇÃO EM UM POÇO
DUPLO DE POTENCIAL
Dissertação apresentada ao Pro-
grama de Pós-Graduação do Depar-
tamento de Física do Instituto de
Ciências Exatas da Universidade Fe-
deral de Minas Gerais, como requi-
sito parcial para a obtenção do tí-
tulo de Mestre em Física.
Orientador: Dr. Ubirajara Agero
Batista
Co-Orientador: Dr. Flávio Augusto
de Melo Marques
Belo Horizonte
2016
À vida
Agradecimentos
Agradeço a Deus pelo sopro da vida, pela luz que me conduziu durante todo esse
tempo de estudo, e pela força que implantou em minha alma, sem a qual não teria
conseguindo concluir essa etapa.
Agradeço à minha mãe Júlia e a minha irmã Sandra, por serem meu amparo e
apoio em todos os momentos da minha vida, por acreditarem e incentivarem todos
os meus sonhos.
Aos amigos, primos e familiares, pelo companheirismo e apoio.
Aos meus amigos Neto, Letícia, João Carlos, Paulo Fernando, Jardem e Fanuel
pelo auxílio indispensável.
Ao professor, Dr. Ubirajara Agero Batista, pela disponibilidade e orientação;
pelo conhecimento e experiência compartilhados.
Ao co-orientador, professor Dr. Flávio Augusto de Melo Marques, pelo tempo
dispendido na orientação deste trabalho, pelas sugestões, intervenções e principal-
mente, pelas palavras de incentivo.
A família de João Carlos e Erasmo por sempre me receber como um membro da
família.
Aos amigos do laboratório, Ana, Kennedy, Jéssica, Lídia, Lívia, Paula, Patricia,
Sérgio sempre presentes.
A todos os servidores da Universidade Federal de Minas Gerais que me ajudaram,
direta ou indiretamente.
Às instituições financiadoras: CNPq e Fapemig, pela concessão de bolsas, inves-
timentos nos materiais de consumo e na estrutura do laboratório.
"Uma vida mansa e isolada no interior, com a possibilidade de ser útil a quem é
fácil ser bom, pessoas que não estão acostumadas a ser servidas. E trabalhar com
algo que pode ser útil. Além de descansar, natureza, livros, música, amar seu
próximo. Essa é a minha idéia de felicidade. E, então, acima de tudo, você como
parceira e, quem sabe, filhos. O que mais o coração de um homem pode
desejar?"(Na Natureza Selvagem)
Sumário
1 Introdução 8
2 Pinças ópticas e procedimento experimental 12
2.1 Teoria da pinça óptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1 Força de gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Limites de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.3 Limite da óptica geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.4 Teoria MDSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Procedimentos Experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 Sistemas de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Montagem Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.3 Preparação das amostras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.4 Atrito sobre a microesfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.5 Distância entre as Pinças e Intensidade . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.6 Cálculo do erro experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Determinando a Constante k da pinça óptica . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.1 Método de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.2 Método utilizando o teorema de equipartição . . . . . . . . . . 35
2.3.3 Valores de k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Movimento Browniano 37
3.1 Equação de Langevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Equação de Langevin em um potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4
4 Resultados e Discussão 47
4.1 Resultados Experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5 Conclusões e Perspectivas 68
A Programa para o cálculo do τ 69
B Simulação 74
Resumo
No mundo microscópico, a luz pode ser usada como uma ferramenta mecâ-
nica, podendo fazer muito mais do que simplesmente iluminar um objeto. Assim,
utilizando-se duas pinças ópticas é possível criar um poço de potencial duplo, o
qual permite aprisionar uma microesfera e analisar a estatística de suas transições
entre os poços. Nesse sentido, este estudo verificou, experimentalmente, a relação
das durações de transições com a distância entre os poços de potenciais, bem como,
se essas durações são distribuições que obedecem a uma lei de potência como pre-
visto teoricamente. Assim, a partir de um um estimador escravo denotado por ξ,
referente a uma equação escravo, foi analisado o equilíbrio da suscetibilidade do pro-
cesso de Lagevin em uma dimensão num potencial φ(t). Em seguida, montou-se um
setup óptico com uma pinça óptica dupla para realizar medições das estatísticas, a
partir de uma microesfera de poliestireno com diâmetro de 3 µm para três distân-
cias entre os poços de potencial (2,87, 3,00 e 3,13 µm). Os resultados apontaram
que o comportamento de ξ obedece uma lei de potência, com o expoente α, sendo
que o valor de α cresce para distâncias maiores e diminui para distâncias menores.
Comparando-se os resultados experimentais com a simulação realizada, constatou-se
o mesmo comportamento em ambos os casos.
Abstract
In the microscopic world, light can be used as a "mechanical tool". It can do much
more than simply illuminate an object, such as, transmitting energy in the form of
heat or moment. Therefore, using two optical tweezers it is possible to create a dou-
ble potential well, which allows you to trap a microsphere and analyze the statistics
of its transitions between wells. In this sense, this study verified, experimentally,
the dependence of durations with the distance between potentials wells, as well as if
these durations are distributions that obey a power law as theoretically envisaged.
Thus, from a slave estimator denoted by ξ, referring to a slave equation, the equi-
librium of susceptibility of the Lagevin process was analyzed in one dimension x(t)
and a potential φ(t). Then, we build an optical setup with a double optical tweezer
to carry out statistical measurements, from a polystyrene microsphere with a dia-
meter of 3 µm for three distances between the potential wells (2.87, 3.00 and 3.13
µm). The results showed that the behavior of ξ obeys a power law, with exponent
α, with values growing with longer distances between wells. Comparing the expe-
rimental results with the simulation performed, we obtained the same behaviour in
both cases.
Capítulo 1
Introdução
A luz é capaz de interagir com a matéria, de tal forma que em situações especiais
é capaz de aprisionar a matéria, mas com a construção do primeiro laser em 1960,
foi possível realizar o primeiro experimento com pinças ópticas, realizado por Artur
Ashikin e colegas de trabalho, do Bell labs em 1969 [1, 2] .
O funcionamento da pinça óptica consiste em um feixe de laser monocromático
que é focalizado por uma objetiva, no seu ponto focal, que devido a algumas aberra-
ções esféricas, se torna uma região focal. Nessa região, existe um enorme gradiente
de intensidade do feixe de laser, e como resultado, temos uma pressão da luz sobre
um objeto dielétrico, sendo que essa força varia de acordo com o índice de refração
do meio e do objeto. Tal fenômeno faz com que o objeto fique "preso"nessa região
focal, desde que o índice de refração do objeto seja maior que o do fluido no qual ele
está inserido. Utilizando duas pinças ópticas é possível criar um poço de potencial
duplo, o qual permite aprisionar uma microesfera e analisar as estatísticas de suas
transições entre os poços.
Nesse sentido, o objetivo desta dissertação foi verificar experimentalmente a re-
lação das durações de transições com a distância entre os poços de potenciais. Para
tanto, foi utilizado o mesmo método proposto por David S. et al. [3], o qual consiste
em criar um estimador escravo denotado por ξ, referente a uma equação escravo,
para analisar o equilíbrio da suscetibilidade do processo de Lagevin em uma dimen-
são e um potencial φ(t). Em um dos exemplos do artigo, é realizada uma simulação
do processo de Lagevin em um potencial da forma: φ(t) = (1−x
2)2
4
, com o objetivo
8
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 9
de verificar se a distribuição de probabilidade de ξ obedece a uma lei de potência.
O experimento realizado para criar um potencial, similar ao exemplo sugerido
no artigo, consistiu basicamente em criar dois poços de potenciais, como mostrado
na Fig. 1.1, utilizando a técnica de pinçamento óptico. Para tanto, foi montado um
setup óptico com uma pinça óptica dupla e realizado medições das estatísticas sobre
a duração e trajetória das transições. Na região delimitada por um quadrado na Fig.
1.1, temos uma região convexa do potencial onde ocorrem as transições da partícula
quando ela passa de um poço para o outro. É nesta região que será realizada toda
análise numérica.
Neste trabalho foi verificado se as durações das transições são distribuições que
obedecem a uma lei de potência, como previsto em [3], e medido o expoente da lei
de potência associado. Deste modo, foram realizadas aquisições de uma série de
transições de uma microesfera de poliestireno com diâmetro de ≈ 3 µm para três
distâncias entre os poços de potencial (2,87, 3,00 e 3,13 µm). A partir da análise
dos dados experimentais, obtivemos a distribuição das posições da microesfera, que
nos fornece uma ideia do perfil das duas pinças ópticas; e consequentemente, o seu
potencial efetivo, bem como, a distribuição da posição da partícula. Além disso,
medimos o valor da constante k da pinça óptica, através do Teorema de flutuação-
dissipação.
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 10
Figura 1.1: Poço de potencial duplo criado pela pinça óptica, região indicada onde
a segunda derivada do potencial é menor que zero φ′′(xt) < 0.
Além do mais, para complementar o trabalho experimental, foi realizada uma
simulação do fenômeno estudado cujos resultados foram comparados com os resul-
tados obtidos experimentalmente.
A dissertação está organizada em cinco capítulos, conforme descritos a seguir:
• Capítulo 1: Introdução
• Capítulo 2: Pinças ópticas e procedimento experimental
A primeira seção desse capítulo abordará o funcionamento da pinça óptica,
toda a teoria envolvida e os limites de seu funcionamento. A segunda, apre-
sentará o sistema de coordenadas utilizado. A terceira, contêm os principais
detalhes do arranjo experimental. A última seção, que trata de medidas expe-
rimentais, descreverá o método de análise de dados utilizado.
• Capítulo 3: Movimento Browniano
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 11
A primeira seção do capítulo apresentará uma breve discussão sobre o mo-
vimento browniano. A segunda uma revisão sobre a equação de Langevin,
apresentará variável escravo.
• Capítulo 4: Resultados e Discussão
Nesse capítulo serão apresentados e discutidos os resultados experimentais,e
também serão realizadas comparações entre os dados obtidos experimental-
mente com as simulações.
• Capítulo 5: Conclusões e perspectivas futuras
Capítulo 2
Pinças ópticas e procedimento
experimental
Este capítulo apresenta a introdução dos principais detalhes para o funciona-
mento da pinça óptica. Também será ressaltado os procedimentos experimentais e
equipamentos utilizados. O experimento deste trabalho consiste em criar dois poços
de potenciais, o movimento browniano da microesfera irá fazer com que ela transite
entre os poços. Foi realizada a medição do deslocamento do centro de massa da
microesfera observando a variação na posição para três distâncias entre as pinças.
Como resultado, obtivemos um histograma da posição e, consequentemente, a sua
distribuição de probabilidade bem como o potencial efetivo.
2.1 Teoria da pinça óptica
A luz visível é um tipo de radiação eletromagnética de uma parte muito limitada
do espectro eletromagnético. Toda radiação eletromagnética é quantizada em fótons,
ou seja, a menor porção de radiação eletromagnética que pode existir é um fóton.
Em 1873, Maxwell demonstrou em sua teoria que a luz pode exercer pressão de
radiação [4], e isso foi um dos feitos mais importantes na física. Levou décadas de
pesquisas sobre o eletromagnetismo para Maxwell poder criar um sistema de quatro
equações, que a princípio poderia nos dar todas as informações do eletromagnetismo.
A energia contida em um fóton pode ser escrita como:
12
CAPÍTULO 2. PINÇAS ÓPTICAS E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 13
E = hν (2.1)
onde h é a constante de Planck e ν é a frequência da onda eletromagnética. A
velocidade da luz c pode ser calculada da seguinte forma:
c = λν, (2.2)
onde λ é o comprimento de onda da luz. Combinando as equações 2.1 e 2.2 temos:
E =
hc
λ
. (2.3)
A energia do fóton, também conhecida como quantum de energia, pode ser
calculada usando as equações 2.1 ou 2.3 e é determinada por sua frequência ν ou
comprimento de onda λ. A constante de Planck foi o resultado de uma hipótese de
Max Planck para um efeito conhecido na época como catástrofe do ultravioleta
. Ele mesmo desacreditou em sua hipótese, tendo confessado mais tarde que só foi
levado a formular essa hipótese por um ato de desespero [5], e que na época não
deu tanta atenção a essa constante. Em 1905, Albert Einstein comprovou a validade
da constante de Planck a partir de seu artigo sobre o efeito fotoelétrico.
Quando um único fóton ou conjunto deles interage com a matéria a luz transfere
momento linear, que é dado por:
p =
E
c
=
hν
c
. (2.4)
A força está relacionada diretamente com momento, via a segunda lei de Newton,
pode ser escrito como:
~F =
d~p
dt
, (2.5)
A equação 2.5 pode ser vista como a força que a radiação exerce sobre certa
superfície. Apesar de o fóton possuir massa de repouso igual a zero, o princípio da
conservação de momento linear demonstra que a interação da radiação eletromag-
nética sobre a superfície deve transmitir momento linear. A partir da segunda lei de
CAPÍTULO 2. PINÇAS ÓPTICAS E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 14
Newton, podemos verificar que a variação do momento linear de um corpo material
é resultante de uma força aplicada sobre o corpo. Assim um feixe de radiação com
energia E (neste exemplo são somadas as contribuições de todas as frequências ν),
possui uma quantidade de momento dada pela equação 2.4.
Considerando uma superfície que absorva totalmente o feixe de luz, ela irá receber
o momento linear de forma integral. Desta maneira a pressão P pode ser descrita
como:
P =
~|F |
A
=
1
A
∣∣∣∣d~pdt
∣∣∣∣ = 1Ac dEdt = Qc , (2.6)
onde Q é o fluxo de energia por unidade de área, ou seja, energia por tempo por
área. Por outro lado, uma superfície que reflete totalmente a radiação incidente,
implicará em um efeito dobrado da pressão:
P = 2
Q
c
. (2.7)
Desta maneira, de acordo com 2.4, a variação de momento linear será:
|∆p| = |pf − pi| = 2E
c
. (2.8)
A microesfera ao receber esta energia, sofrerá uma força de espalhamento que é
dado por:
∣∣∣~F ∣∣∣ = ∣∣∣∣d~pdt
∣∣∣∣ = 2c dEdt = 2cPot, (2.9)
Onde Pot e a potência do laser utilizada, para estimar a ordem de grandeza desta
força ,utilizando uma potência de 1mW teremos uma força de ∼7 pN.
O primeiro trabalho com pinças ópticas foi realizado em 1969, por Arthur Ash-
kin et al [1, 2]. Desde então iniciou-se um grande progresso no seu desenvolvimento
e aplicações, principalmente no campo Biológico, pois essa ferramenta nos permite
realizar tarefas que não seriam possíveis como a manipulação de objetos sem qual-
quer contato mecânico. Além disso, ela permite trabalhar com objetos microscópicos
utilizando uma força de precisão da ordem de pico-Newton.
CAPÍTULO 2. PINÇAS ÓPTICAS E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 15
Na Fig. 2.1 podemos visualizar um esquema do fenômeno estudado: na parte a)
temos uma microesfera aprisionada na pinça da esquerda. Esta esfera está recebendo
colisões das moléculas de água de todos os lados. Para que a esfera fique presa a
força das colisões tem que ser menor que a força da pinça óptica. A energia das
colisões é da ordem da diferença de energia do poço de potencial entre as pinças, na
parte b) temos a microesfera na região convexa do potencial.
Figura 2.1: : Ilustração dos poços de potenciais criados pelas pinças com uma
microesfera aprisionada. A microesfera irá oscilar entre os dois poços de potencias,
passando de a) a c), devido ao seu movimento Browniano, na parte b) a microesfera
esta na região convexa do potencial, determinada pelas linhas continuas pretas.
O funcionamento das pinças ópticas se origina do fato de que a luz transporta
momento em seus fótons, como mostra a equação 2.4. Por isso a luz é capaz de
exercer força sobre um objeto ao transferir momento para este. Essa abordagem
CAPÍTULO 2. PINÇAS ÓPTICAS E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 16
também permite que forças sejam exercidas por reflexão ou espalhamento da luz na
interface de um material. Como o objeto é um material dielétrico, com índice de
refração maior que a do fluido no qual geralmente é suspenso, o feixe de luz sofre
refração. Isso faz com que o objeto seja atraído, sempre para a região de maior
intensidade do feixe, quando focalizado através de uma objetiva.
Devido à conservação de momento, o objeto também sofre uma força na direção
e sentido do feixe chamada força de espalhamento. Como a microesfera possui um
índice de refração maior que o meio ne > nm, parte da luz é refletida na superfície
externa, causando uma mudança de direção que faz com que a luz seja desviada,
ocorrendo assim, a transferência de momento linear da luz sobre a microesfera. Como
podemos ver na figura 2.2, os feixes de luz a e b, de extremidades opostas do feixe
do laser gaussiano, incidem sobre a superfície da microesfera dielétrica causando
as forças de espalhamento. Ao serem refletidos, os raios exercem forças sobre a
microesfera: o feixe a exerce a força ~Fa , e o feixe b exerce a força ~Fb. Somando as
forças ~Fa e ~Fb, temos a resultante, que pode ser compreendida como a pressão de
radiação, a qual tende a empurrar a microesfera para cima, na direção da propagação
da luz.
Figura 2.2: Ilustração das forças de espalhamento causadas pela reflexão e absorção
da luz pela microesfera.
CAPÍTULO 2. PINÇAS ÓPTICAS E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 17
2.1.1 Força de gradiente
Existe uma região, ligeiramente deslocada da posição de focalização, onde as
forças de gradiente e espalhamento se igualam. Esse balanço de forças faz com que
a partícula seja aprisionada em um poço de potencial semelhante ao de uma mola,
de constante elástica k.
A força de gradiente surge devido à refração da luz no objeto e a força de espa-
lhamento devido à reflexão e absorção da luz. A maioria dos objetos biológicos são
parcialmente transparentes para a luz visível e possuem um índice de refração maior
que o meio. Em sua maioria possui uma superfície curva, como a da microesfera.
Na Fig. 2.3 temos uma microesfera deslocada à esquerda do perfil de intensidade
do laser e abaixo do foco do feixe. Quando o feixe b incide sobre ela é desviado de sua
trajetória inicial, provocando uma variação no momento linear de mesmo módulo e
sentido contrário, que é dado por 2.5. Dessa forma, há o surgimento da força
∣∣∣~Fb∣∣∣.
Observa-se que a microesfera está deslocada da região de máxima intensidade do
laser, e também o feixe b está mais próximo da região de máxima intensidade do
laser, resultando em
∣∣∣~Fb∣∣∣ > ∣∣∣~Fa∣∣∣.
CAPÍTULO 2. PINÇAS ÓPTICAS E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 18
Figura 2.3: Ilustração da força de gradiente que surge devido a refração da luz na
microesfera.
A força resultante tende a empurrar a microesfera para a região do foco do laser,
localizada acima da microesfera. A parte refletida provocará a força de espalhamento
na direção de propagação do feixe. A magnitude da força de espalhamento depende
da intensidade do feixe. Ao contrário disso, a força de gradiente depende da mudança
do campo elétrico. A força de aprisionamento geralmente é da ordem de pico-
Newtons e por isso é muito utilizada para estudar moléculas únicas.
A figura 2.4 apresenta a microesfera acima do foco (f) do laser que faz com que
os feixes do laser atinjam a microesfera após o foco. Com isso, as componentes das
forças devido à refração atuam para baixo, e sua resultante (~F ) atua em direção ao
CAPÍTULO 2. PINÇAS ÓPTICAS E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 19
foco. O efeito de refração causa o deslocamento do centro da microesfera em direção
ao foco do feixe (força de gradiente), enquanto o efeito da reflexão e absorção é de
empurrar a microesfera no sentido da incidência do feixe (força de espalhamento)
[6]. A luz refletida faz com que a posição de equilíbrio da microesfera seja, um pouco
acima, do foco do laser.
Figura 2.4: Ilustração das forças de gradiente atuando na microesfera acima do foco
do laser. A força resultante atua para baixo em direção ao foco.
Essa análise do pinçamento óptico facilita o entendimento de seu funcionamento.
No entanto, um tratamento quantitativo, mesmo no limite da óptica geométrica [7],
deve ser considerado, como por exemplo: múltiplas reflexões dentro da microesfera,
variação dos coeficientes de reflexão e transmissão do feixe, e também o ângulo de
incidência.
2.1.2 Limites de Rayleigh
Aplica-se no limite a << λ, no qual o raio da microesfera é muito menor que o
comprimento de onda da radiação incidente, sendo que a é o raio da microesfera e λ
CAPÍTULO 2. PINÇAS ÓPTICAS E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 20
é o comprimento de onda do laser. Nesse limite, a microesfera é aproximada de um
dipolo induzido num campo elétrico aproximadamente uniforme [6, 8]. No entanto,
a análise das forças de forma geométrica não é mais válida. Como o comprimento
de onda é muito grande comparado ao raio da esfera, a variação espacial do campo
elétrico pode ser considerada muito lenta nas proximidades da esfera, assim temos
um problema de uma esfera dielétrica em um campo uniforme, cuja solução e co-
nhecida é encontrada em [4]. Na região externa à esfera, o potencial elétrico em
coordenadas esféricas pode ser escrito como [8]:
ϕ(r, θ) = −E0r cos(θ) +
(
K − 1
K + 2
)
a3
r2
E0 cos(θ), (2.10)
onde,
K =
ε
εm
, (2.11)
sendo ε e εm permissibilidades do material e do meio, respectivamente, E0 o campo
uniforme na ausência da microesfera . O segundo termo da Eq. 2.10 caracteriza um
dipolo elétrico, o qual decai com r−2. Esse termo é a contribuição do dipolo e pode
ser descrito como
φd(r, θ) =
p
r2
cos(θ), (2.12)
onde p é o momento de dipolo. Pela equação 2.10 temos:
p =
(
K − 1
K + 2
)
a3E0, (2.13)
escrevendo na forma vetorial,
ϕd(r, θ) =
~p · ~r
r3
. (2.14)
A energia potencial no campo uniforme é dada por,
U = −~p · ~E, (2.15)
CAPÍTULO 2. PINÇAS ÓPTICAS E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 21
onde ~E é o campo no exterior da microesfera. Então, a força será da forma:
~Fxi = −
∂U
∂xi
, (2.16)
sendo
U = ϕd (r, θ) , (2.17)
Deste modo temos,
~F = ~∇(~p· ~E) =
(
K − 1
K + 2
)
a3~∇E2, (2.18)
Da Eq. 2.18, temos que ~F ∝ ~E2 e E2 ∝ I, o que significa que F ∝ I e sua
direção aponta para o ponto de maior intensidade do laser, ou seja, o foco. Temos ,
kxi =
(
K − 1
K + 2
)
a3
∂E2
∂xi
. (2.19)
Da Eq. 2.19, podemos perceber que a constante de força da pinça óptica no limite
de Rayleigh é proporcional ao raio da microesfera k ∝ a3.
2.1.3 Limite da óptica geométrica
Quando a >> λ, tem-se um tratamento baseado na óptica geométrica, o qual leva
em consideração a refração e reflexão dos raios ao atingirem a microesfera. Como o
objetivo é encontrar uma relação para a constante k, conforme feito anteriormente
no limite de Rayleigh, calculamos a força de cada raio incidente na microesfera,
sendo que a força de cada raio depende do coeficiente de reflexão e de transmissão,
já que o raio incidente na microesfera origina um raio refletido e outro refratado.
A força depende do índice de refração do meio em que a microesfera se encontra e
da potência do raio. A força sobre a microesfera, devido a um único raio, pode ser
escrita como [7, 9]:
F =
nmPr |Qt|
c
, (2.20)
CAPÍTULO 2. PINÇAS ÓPTICAS E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 22
onde nm é o índice de refração do meio, Pr é a potência do laser e c é a velocidade
da luz no vácuo.
O fator Qt leva em consideração as múltiplas reflexões e as transmissões no
interior da esfera, e pode ser escrito como [7, 10] :
Qt = 1 +Re
2iα − T 2 e
2i(α−β)
1 +Re−2iαβ
, (2.21)
onde R e T são os coeficientes de reflexão e transmissão, respectivamente e α e β os
ângulos de incidência e refração.
A força total da pinça é obtida integrando a força para todo o feixe, supondo que
todos os raios atingem a microesfera. Porém, não é isso o que ocorre, tendo em vista
a refração dos raios ao passarem da lamínula para o meio onde está a microesfera.
Figura 2.5: Caso ideal onde todos os raios atingem a microesfera, ou seja, sem
aberração esférica o foco se encontra em apenas um único ponto.
Como a água possui o índice de refração menor que o do vidro da lamínula, os
raios se afastam da normal, e como consequência, nem todos atingem a microesfera
situada a uma altura h. Assim, o foco não será um ponto, mas sim uma região ao
CAPÍTULO 2. PINÇAS ÓPTICAS E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 23
longo do eixo z.
A Fig. 2.5 representa o caso onde todos os feixes atingem a microesfera, ou seja, o
caso ideal. Já a Fig.2.6 representa o caso real, onde existe aberração esférica, ou seja,
dependendo da altura, nem todos os raios atingem a microesfera. Para este caso,
a quantidade de raios que atingem a microesfera será maior se h for menor, sendo
que somente os raios que atingem a microesfera contribuem para a força da pinça.
Esse efeito interfere, diretamente, no valor de k, o qual será menor se comparado
ao caso de todos os raios atingirem a microesfera (caso ideal). Para diminuir esse
efeito, o valor de h deverá ser muito pequeno, e isso acontece quando a microesfera
está praticamente encostada na lamínula.
Figura 2.6: Caso real onde é considerada a aberração esférica. Os raios refratam em
ângulos diferentes na interface vidro-água.
Recentemente, Rocha [6] mostrou que os resultados numéricos, no limite da óp-
tica geométrica, somente concordam bem com experimento para microesferas com
a ≥ 1, 2µm, que é o caso do experimento realizado, no qual foram utilizadas micro-
esferas de diâmetro 3µm.
CAPÍTULO 2. PINÇAS ÓPTICAS E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 24
2.1.4 Teoria MDSA
A teoria MDSA (Mie-Debye Spherical Aberration) foi proposta por Mazzolli,
Maia Neto e Nussenzveig [11, 12] e é a mais geral para o estudo da constante da
força para microesferas em qualquer faixa de tamanho. Recentemente foi calculado
teoricamente as forças axial e transversal que uma pinça óptica exerce em uma
microesfera com raio arbitrário. O cálculo foi baseado na representação Debye, para
o feixe de laser focalizado além da objetiva e na teoria de espalhamento de Mie,
para a interação do feixe com a microesfera. Nos limites onde o comprimento de
onda é grande comparado ao raio da esfera, a teoria se torna a teoria de Rayleigh, e
para um raio grande comparado ao comprimento de onda, voltamos para o caso da
óptica geométrica.
2.2 Procedimentos Experimentais
2.2.1 Sistemas de Coordenadas
O sistema de coordenadas (Fig. 2.7) foi posicionado, de forma a deixar o feixe
de laser na direção paralela ao eixo z. Os eixos x e y ficaram no plano da lamínula.
A pinça óptica dupla está localizada no eixo x, ou seja, esse eixo corresponde à
trajetória que a microesfera precisa percorrer entre as pinças ópticas para que ocorra
uma transição, como mostrado na figura 1.1.
CAPÍTULO 2. PINÇAS ÓPTICAS E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 25
Figura 2.7: Sistemas de coordenadas da pinça óptica dupla.
2.2.2 Montagem Experimental
O equipamento foi montado sobre uma mesa óptica de granito com sistema de
nivelamento e cancelamento de ruído. A primeira dificuldade encontrada constitui
em alinhar o sistema, de forma a obter a distância ideal entre as duas pinças.
Com o sistema alinhado, e todos os seus componentes colocados nos devidos
lugares, iniciaram-se os testes. Para tanto, foram utilizados vários tipos de lentes de
distâncias focais, variando de 20 mm a 80 mm, com o intuito de obter uma distância
inicial entre as pinças de aproximadamente 3,00 µm.
Para a realização do experimento, foi montado o esquema da figura 2.8, tendo sido
utilizado um microscópio de objetiva invertida Nikon Eclipse TS100, com objetiva
de óptica corrigida no infinito, (Nikon Plan APO DICH, 100X, 1.49 NA). A objetiva
do microscópio é responsável por focalizar o feixe de laser infravermelho que produz
a pinça. Esse feixe é cilíndrico ao sair do emissor, e se torna cônico, após atravessar
a objetiva. Nesta montagem foi utilizado o laser da IPG Photonics modelo YLR-5-
1064-LP, operando no comprimento de onda λ = 1064 nm (100 mW a 5W), que é
responsável por criar a armadilha óptica.
O feixe de laser é guiado por um conjunto de espelhos, sendo eles: E1, E2, E3 e
E4, sendo E4 um espelho dicroico que é responsável por enviar o feixe até a câmera
CAPÍTULO 2. PINÇAS ÓPTICAS E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 26
CMOS,esse espelho deveria impedir que o laser fosse para câmera, mas como ele não é
perfeito uma parte do laser passa e conseguimos ver na câmera, como mostra a figura
2.8. O feixe de laser, ao sair do espelho E3, chega ao modulador acústico-óptico
(AOM) que utiliza as ondas sonoras no interior de um cristal para criar uma rede
de difração [13]. A medida que a potência do sinal de radiofrequência (RF) aplicada
é variada, a quantidade de luz difratada varia proporcionalmente. O modulador
acústico-óptico pode ser usado como um obturador ou como um atenuador variável,
controlando a intensidade da luz transmitida de forma dinâmica.
A pinça óptica dupla é criada utilizando o modulador acústico-óptico como divi-
sor de feixe. Esse modulador divide o feixe original em dois, que podem ser tratados
separadamente para produzir duas pinças ópticas em locais diferentes. No aparato
experimental o AOM está sobre uma plataforma mecânica a qual permite controle
total de seu movimento em todas as direções, pois sua eficiência depende significa-
tivamente da sua orientação e posição. Ele permite que a intensidade de luz seja
modulada e controlada a taxas que excedem em muito os obturadores mecânicos até
um máximo de 70 MHz [13].
CAPÍTULO 2. PINÇAS ÓPTICAS E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 27
Figura 2.8: Esquema da montagem experimental utilizada para produzir um poço
de potencial duplo através de pinças ópticas.
A lente plano-convexa L1, com distância focal de 40 mm, é responsável por fazer
o feixe convergir até o microscópio, e também, por definir a distância entre as pinças.
Durante a realização dos testes, foi possível definir uma relação entre a distância do
modulador ao microscópio d1, e a distância entre as pinças, conforme apresentado
na Fig. 2.8. Encontrar essa relação foi de grande relevância, considerando que não
haveria necessidade de trocar a lente L1 para conseguir a distância ideal entre as
pinças. A partir dessa configuração, os trabalhos foram executados, modificando a
distância d1 para obter a distância pretendida entre as pinças (Fig. 2.8).
Em uma das saídas do microscópio foi instalada uma câmera CMOS (PCO hs
1200) de alta velocidade de aquisição, cuja capacidade interna é de aproximadamente
CAPÍTULO 2. PINÇAS ÓPTICAS E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 28
8 Gb. A câmera foi ligada diretamente a um computador que através de um software
foi possível restringir exatamente a área de aquisição de imagens. Isso mostrou ser
bem útil, pois a câmera trabalha numa relação de tamanho da imagem por frames
por segundo, ou seja, quanto menor a nossa área de interesse, menor seria nosso
tempo de exposição, e consequentemente, mais frames por segundo conseguiríamos.
Assim, após passar por E4 o feixe chega à objetiva que é responsável por focalizar
o feixe atingindo a lamínula de vidro, onde está o porta-amostra com as microesferas
de poliestireno com diâmetro (3,00 ± 0,07) µm.
2.2.3 Preparação das amostras
As amostras são soluções de microesferas de poliestireno de diâmetro (3,00 ±
0,07) µm, em água deionizada (DI). A concentração da solução é de 0,5 µL da
solução estoque de microesferas, que possui concentração de sólido em torno de
10%, para 1000 µL de água DI. Agitamos bem essa solução, a fim de homogeneizá-
la e em seguida uma pequena quantidade foi transferida para um porta-amostras de
acrílico, anexada a uma lamínula de espessura 0.17 mm.
2.2.4 Atrito sobre a microesfera
Para determinar a constante da pinça óptica, é necessário identificar o coeficiente
de atrito viscoso que a solução aquosa proporciona à microesfera. Este coeficiente
depende do raio da microesfera, da distância da microesfera em relação à lamínula,
e da viscosidade da solução. Para movimentos paralelos a superfície da lamínula, o
coeficiente de atrito pode ser descrito como [14, 15, 16]
ζ = ζ0
[
1− 9
16
(a
h
)
+
1
8
(a
h
)3
− 45
256
(a
h
)4
− 1
16
(a
h
)5
+ ......
]−1
, (2.22)
onde a é o raio da microesfera, h é a distância do seu centro com relação à lamínula
e ζ0 é dado por:
ζ0 = 6piηa, (2.23)
CAPÍTULO 2. PINÇAS ÓPTICAS E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 29
onde η é a viscosidade da água dada por:
η = 0, 26 + 1, 51e
−T
29 (2.24)
onde T é a temperatura.
2.2.5 Distância entre as Pinças e Intensidade
O método utilizado para verificar a intensidade das pinças consiste em analisar
o valor da média do nível de cinza dos píxeis de uma imagem capturada utilizando
a câmera CMOS descrita anteriormente. Com o auxílio do programa ImageJ [17],
que é utilizado para análise digital da imagem, restringimos uma área de aproxima-
damente 10×10 píxeis e verificamos o valor dos níveis de cinza de cada uma pinça,
conforme demonstrado na Figura 2.9.
Figura 2.9: Imagem das pinças ópticas, obtidas pela focalização do feixe de laser
pela objetiva, capturada utilizando a câmera CMOS. A distância entre as pinças é
calculada obtendo o valor de centro a centro dos spots.
A intensidade dos dois feixes foi manipulada através do modulador acústico-
óptico (AOM) que estava sobre um suporte que permite modificar o ângulo da
difração de Bragg. Desta maneira, um dos grandes problemas enfrentados no desen-
volvimento deste trabalho que é de deixar as piças ópticas com a mesma intensidade,
foi solucionado.
A distância entre as pinças foi verificada, utilizando o programa ImageJ [17]. Os
CAPÍTULO 2. PINÇAS ÓPTICAS E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 30
experimentos foram realizados para três distâncias diferentes entre as pinças (2,87,
3,00 e 3,13 µm ± 0,125 µm) e utilizando um mesmo tamanho de microesfera de 3,00
µm de diâmetro. Para realizar todas estas medidas das dimensões foi realizada uma
calibração no sensor da câmera utilizando uma régua micrométrica que possibilitou
determinar o tamanho do píxel da câmera CMOS, que é de 0,125 ± 0,005 µm.
Considerando o fato da lente L1 não estar posicionada exatamente na distância focal
do AOM, foi possível fazer com que os feixes saíssem de L1 levemente convergentes.
Desta maneira foi possível controlar a distância entre as pinças de forma bem precisa
variando a distância (d1) (ver Fig. 2.8) entre o conjunto modulador acústico-óptico
(AOM) e lente L1, como mostra a figura 2.10.
Figura 2.10: Ajuste polinomial da relação entre d1 e a distância entre as pinças.
Após o sistema estar completamente calibrado, procedemos com a aquisição de
dados que consiste em capturar uma microesfera de poliestireno, suspensa na solu-
ção, através de uma das pinças ópticas. A aquisição de dados é realizada utilizando
a câmera CMOS já descrita anteriormente a uma taxa de 100 frames por segundo,
ou seja, com tempo de exposição configurado em 10 milissegundos Variando a força
CAPÍTULO 2. PINÇAS ÓPTICAS E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 31
da pinça através da intensidade do laser, conseguimos criar uma condição no qual o
movimento browniano da microesfera permite que ela transite de uma pinça para a
outra de maneira aleatória. Todos os experimentos foram realizados a temperatura
de 25 graus Celsius (298K).
Figura 2.11: Microesfera de Poliestireno de 3 µm presa em uma das pinça.
2.2.6 Cálculo do erro experimental
Para ficar mais claro qual a precisão das posições da microesfera obtida neste
trabalho, foi calculada a flutuação dos valores do centro de massa de uma microesfera
fixa à lamínula. O tratamento da imagem realizado foi o mesmo utilizado em todo
trabalho: utilizou-se a função threshold do programa ImageJ para diferenciar a
microesfera do background. Em seguida foi utilizado a função analyse particles do
mesmo programa para identificar a posição do centro de massa da microesfera, no
plano (x, y) da imagem, para cada frame de todo o vídeo. Como neste caso a
microesfera está fixa à lamínula, o resultado ideal seria obter os valores do centro de
massa com menor flutuação possível em torno de um ponto. Portanto, para obter
este valor de flutuação com uma boa precisão, foi utilizado uma taxa de captura de
1000 frames por segundo para aquisição de um filme de 30 segundos. Os valores do
centro de massa desta esfera fixa são mostrados na figura 2.12.
CAPÍTULO 2. PINÇAS ÓPTICAS E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 32
Figura 2.12: Flutuação das posições (x, y) no plano da imagem do centro de massa
da microesfera obtidas através da função analyse particles do programa ImageJ.
Através da figura 2.12 pode-se observar que existe uma pequena flutuação (≈
± 0,03 µm) em torno da posição central (0, 0). Este valor da flutuação portanto
está associado ao erro total da estimativa do centro de massa da microesfera. Além
do erro associado ao ImageJ, este erro total também leva em consideração todas
possíveis vibrações do sistema. Mesmo tendo utilizado uma mesa óptica com can-
celamento de vibração, minimizado toda fonte de corrente de ar que pudesse afetar
o sistema, trabalhar com escalas micrométricas faz com que este sistema se torne
muito sensível a qualquer variação externa.
2.3 Determinando a Constante k da pinça óptica
Para determinar a constante k da pinça, foram utilizados dois métodos, o método
da força de Stokes e o teorema de equipartição.
2.3.1 Método de Stokes
O método de Stokes consiste em aprisionar uma microesfera com a pinça óptica
e move-la com uma velocidade constante v [18]. Para isso, aprisionamos uma micro-
CAPÍTULO 2. PINÇAS ÓPTICAS E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 33
esfera com a pinça e a carregamos para uma região onde existe uma microesfera fixa
à lamínula para servir como referência para calcular a velocidade. Deste modo, ao
ser aplicado um fluxo de velocidade constante na solução, a microesfera presa pela
pinça irá sentir o arrasto que é dado pela força de Stokes, o que acarretará numa
mudança de sua posição média.
Figura 2.13: A indicação azul mostra uma microesfera presa à lamínula e a indicação
vermelha mostra a microesfera presa na pinça óptica. a) Momento antes de ser
estabelecido o movimento. b) Microesfera presa a pinça depois do movimento ser
estabelecido.
Primeiramente, medindo a variação da posição da microesfera presa na lâmina,
no quadrado azul, em relação ao tempo, é possível calcular a velocidade da microes-
fera v. A figura 2.13 mostra como foi realizado este movimento de uma microesfera
presa na pinça óptica em relação à outra microesfera presa na lamínula.
Durante o deslocamento da microesfera dentro do fluido, esta sente uma força
viscosa na direção oposta ao deslocamento que faz com que a microesfera se desloque
de uma distância ∆x em relação a à posição central da pinça (posição inicial, quando
a microesfera estava em repouso). Este deslocamento pode ser visualizado na Fig.
2.14.
CAPÍTULO 2. PINÇAS ÓPTICAS E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 34
Figura 2.14: Deslocamento da microesfera presa na pinça devido ao fluxo.
Sabe-se que a força de Stokes é dado por:
F = ζv, (2.25)
sendo ζ determinado pela equação 2.23, e v a velocidade da microesfera. Quando a
microesfera estiver em movimento com velocidade constante, esta encontrará uma
nova posição de equilibrio, onde a força da pinça (Fk) será igual em módulo a força
de Stokes (Fζ), com mesma direção e sentidos opostos. Deste modo:
Fζ = Fk. (2.26)
Pode-se escrever então:
ζv = k∆x, (2.27)
onde k é a constante da pinça e ∆x é o deslocamento da microesfera em relação a
posição central da pinça já descrito anteriormente. Deste modo, a constante k da
pinça pode ser calculada da seguinte forma:
k =
ζv
∆x
. (2.28)
Como o valor de ζ é conhecido, e medindo a velocidade da partícula presa à lamínula,
e calculando o valor do ∆x, encontramos facilmente o valor de k.
CAPÍTULO 2. PINÇAS ÓPTICAS E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 35
2.3.2 Método utilizando o teorema de equipartição
Uma maneira ainda mais simples de se encontrar o valor da constante k da pinça
óptica consiste em deixar uma microesfera presa na pinça óptica e medir suas flu-
tuações devido ao movimento browniano. Esse método é independente do arraste
do fluido ou do tamanho da microesfera, dependendo somente da temperatura ab-
soluta da amostra. Para realizar este experimento, capturamos uma microesfera
através da pinça e fazemos a aquisição de um vídeo para calcular a variação do seu
centro de massa. Como o potencial da pinça óptica pode ser considerado um poten-
cial harmônico, pode-se utilizar o teorema de equipartição para encontrar o valor
da constante k, sendo necessário calcular o desvio quadrátido médio da posição do
centro de massa da microesfera [19]. Assim, tem-se que:
kx =
kBT
σ2x
, (2.29)
onde
σ2x = 〈(x− 〈x〉)2〉. (2.30)
2.3.3 Valores de k
Sabe-se que a constante de força da pinça óptica é diretamente proporcional a
potência do laser. Desta forma, utilizando os dois métodos descritos anteriormente,
foram calculados os valores de k para três potências do laser. Estes resultados podem
ser visualizados graficamente através da figura 2.15.
CAPÍTULO 2. PINÇAS ÓPTICAS E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 36
Figura 2.15: Constante da força da pinça em função da potência do laser. Os
quadrados representam o método utilizando o teorema de equipartição. Os círculos
representam o método de Stokes.
Durante a realização dos experimentos, foi observado que o valor de k se torna
muito menor quando o feixe de laser atravessa o modulador acústico-óptico. Isto se
dá devido a absorção de parte da luz pelo seu cristal, neste caso os valores de k,
mostrado na tabela 2.1, foram medidos utilizando o teorema de equipartição.
Tabela 2.1: Valor da constante da pinça k com o modulador acústico-óptico.
ka(pN/µm) kb(pN/µm) Erro
0,0172 0,0182 ± 0,0012
Na tabela 2.1 ka representa a pinça da direita na Fig. 2.9, e kb a pinça da
esquerda. Os valores de k apresentados aqui são todos na direção do eixo x do
experimento. A potência na saída do laser utilizada foi de 0,03 W.
Capítulo 3
Movimento Browniano
O Movimento Browniano é o movimento aleatório de pequenas partículas sus-
pensas num fluido, sendo ele líquido ou gás, resultante da colisão das moléculas,
conforme se verifica na Fig. 3.1. O primeiro a observar e estudar esse fenômeno, foi
Robert Brown [20] no ano de 1827 quando observou que o pólen ao ser colocado na
água, dividia-se em pequenas partículas, passando a ter um movimento irregular e
ininterrupto.
Figura 3.1: Movimento aleatório de uma partícula, resultante da colisão das molé-
culas.
Após Robert Brown, houve várias tentativas de explicar o fenômeno, mas o
primeiro a sugerir este comportamento irregular, devido a colisões das partículas,
0Este capítulo é baseado nas Ref. [3, 20, 21, 22, 23, 24, 25]
37
CAPÍTULO 3. MOVIMENTO BROWNIANO 38
foi Dealsaux [22] em 1877. Em 1905, Einstein explicou o movimento Browniano,
combinando elementos dos processos estocásticos com a distribuição aleatória de
MaxwelBoltzman [23].
As propriedades estatísticas das partículas no movimento Browniano permitem
descrever o fenômeno de difusão, com base no comportamento médio das partículas.
Com o intuito de obter uma relação sobre esse comportamento, serão apresentadas
algumas hipóteses sobre as forças que poderão agir sobre essas partículas.
Vamos considerar um caso onde temos uma grande partícula movendo em um
líquido ou um gás. Ela terá um tipo de passeio aleatório, pois sofrerá colisões de
todos os lados, como podemos verificar na Fig. 3.2, o que torna imprevisível fazer
afirmações sobre seu movimento. Devido a essas colisões, origina-se o movimento
browniano que é determinado pelas partículas que colidem inúmeras vezes com a
partícula grande. Como a energia cinética do sistema se encontra distribuída igual-
mente entre todas as partículas, a maior partícula se move mais lentamente.
Figura 3.2: Partícula grande sofrendo colisões de partículas menores.
As forças que a partícula suspensa em um meio estará submetida serão as seguin-
tes. A partícula sofrerá a força de atrito ζ que será proporcional a sua velocidade ν.
R(t) representa as interações do líquido e depende das posições das moléculas que
estão em constante movimento. R(t) deve flutuar rapidamente no tempo e de forma
irregular. Também, eventualmente, temos mais alguns elementos de força como a
gravidade ou eletrostática se as partículas estiverem carregadas eletricamente. As-
CAPÍTULO 3. MOVIMENTO BROWNIANO 39
sim, temos que incluir uma força que possa depender do tempo e da posição F (r, t).
Deste modo, a somatória de todas estas componentes nos dá a força que é aplicada
a partícula.
mv˙ (t) = −ζv +R (t) + F (r, t) . (3.1)
3.1 Equação de Langevin
Langevin começou simplesmente escrevendo a equação 3.1 do movimento Brow-
niano de uma partícula de massa m imersa num líquido sujeita a uma força viscosa,
considerada proporcional à sua velocidade. Esta força possui um caráter aleatório
devido ao impacto da partícula com as moléculas vizinhas do líquido.
mv˙ (t) = −ζv(t) +R (t) , (3.2)
onde,
v(t) =
dx
dt
, (3.3)
ζ é uma constante positiva, denominada coeficiente de fricção ou atrito da partícula,
ela é governada pela lei de Stokes, a qual declara que a força de atrito desacelerando
uma partícula esférica é dado pela equação (2.23). R(t) representa as interações
do líquido, que depende das posições de muitas moléculas que estão em constante
movimento. A força referente às colisões aleatórias R(t) é de natureza imprevisível,
mas mesmo assim podemos fazer algumas declarações sobre ela.
i R(t) é independente de x(t);
ii R(t) varia rapidamente comparado com a variação de x(t);
iii 〈R(t)〉=0 A média do seu valor esperado é igual a 0, para todo o tempo.
De (ii), implica que cada colisão é praticamente instantânea e independente.
Então, essa variação rápida pode ser expressa por:
CAPÍTULO 3. MOVIMENTO BROWNIANO 40
〈R(t)R(t+ τ)〉 = 〈R2〉δ(τ), (3.4)
onde δ é a função Delta de Dirac.
A equação diferencial de Langevin (Eq. 3.2) pode ser resolvida encontrando,
primeiramente, sua solução homogênea (Eq. 3.5) em uma dimensão. Rescrevendo a
equação, temos:
m ˙˜v(t) = −ζv˜(t). (3.5)
v˜(t) = v˜0e
−ζt
m , (3.6)
Agora iremos encontrar uma solução particular:
v(t) = v0e
−ζt
m f(t). (3.7)
Substituindo 3.7 em 3.2 temos:
m
(
df
dt
− ζ
m
f(t)
)
v˜(t) = R(t)− ζf(t)v˜(t). (3.8)
Podemos cancelar o termo com a força de atrito em ambos os lados ficando
somente com
df
dt
= f˙ =
R(t)
mv0
e
ζt
m . (3.9)
A equação 3.9 pode ser escrita na forma de uma integral:
f(t) =
1
mv0
∫ t
0
R(t′)e
ζt′
m dt′. (3.10)
De maneira alguma, podemos integrar essa função analiticamente, pois não co-
nhecemos a função envolvendo a força aleatória. Contudo, podemos escrever uma
possível solução para v(t):
v(t) = v0e
−ζt
m +
1
m
∫ t
0
R(t′)e
−ζ(t−t′)
m dt′, (3.11)
CAPÍTULO 3. MOVIMENTO BROWNIANO 41
Onde v0 é a velocidade da partícula no instante t = 0, e esta solução é válida para
qualquer função temporal de R(t). O primeiro termo da equação 3.11 é referente
à solução homogênea e o segundo da solução da equação particular. Não podemos
resolver esta equação, mas é possível retirar dela algumas propriedades estatísticas
da solução do problema, por exemplo, calcular o valor esperado da velocidade com
a seguinte solução proposta:
〈v(t)〉 = v0e
−ζt
m , (3.12)
pois o valor esperado de 〈R(t′)〉 = 0. Também podemos calcular a velocidade
quadrática média:
〈v2(t)〉 = v20e
−2ζt
m +
1
m2
∫ t
0
∫ t
0
〈R(t1)R(t2)〉e
−2ζt
m e
−ζ(t1+t2)
m dt1dt2. (3.13)
Como 〈R(t)〉 = 0 podemos utilizar a seguinte função de correlação
〈R(t1)R(t2)〉 = qδ(t1 − t2), (3.14)
onde o parâmetro q vai ser determinado através da aplicação do teorema da equipar-
tição. Sabendo das propriedades estatísticas do sistema, podemos usar a equação
3.14 para simplificar o integrante. Assim, podemos obter o seguinte resultado:
〈v2(t)〉 = v20e
−2ζt
m +
q
m
∫ t
0
e
−2ζt
m e
2ζt′
m dt′. (3.15)
Resolvendo a integral obtemos:
〈v2(t)〉 = v20e
−2ζt
m +
q
2ζm
(
1− e−2ζtm
)
. (3.16)
Esse é o comportamento médio, então a partir do teorema da equipartição, temos:
1
2
m〈v2〉 = 1
2
kBT, (3.17)
onde kB é a constante de Boltzmann e T é a temperatura absoluta. Para um tempo
CAPÍTULO 3. MOVIMENTO BROWNIANO 42
longo, podemos escrever a seguinte equação:
〈v2(t −→∞)〉 = q
2ζm
=
kBT
m
−→ q = 2ζkBT. (3.18)
Encontramos então, uma relação entre o parâmetro q e a temperatura. Agora
vamos obter o deslocamento quadrático médio da partícula. Temos que:
x(t) =
∫ t
0
v(t′)dt′, (3.19)
e
v(t) = v0e
−ζt
m +
1
m
∫ t
0
R(t′)e
−ζ(t−t′)
m dt′. (3.20)
Rescrevendo a equação de Langevin em termos de x¨ e x˙, temos:
mx¨ = −ζx˙(t) +R(t). (3.21)
Multiplicando por x(t) em ambos os lados, obtemos:
mx(t)x¨ = −ζx(t)x˙+R(t)x(t). (3.22)
E usando a seguinte relação:
x(t)x¨ =
d
dt
[x(t)x˙]− [x˙]2, (3.23)
obtemos de 3.22:
m
(
d
dt
[x(t)x˙]− [x˙]2
)
= −ζx(t)x˙+R(t)x(t). (3.24)
Deste modo, podemos escrever:
m
d
dt
[x(t)x˙] = −mx˙2 − ζx(t)x˙+R(t)x(t). (3.25)
Tomando-se os valores médios de ambos os lados, obtemos:
CAPÍTULO 3. MOVIMENTO BROWNIANO 43
m〈 d
dt
x(t)x˙〉 = −m〈x˙2〉 − ζ〈x(t)x˙〉+ 〈R(t)x(t)〉. (3.26)
De (iii) implica que:
〈R(t)x(t)〉 = 0. (3.27)
Novamente, pelo teorema da equipartição e substituindo 3.17 em 3.26, obtemos:
〈 d
dt
x(t)x˙〉 = kBT
m
− ζ
m
〈x(t)x˙〉, (3.28)
cuja solução é:
〈x(t)x˙〉 = C + Ae−ζtm , (3.29)
onde a constante C é dada por:
C =
kBT
ζ
. (3.30)
Quando o tempo t for muito grande, teremos:
t −→∞ : 〈x(t)x˙〉 = kBT
ζ
. (3.31)
Quando o tempo t for muito pequeno:
t −→ 0 : 〈x(t)x˙〉 = 0 =⇒ A = −kBT
ζ
. (3.32)
Usando a seguinte relação,
〈x(t)x˙〉 = 1
2
d
dt
〈x2〉, (3.33)
podemos fazer:
〈x(t)2〉 = 2
m
∫ t
0
kBT
ζ
(
1− e−ζtm
)
dt, (3.34)
cuja solução é igual a:
CAPÍTULO 3. MOVIMENTO BROWNIANO 44
〈x(t)2〉 = 2kBT
ζ
t+ 2
kBT
ζ
m
ζ
(
e
−ζt
m − 1
)
. (3.35)
Quando t for pequeno, podemos fazer a seguinte expansão:
t −→ 0 : 〈x(t)2〉 = 2kBT
ζ
(
t+
m
ζ
(
1− ζt
m
+
ζ2t2
2m2
+ ....
)
− 1
)
. (3.36)
Como t é pequeno podemos ignorar os termos de ordem superior, desta forma tere-
mos:
〈x(t)2〉 = kBT
m
t2, (3.37)
Para um tempo t grande, temos:
t −→∞ : 〈x(t)2〉 = 2kBT
ζ
(
t− m
ζ
)
. (3.38)
O que nos leva à seguinte solução:
〈x(t)2〉 ≈ 2kBT
ζ
t = 2Dt, (3.39)
Onde D é o coeficiente de difusão.
D =
kBT
ζ
=
kBT
6piηa
, (3.40)
A equação 3.40 é a mesma obtida pela teoria de Einstein para descrever o Mo-
vimento Browniano.
3.2 Equação de Langevin em um potencial
Nessa parte do texto descrevemos o modelo teórico do processo estocástico com
escravo descrito por David S. et al. [3].
Temos a seguinte equação:
CAPÍTULO 3. MOVIMENTO BROWNIANO 45
mv˙(t) = −x˙(t)− φ′(xt) + h+R(t). (3.41)
sendo
φ′ =
∂φ
∂x
. (3.42)
A equação de Langevin, acima, pode ser interpretada como a equação de uma
partícula que se move num meio viscoso sujeita a um potencial φ′(xt) e a um campo
externo h. Vamos considerar o caso mais simples possível, onde o termo inercial é
desprezível, comparado com as outras forças , assim teremos:
x˙(t) = −φ′(xt) + h+R(t). (3.43)
Sabemos que:
〈R(t)〉 = 0, (3.44)
e
〈R(t1)R(t2)〉 = 2Tδ(t1 − t2), (3.45)
Onde T é a temperatura e t1 e t2 são tempos distintos. Podemos assumir 3.45
somente por saber que cada colisão é praticamente instantânea.
Diferenciando a equação de Langevin em relação ao campo externo h e fixando
h = 0, obtemos:
∂x˙(t)
∂h
=
∂ (−φ′(xt))
∂h
+ 1, (3.46)
d
dt
(
∂xt
∂h
)
=
(
∂(−φ′(xt))
∂h
)
+ 1. (3.47)
Definindo uma função ξ′ como:
ξ′t =
∂xt
∂h
∣∣∣
h=0
, (3.48)
CAPÍTULO 3. MOVIMENTO BROWNIANO 46
podemos reescrever 3.47 como:
ξ˙′t = −φ′′(xt)ξ′t + 1. (3.49)
A variável ξ′ é chamada de variável escrava, sendo que a evolução de xt no
tempo é completamente independente de ξ′, ou seja, ξ′ depende de xt mas não o
contrário. As vantagens de se utilizar esse método é que as medidas de correlações
saem diretamente com as próprias estimativas de erro, e não há necessidade de
aplicar um campo externo. Todavia, não sabemos se ξ′ é bem comportado em todas
as regiões.
Assim, procuramos analisar o comportamento de ξ′ na região convexa do poten-
cial, sendo que a região de interesse deste estudo está indicada na Fig. 1.1. Nessa
região convexa a segunda derivada do potencial é negativa, e o comportamento de
sua segunda derivada pode ser aproximado de uma constante,
−φ′′(xt) ≈ a, (3.50)
sendo a > 0. Desta forma, podemos escrever a equação 3.49 da seguinte forma:
ξ˙′t ≈ aξ′t. (3.51)
Mas isso, apenas na região convexa, pois ξ′ cresce exponencialmente e depois decai,
quando xt se encontra fora dessa região. De 3.51 esperamos que ξ′ seja da seguinte
forma:
ξ′t ≈ eaτ , (3.52)
onde τ é o tempo em que x pertence à região convexa.
Capítulo 4
Resultados e Discussão
Neste capítulo, mostramos as analises e discutimos os resultados experimentais
obtidos através da analise da oscilação de uma microesfera de poliestireno presa em
um poço de potencial duplo criado por uma pinça óptica dupla. Parte dos resultados
foram analisados por um programa implementado no MatLab. Para complementar
o trabalho experimental foi realizada uma simulação do fenômeno estudado cujos
resultados foram comparados aos resultados obtidos experimentalmente.
4.1 Resultados Experimentais
Conforme descrito na seção 2.2.2 foi montado um setup óptico de uma pinça
dupla com a finalidade de criar um poço de potencial duplo. Através do aparato
experimental foi possível ajustar a força e a distância entre as pinças, tendo sido
fixadas três distâncias 2,87, 3,00 e 3,13 µm. Foram utilizadas microesferas de poli-
estireno, com diâmetro de 3 µm, para serem submetidas aos poços de potencial. A
força das pinças foi controlada de tal modo, que o movimento Browniano da microes-
fera, à temperatura ambiente 298K, fosse suficiente para realizar transições entre os
poços. Após realizar a aquisição de um filme de varias horas, da esfera transitando
entre as pinças ópticas, foi aplicada a metodologia descrita abaixo, com o intuito de
extrair a posição da microesfera durante o tempo.
Primeiramente utilizando o software ImageJ, foi aplicado a função threshold em
todo o vídeo para identificar somente a microesfera como um único objeto. Logo
47
CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 48
em seguida foi aplicada a função AnalyseParticles para obter a posição do centro
de massa do objeto identificado durante todo o filme. Conhecendo o tamanho do
pixel 0,125 µm, e a taxa de captura que foi de 100 frames por segundo, foi obtida a
posição da esfera nas duas dimensões (x, y) da imagem capturada, como mostra as
figuras 2.9 e 2.11. Vale lembrar que a esfera também é livre para se mover na terceira
dimenção (z) que é perpendicular ao eixo (x, y). Porém as imagens obtidas através
do microscópio óptico utilizado no experimento não permite obter estes valores.
Figura 4.1: Posição do centro de massa da microesfera no plano x, y durante todo
o filme que possui duração de (a) 4,52, (b) 2,53 e (c) 1,15 horas.
Em seguida, foi calculado o histograma das posições obtidas anteriormente. O
histograma representa a quantidade de vezes que a microesfera permanece em uma
certa posição. Desta maneira o histograma no eixo x, passando pelo centro da
pinça óptica, pode ser visualizado na figura 4.2 para as pinças com distância de
(a) 2,87, (b) 3,00 e (c) 3,13 µm. A partir desses histogramas, é possível verificar
que a densidade de pontos em ambas pinças são parecidos, o que confirma a boa
calibração da intensidade das pinças. Em outras palavras, a calibração de força entre
as duas pinças é simétrica, sendo esta uma das maiores dificuldades experimentais
encontradas na montagem e alinhamento do setup óptico.
CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 49
Figura 4.2: Histograma das posições no eixo x passando pelo centro da pinça óptica
mostrado na figura 2.11.
Para representar a probabilidade com que a esfera permanece em cada ponto,
o histograma mostrado na figura 4.2 deve ser normalizado. A normalização do
histograma é feita fazendo com que a área do histograma seja igual a 1, ou seja, a
soma da probabilidade de encontrar a microesfera em qualquer posição é igual a 1.
Dessa forma, as áreas sob as curvas foram calculadas e em seguida os histogramas
foram divididos por esses valores. Portanto, uma vez normalizado o histograma
indica qual é a probabilidade p(x) de encontrar a microesfera em uma determinada
posição x (figura 4.3).
Figura 4.3: Probabilidade de encontrar a microesfera na direção x para as pinças
com distâncias (a) 2,87, (b) 3,00 e (c) 3,13 µm.
Conhecendo a probabilidade p(x), é possível calcular o potencial efetivo φ(x).
Esse potencial é calculado de modo a elucidar a visualização da forma dos poços de
potenciais criados pela pinça óptica com seus valores dados em kBT , como mostra
a Figura 4.4 (a). Esse potencial é ajustado utilizando uma função polinomial do 8◦
grau com o objetivo de captar da melhor forma possível todos os pontos experimen-
tais do potencial. O potencial efetivo é calculado sabendo que:
CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 50
p(x) = exp(
−V (x)
kBT
), (4.1)
desta forma obtem-se:
V (x) = − ln(p(x))kBT. (4.2)
Figura 4.4: a) Potencial efetivo φ(x)/kBT calculado utilizando a equação 4.2 para
os poços com distâncias 2,87, 3,00 e 3,13 µm. Os circulos em preto representam
os dados experimentais e a curva vermelha representa o ajuste do potencial efetivo
utilizando um polinômio de 8◦grau. b) Segunda derivada do ajuste polinomial de
φ(x). A região convexa do potencial é indicada pelas linhas tracejadas, sendo a linha
azul o limite superior da região convexa e a verde o limite inferior.
Em seguida, foram calculadas a segunda derivada dos ajustes polinomiais de
φ(x), conforme mostrado na Figura 4.4 (b) pela linha contínua vermelha. Para os
poços com distâncias 2,87, 3,00 e 3,13 µm as distâncias entre as linhas tracejadas
foram respectivamente 1,41, 1,46 e 1,53 µm. Como descrito na seção 1, a região
delimitada pelas linhas tracejadas (Fig. 4.4) é caracterizada por uma região convexa
do potencial onde ocorrem as transições da microesfera quando esta transita de um
CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 51
poço para o outro. É nessa região, onde a segunda derivada do potencial é menor
que zero φ′′(xt) < 0, que será analisada toda estatística de transição e permanência
da microesfera.
Figura 4.5: Imagem em três dimensões do potencial efetivo submetido a microesfera
através da pinça óptica dupla com distâncias (a) 2,87, (b) 3,00 e (c) 3,13 µm.
Como mencionado anteriormente a figura 4.1 nos informa as posições da micro-
esfera no plano (x, y) das imagens obtidas. Desta forma, para melhor visualizarmos
a forma completa do potencial efetivo submetido a microesfera, podemos aplicar os
mesmos passos descritos acima para obter uma imagem tridimensional do poten-
cial, como mostra a figura 4.5. Esta forma completa do potencial efetivo demostra
com maior clareza a simetria das pinças e qual seriam as possíveis trajetórias da
microesfera.
CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 52
Figura 4.6: Posições nos eixos x e y do centro de massa da microesfera em função
do tempo para os poços com distâncias de (a, b) 2,87, (c, d) 3,00 e (e, f) 3,13 µm.
Além de observar as posições da microesfera no plano x, y, como mostra a figura
4.1, também é possível visualizar as posições do centro de massa da microesfera
separadamente nas dimensões x e y em função do tempo. A figura 4.6 mostra as
posições nos eixos x e y da microesfera em função do tempo para os poços com
distâncias de (a, b) 2,87, (c, d) 3,00 e (e, f) 3,13 µm. As linhas contínuas vermelhas,
CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 53
em (a) (c) e (e), representam as posições das pinças ópticas. Por isso, é possível
observar que é justamente na região das linhas contínuas vermelhas que as esferas
permanecem por mais tempo. A partir da figura 4.6 também é possível notar na
direção x as transições da esfera entre as pinças. É evidente que a quantidade de
transições por unidade de tempo para as pinças de menor distância é maior em
relação às pinças com distâncias maiores. Isto faz com que a barreira de potencial
entre os poços seja menor para as pinças com menor distância, como mostra a figura
4.4 (a). Para a posição y, observa-se que a microesfera permanece sempre oscilando
aleatoriamente em torno de uma posição média.
Conforme descrito na seção 3.2, queremos analisar o comportamento de ξ′ na
região convexa do potencial duplo, que corresponde à região delimitada pelas linhas
tracejadas na figura 4.4, na qual, a segunda derivada do potencial é menor que zero
φ′′(xt) < 0. De acordo com [3] podemos aproximar a segunda derivada do potencial
a uma constante a como visto na equação 3.50. Nessa região, ξ′ cresce exponencial-
mente e depois decai quando a partícula está fora da região convexa. Deste modo, foi
feito um ajuste de segundo grau apenas na região convexa do potencial de maneira
que a segunda derivada nos forneça o valor da constante a. (ver Fig. 4.7).
Figura 4.7: Região convexa do potencial. Os círculos representam os dados experi-
mentais e as linhas contínuas representam os ajustes polinomiais de grau 2.
Com o valor do coeficiente B do termo quadrático do ajuste, foi encontrado o
valor da equação 3.50, que se torna:
−φ′′(xt) ≈ a = 2B, (4.3)
CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 54
Tabela 4.1: Relação da distância entre as pinças com o coeficiente do termo quadrá-
tico B.
Distância (µm) B Erro
2,87 1,85 ± 0,07
3,00 2,70 ± 0,11
3,13 3,10 ± 0,18
Com o valor de a encontrado, faz-se necessário obter os valores de τ , que cor-
respondem ao tempo que a microesfera permanece na região convexa central, para
resolver a equação 3.52 e obter ξ′t. Para medir o valor de τ foi criado um programa
no Matlab que identifica quando e onde a microesfera entra na região convexa pelo
limite superior (linha tracejada azul Fig. 4.8) ou inferior (linha tracejada verde
Fig. 4.8.), podendo sair tanto pelo limite superior como pelo limite inferior, sendo
que, se ela entrar pelo limite superior e sair pelo limite inferior, ou o contrario, terá
realizado uma transição completa. O programa retorna o tempo que a microesfera
permaneceu na região convexa, como mostrado na figura 4.8. É importante enfatizar
que o τ de cada transição completa não será necessariamente maior que o de uma
entrada e saída pelo mesmo limite superior ou inferior, como mostra a figura 4.8.
Nesta figura, o tempo permanência da microesfera na região convexa é de ≈ 7, 1 ,
6, 2 e 3, 85 segundos para as figuras 4.8 a), b) e c) respectivamente.
CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 55
Figura 4.8: a) Transição completa da partícula entrando pelo limite superior e saindo
pelo limite inferior (τ ≈ 7,1 s). τ é calculado a partir do momento que a microesfera
entra na região convexa. b) É apresentado um caso onde a microesfera apenas entra
na região convexa mas não chega a transitar entre os poços (τ ≈ 6,2 s). Este tempo
também é levado em consideração. c) Outro exemplo de uma transição completa.
Neste caso a transição foi realizada mais rapidamente (τ ≈ 3,85 s). As linhas
tracejadas verde representam o limite inferior da região convexa e as azuis o limite
superior.
Depois de identificados todos os instantes que a microesfera entra e sai da região
convexa, os valores de τ foram relacionados com suas posições temporais médias
durante todo o vídeo. A figura 4.9 mostra qual o comportamento de τ em função
CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 56
do tempo dos vídeos obtidos para as pinças com distâncias de 2,87, 3,00 e 3,13
µm. Cada pico de τ neste gráfico representa o tempo total em que a microesfera
permanece na região convexa naquele determinado instante.
Figura 4.9: Evolução de τ no tempo durante todo o vídeo. Cada pico de τ re-
presenta o tempo total em que a microesfera permanece na região convexa naquele
determinado instante.
Substituindo os valores de a, obtidos através da relação 4.3, e τ na equação 3.52,
obtem-se os valores de ξ′. Observa-se aqui que alguns valores de ξ′ são muito maiores
que os demais, fazendo com que a grande maioria se tornem imperceptíveis na escala
adotada. Por este motivo, para poder melhor visualizar o comportamento de ξ′ com
o tempo, foi definida uma nova variável ξ expressa por:
ξt = e
τ , (4.4)
CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 57
Figura 4.10: a) Evolução de ξ com o tempo para a distância de 2, 87µm. b) foram
omitidos todos os valores de ξ maiores que 100.
Figura 4.11: a) Evolução de ξ com o tempo para a distância de 3, 00µm. b) foram
omitidos todos os valores de ξ maiores que 50.
CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 58
Figura 4.12: a) Evolução de ξ com o tempo para a distância de 3, 13µm. b) foram
omitidos todos os valores de ξ maiores que 10.
Encontrado o valor de ξ, é possível calcular sua distribuição de probabilidades.
Sendo xt um processo sem memoria, ou seja, uma sequência de variáveis aleatórias
independentes distribuídas uniformemente, podemos fazer:
p(τ) ∼ e−bτ , (4.5)
mas,
p(ξ)dξ = p(τ)dτ, (4.6)
e
τ ∼ ln ξ. (4.7)
Assim, obtem-se a distribuição de probabilidade de ξ
p(ξ) ∼ 1
ξ
1+α
(4.8)
onde α = b.
CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 59
Figura 4.13: Representção gráfica em escala log-log dos valores de p(ξ) em função de
ξ para as pinças com distâncias de 2,87, 3,00 e 3,13 µm. A linha vermelha representa
o ajuste linar onde os parâmetros se encontram na figura.
A figura 4.13 mostra a representação gráfica na escala log-log de p(ξ) em função
de ξ para as pinças com distâncias de 2,87, 3,00 e 3,13 µm. Fazendo o ajuste linear
encontramos os valores dos parâmetros que podem ser associados com o expoente
α mostrado na equação 4.8. Os valores do expoente α com seus respectivos erros
estão mostrados na tablela 4.2.
Tabela 4.2: Expoente α , calculado através de uma ajuste no gráfico log-log de ξ
Fig 4.11.
Distância α Erro
2,87 0,77 ±0,1
3,0 1,22 ±0,1
3,13 2,04 ±0.25
Observa-se que o comportamento de ξ é governado por uma lei de potência (Eq.
4.8) cujos expoentes α são mostrados na tabela 4.2 para as várias distância entre as
pinças. Os valores mostrados na tabela 4.2 mostram que quanto maior a distância
entre as pinças maior será o valor do expoente α e consequentemente menor será
a probabilidade de encontrar a microesfera na região convexa. Esta relação parece
estar bem coerente pois, ξ está relacionado diretamente ao tempo que a microesfera
permanece na região convexa. Portanto, quanto mais próximas estiverem as pinças,
menor será o valor do expoente α, e maior será o valor de P(ξ), já que maior número
de transições ocorrem quando para distâncias menores entre as pinças (ver Fig. 4.6.).
No trabalho de David S. et al. [3] o valor de α foi relacionado com a variação da
temperatura, onde observou-se que quanto maior a temperatura maior o valor do
expoente α. Neste caso o aumento da temperatura causa um aumento de energia
CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 60
do sistema aumentando assim a agitação térmica e consequentemente aumentando o
número de transições da microesfera. Ressalta-se que o experimento deste trabalho
foi realizado sem alterações na temperatura, o que possibilitou ver claramente a
diminuição das transições devido ao aumento da distância entre a pinças.
4.2 Simulação
Para complementar o trabalho experimental foi realizada uma simulação do mo-
vimento Browniano de uma microesfera em um poço de potencial duplo, como o
objetivo de reproduzir e entender melhor o experimento. A equação de movimento
de uma microesfera suspensa em um fluido é caraterizada pela equação de Langevin,
que em uma dimensão é descrita pela equação 3.41. Assim foi utilizado o método
de Euler para encontrar uma possível solução para a equação 3.41.
Utilizando a solução da equação de Langevin unidimenssional pelo método de
Euler, elaboramos um algoritmo, escrito na linguagem Python, que retorna a posição
da partícula xt. Detalhes sobre o código do programa pode ser visualizado no anexo
B. Com os dados das posições da microesfera obtidos através desta simulação, foram
realizados todos os métodos mostrados na seção anterior para análise dos dados.
Figura 4.14: Probabilidade p(x) de se encontrar uma microesfera na direção x para
os poços com distâncias 2,87, 3,00 e 3,13 µm obtidos através da simulação.
A figura 4.14 mostra a probabilidade p(x) de se encontrar uma microesfera na
direção x para os poços com distâncias 2,87, 3,00 e 3,13 µm obtidos através da simu-
lação. Pode-se observar, assim como no caso experimental mostrado pela figura 4.3,
que quanto menor a distância entre as pinças maior o tempo em que a microesfera
CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 61
permanecerá na região convexa.
Figura 4.15: a) Potencial efetivo φ(x)/kBT calculado utilizando a equação 4.2 para
os poços com distâncias 2,87, 3,00 e 3,13 µm. Os circulos em preto representam
os dados experimentais e a curva vermelha, sobreposta pelos círculos, representam
os ajustes dos potenciais efetivos utilizando um polinômio de 8◦ grau. b) Segunda
derivada do ajuste polinomial de φ(x). A região convexa do potencial é indicada
pelas linhas tracejadas, sendo a linha azul o limite superior da região convexa e a
verde o limite inferior.
Do mesmo modo que o caso experimental, foram calculados os potenciais efetivos
na qual a microesfera estava submetida e suas derivadas de segunda ordem, Fig.
4.16. Diferentemente do caso experimental, o ajuste do potencial para os dados da
simulação conseguiu abranger todos os pontos. Este fato se deve à grande presença
de ruído nos dados experimentais, que como já mencionado foram reduzidos ao
máximo. Também é possível observar através da figura 4.16 a) que, assim como
no caso experimental, existe uma relação da "profundidade"dos poços de potenciais
com a distância entre as pinças. A medida que se aumenta a distância entre as
pinças, a região convexa do potencial também aumenta.
CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 62
CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 63
Figura 4.16: a, c, e) Trajetória de x da microesfera para os poços com distâncias
2,87, 3,00 e 3,13 µm. b, d, f) Evolução do τ no tempo.
A figura 4.16 mostra a trajetória de x em função do tempo. As linhas contí-
nuas vermelhas em (a,c e e) representam as posições das pinças ópticas. As linhas
tracejadas representam a região convexa do potencial. Como observado nos dados
experimentais, as transições diminuem à medida que aumentamos a distância, o que
é observado também na figura 4.16 (b,d e f), pois o τ nos mostra quanto tempo a
microesfera permanece na região convexa. Comparando os três gráficos de τ , fica
evidente a diminuição da quantidade de "spikes"do τ para distâncias maiores da
pinça.
CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 64
CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 65
Figura 4.17: a,c,e) Evolução de ξ no tempo, para as seguintes distâncias respectiva-
mente 2,87, 3,00 e 3,13 µm. b,d,f) Trajetória de x para o maior valor de ξ.
A figura 4.17 a) mostra como os valores de ξ evoluem no tempo. Considerando
que ξ depende explicitamente do τ , os gráficos de τ e ξ tem o mesmo comportamento.
A característica principal da evolução de ξ no tempo são seus grandes valores que
fogem muito de seu valor médio. Esses picos representam o momento em que a
microesfera teve seu maior τ conforme mostrado na figura 4.16 b). Entretanto na
maioria do tempo, o valor de ξ tende a ficar num valor comum, ou seja, valores altos
acabam se tornando raros.
Figura 4.18: Os pontos representam os dados do log-log de p(ξ) em função de ξ. As
linhas vermelhas são os ajustes linares dos pontos.
Do mesmo modo analisado nos dados experimentais, a figura 4.18 representa os
CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 66
dados em escala log-log de p(ξ) em função de ξ. Com os valores das inclinações dos
ajustes lineares (linhas vermelhas na Fig. 4.18), pode-se estimar os valores de α.
Tabela 4.3: O expoente α , calculado por meio de um ajuste no gráfico log-log de ξ
Fig. 4.18.
Distância(µm) α Erro
2,87 3,00 ± 0,33
3,0 3,79 ± 0,15
3,13 4,35 ± 0,43
Observando os valores de α em função da distância entres as pinças, obtidos
através da simulação (tabela 4.3), podemos perceber o mesmo comportamento dos
dados experimentais, ou seja, os valores de α crescem à medida que e aumenta a
distância entre as pinças.
Figura 4.19: Evolução de α em função da distância entre as pinças. Os pontos azuis
representam os valores de α obtidos na simulação, e os pretos obtidos experimental-
mente. As linhas vermelhas são os ajustes lineares.
A figura 4.19 mostra os valores de α encontrado experimentalmente e através
da simulação. É possível observar uma diferença nos valores de α para uma mesma
distância. Entretanto os ajustes lineares comprovam que a variação de α com a
distância entre as pinças são as mesmas para simulação e experimento. Isto pode
CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 67
ser evidenciado através dos valores dos coeficientes angulares obtidos através dos
ajustes lineares na Fig. 4.19 que estão mostrados na tabela 4.4.
Tabela 4.4: Inclinação da reta do ajuste linear de α mostrado na figura 4.19.
Inclinação Erro
Simulação 5,00 ± 0,67
Experimento 5,00 ± 0,89
Capítulo 5
Conclusões e Perspectivas
Nesta dissertação, foi utilizado o método proposto por David S. et al. [3] para
estudar a relação das durações das transições de uma microesfera com a distância
entre os poços de potencias criados por uma pinça óptica dupla. Grande parte do
tempo gasto neste trabalho foi dedicado à construção e calibração da pinça óptica
dupla, dada a complexidade em alinhar e calibrar as duas pinças com a mesma
intensidade.
Foi medido o tempo em que a microesfera permanece na região convexa do
potencial. Com o tempo de cada transição, foi possível analisar o comportamento
da variável escravo ξ, considerando que o seu comportamento obedece uma lei de
potência (p(ξ) ≈ (1/ξ)1+α), com o expoente α aumentando para distâncias maiores
entre as pinças. Para complementar o trabalho experimental foi realizada uma
simulação do fenômeno estudado resolvendo pelo método de Euler a equação de
Langevin. Comparando os resultados experimentais com a simulação realizada,
contatou-se o mesmo comportamento em ambos os casos.
Como perspectiva deste trabalho, sugere-se repetir o experimento, com o intuito
de verificar a dependência de α com a variação da temperatura da amostra. Também
pode-se utilizar o mesmo método para estudar o comportamento de proteínas que
tenham um comportamento semelhante ao estudado. Como por exemplo a proteína
Calmodulina (CaM) encontrada no encéfalo e coração que exibe duas regiões estáveis
e uma região de transição, semelhante aos poços de potenciais.
68
Apêndice A
Programa para o cálculo do τ
c l e a r a l l
c l o s e a l l
c l c
data = load ( ' Todos1 . txt ' ) ;
tempo2 = data ( : , 1 ) ;
x2 = data ( : , 2 ) ;
t r a n s i c o e s 2 = ze ro s ( l ength ( tempo2 ) , 1 ) ;
t r a n s i c o e s 3 = ze ro s ( l ength ( tempo2 ) , 1 ) ;
entradas2 = [ ] ;
entradas3 = [ ] ;
s a ida s2 = [ ] ;
s a ida s3 = [ ] ;
SupEntrou = 1 ; %Entrada pe lo l im i t e supe r i o r = 1
SupSaiu = 2 ; %S a d a pe lo l im i t e supe r i o r = 2
InfEntrou = 3 ; %Entrada pe lo l im i t e i n f e r i o r = 3
In fSa iu = 4 ; %S a d a pe lo l im i t e i n f e r i o r = 4
minTotal2 = −0.7;
maxTotal2 = 0 . 6 8 ;
passo = 1 . 3 8 ; %D e f i n i o do passo
min2 = minTotal2 ;
max2 = maxTotal2 ;
i n t e r v a l o = (max2−min2 ) / passo ;
d i s t 2 = 2 ;
f o r k=1: i n t e r v a l o
mask = ze ro s ( l ength ( tempo2 ) , 1 ) ;
69
APÊNDICE A. PROGRAMA PARA O CÁLCULO DO τ 70
f o r i =2: l ength ( tempo2 )
i f ( ( x2 ( i −1) < max2) && ( x2 ( i ) >= max2 ) )
mask( i ) = SupSaiu ;
end
i f ( ( x2 ( i −1) >= max2) && ( x2 ( i ) < max2 ) )
mask( i ) = SupEntrou ;
end
i f ( ( x2 ( i −1) >= min2 ) && ( x2 ( i ) < min2 ) )
mask( i ) = In fSa iu ;
end
i f ( ( x2 ( i −1) < min2 ) && ( x2 ( i ) >= min2 ) )
mask( i ) = InfEntrou ;
end
end
cont = 0 ;
t = 1 ;
nt = 0 ;
d i s t = 2 ;
f o r i =1: l ength ( tempo2 )
f l a g = 0 ;
i f (mask ( i ) == SupEntrou )
j = i +1;
i f j >= length ( tempo2 )
j = length ( tempo2 ) ;
f l a g = 1 ;
end
whi le (sum(mask ( ( i +1): j ) ) == 0) && f l a g ==0
j = j +1;
cont = cont + 1 ;
i f j >= length ( tempo2 )
j = length ( tempo2 ) ;
f l a g = 1 ;
end
end
i f ( (mask ( j ) == In fSa iu ) && ( cont >= d i s t ) )
t r a n s i c o e s 2 ( i ) = x2 ( i ) ;
t r a n s i c o e s 2 ( j ) = x2 ( j ) ;
APÊNDICE A. PROGRAMA PARA O CÁLCULO DO τ 71
entradas2 = [ entradas2 , tempo2 ( i ) ] ;
s a ida s2 = [ sa idas2 , tempo2 ( j ) ] ;
cont = 0 ;
e l s e i f ( (mask ( j ) == SupSaiu ) && ( cont >= d i s t 2 ) )
t r a n s i c o e s 3 ( i ) = x2 ( i ) ;
t r a n s i c o e s 3 ( j ) = x2 ( j ) ;
entradas3 = [ entradas3 , tempo2 ( i ) ] ;
s a ida s3 = [ sa idas3 , tempo2 ( j ) ] ;
cont = 0 ;
e l s e
cont = 0 ;
end
e l s e i f (mask ( i ) == InfEntrou )
j = i +1;
i f j >= length ( tempo2 )
j = length ( tempo2 ) ;
f l a g = 1 ;
end
whi le (sum(mask ( ( i +1): j ) ) == 0) && f l a g == 0
j = j +1;
cont = cont + 1 ;
i f j >= length ( tempo2 )
j = length ( tempo2 ) ;
f l a g = 1 ;
end
end
i f ( (mask ( j ) == SupSaiu ) && ( cont >= d i s t ) )
t r a n s i c o e s 2 ( i ) = x2 ( i ) ;
t r a n s i c o e s 2 ( j ) = x2 ( j ) ;
entradas2 = [ entradas2 , tempo2 ( i ) ] ;
s a ida s2 = [ sa idas2 , tempo2 ( j ) ] ;
cont = 0 ;
e l s e i f ( (mask ( j ) == In fSa iu ) && ( cont >= d i s t 2 ) )
t r a n s i c o e s 3 ( i ) = x2 ( i ) ;
t r a n s i c o e s 3 ( j ) = x2 ( j ) ;
entradas3 = [ entradas3 , tempo2 ( i ) ] ;
s a ida s3 = [ sa idas3 , tempo2 ( j ) ] ;
APÊNDICE A. PROGRAMA PARA O CÁLCULO DO τ 72
cont = 0 ;
e l s e
cont = 0 ;
end
e l s e
t r a n s i c o e s 3 ( i ) = 0 ;
t r a n s i c o e s 2 ( i ) = 0 ;
end
end
max2 = min2 ;
end
dados2 = [ entradas2 ' , sa idas2 ' , sa idas2 '− entradas2 ' ] ;
dados3 = [ entradas3 ' , sa idas3 ' , sa idas3 '− entradas3 ' ] ;
dados2 = [ dados2 ; dados3 ] ;
novamatrix = [ dados2 ( : , 1 ) , dados2 ( : , 3 ) ; dados2 ( : , 2 ) , dados2 ( : , 3 ) ] ;
novamatrix = sort rows ( novamatrix ) ;
f i g u r e
p l o t ( tempo2 , x2 )
g r id on
hold on
idx = t r an s i c o e s 2 ~=0;
p l o t ( tempo2 ( idx ) , t r a n s i c o e s 2 ( idx ) , ' r ∗ ' )
t i t l e ( ' Dados o r i g i n a i s + l o c a l das t r a n s i e s ' )
x l ab e l ( ' tempo ' )
y l ab e l ( ' x ' )
hold o f f
%Plota exponenc ia l do tau
f i g u r e
p l o t ( novamatrix ( : , 1 ) , exp ( novamatrix ( : , 2 ) ) )
g r i d on
t i t l e ( ' Exponencial de tau ' )
x l ab e l ( ' tempo ' )
y l ab e l ( ' exp ( tau ) ' )
f i g u r e
p l o t ( novamatrix ( : , 1 ) , novamatrix ( : , 2 ) )
g r i d on
APÊNDICE A. PROGRAMA PARA O CÁLCULO DO τ 73
t i t l e ( 'Tau ' )
x l ab e l ( ' tempo ' )
y l ab e l ( ' tau ' )
%Salva dados em txt
output3 = [ novamatrix ] ;
newTau= [ ] ;
nmatrix = novamatrix ;
bu f f e r = [ ] ;
whi l e ( l ength ( nmatrix )~=0)
padrao = nmatrix ( 1 , 1 ) ;
bu f f e r = nmatrix ( ( nmatrix (: ,1)== padrao ) , : ) ;
maxbuffer = max( bu f f e r ) ;
[ r , c ] = s i z e ( bu f f e r ) ;
i f ( r >= 2)
newTau = [ newTau ; maxbuffer ] ;
e l s e i f ( r == 1)
newTau = [ newTau ; bu f f e r ] ;
end
nmatrix ( 1 : r , : ) = [ ] ;
b u f f e r = [ ] ;
end
output4 = [ newTau ] ;
save ( ' newTau . txt ' , ' output4 ' , '− a s c i i ' ) ;
f i g u r e
p l o t (newTau ( : , 1 ) , newTau ( : , 2 ) )
Apêndice B
Simulação
# −∗− coding : utf−8 −∗−
"""
Created on Fr i Jul 1 14 : 31 : 49 2016
@author : ubirajaraG
ed i t ed : Andre Gent i l
"""
import numpy as np
import matp lo t l i b . pyplot as p l t
#Begin parameters
Time= 200 . #Enter the Time Period ( in Seconds )
R= 2000 . #Enter Sampling Rate ( in Hertz )
r= 1 .5 e−6 #Enter the sphere Radius ( in Meters )
# Begin Constants
N=in t (R∗Time) # Number o f Impulses
denH2O=1000. # Density o f water ( kg/m^3)
den=1040. # Density o f Sphere ( kg/m^3)
kv=(1. e−6) # Kinematic V i s c o s i t y (m^2/ s )
M=(4.∗np . p i ∗ r ∗∗3∗den ) /3 . # Mass o f Sphere ( kg )
gamma=(6∗np . p i ∗denH2O∗kv∗ r ) # Drag Co e f f i c i e n t ( kg/ s )
de l t a =1./R # Time Between Jumps ( Seconds )
kx=10e7 # Trap X−Axis Strength (N/m)
kx1=1e−6
kB=1.380648813e−23 # Boltzman Constant ( J/K)
T=300. # Room Temperature (K)
D=kB∗T/gamma # Di f f u s i on Const (m^2/ s )
A=1.435e−7 # po t en t i a l width
74
APÊNDICE B. SIMULAÇÃO 75
# End Constants %
# Begin Se t t i ng Al l P a r t i c l e s to I n i t i a l Condit ions %
x = np . z e r o s (N) # Set t i ng (X)=(0)
y = np . z e r o s (N)
phi2 = np . z e r o s (N)
#wx = np . z e r o s (N) # Set t ing (Wx)=(0 ,0 ,0)
# End Se t t i ng Al l P a r t i c l e s to I n i t i a l Condit ions %
# Begin I t e r a t i o n & Storage o f Random Numbers ,
# Ve l o c i t i e s , & Pos i t i on s %
pr in t ( ' \ n Simulat ion has begun . . . \n ' )
wx=np . random . normal (0 , 1 ,N)
f o r i in range (0 ,N−1):
# ca l c u l o da p o s i o com metodo de Euler
x [ i +1] = x [ i ] + (x [ i ]∗A∗∗2−x [ i ]∗∗3 )∗ ( kx∗ de l t a /gamma)
+ wx [ i ] ∗ ( np . s q r t (2∗D∗ de l t a ) )
tempo = np . asar ray (np . l i n s p a c e (0 ,N−1,num=N))/R
sa ida=np . z e r o s ( ( x . s i z e , 2 ) )
sa ida [ : , 0 ]= tempo
sa ida [ : , 1 ]= x
np . savetxt ("x . txt " , sa ida )
p r i n t ( ' S imulat ion i s Complete ! \n ' )
p l t . p l o t ( tempo , x )
p l t . f i g u r e ( )
p l t . _show( )
Lista de Figuras
1.1 Poço de potencial duplo criado pela pinça óptica, região indicada onde
a segunda derivada do potencial é menor que zero φ′′(xt) < 0. . . . . 10
2.1 : Ilustração dos poços de potenciais criados pelas pinças com uma
microesfera aprisionada. A microesfera irá oscilar entre os dois poços
de potencias, passando de a) a c), devido ao seu movimento Browni-
ano, na parte b) a microesfera esta na região convexa do potencial,
determinada pelas linhas continuas pretas. . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Ilustração das forças de espalhamento causadas pela reflexão e absor-
ção da luz pela microesfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Ilustração da força de gradiente que surge devido a refração da luz na
microesfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Ilustração das forças de gradiente atuando na microesfera acima do
foco do laser. A força resultante atua para baixo em direção ao foco. 19
2.5 Caso ideal onde todos os raios atingem a microesfera, ou seja, sem
aberração esférica o foco se encontra em apenas um único ponto. . . . 22
2.6 Caso real onde é considerada a aberração esférica. Os raios refratam
em ângulos diferentes na interface vidro-água. . . . . . . . . . . . . . 23
2.7 Sistemas de coordenadas da pinça óptica dupla. . . . . . . . . . . . . 25
2.8 Esquema da montagem experimental utilizada para produzir um poço
de potencial duplo através de pinças ópticas. . . . . . . . . . . . . . . 27
2.9 Imagem das pinças ópticas, obtidas pela focalização do feixe de la-
ser pela objetiva, capturada utilizando a câmera CMOS. A distância
entre as pinças é calculada obtendo o valor de centro a centro dos spots. 29
2.10 Ajuste polinomial da relação entre d1 e a distância entre as pinças. . 30
2.11 Microesfera de Poliestireno de 3 µm presa em uma das pinça. . . . . . 31
2.12 Flutuação das posições (x, y) no plano da imagem do centro de massa
da microesfera obtidas através da função analyse particles do pro-
grama ImageJ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
76
LISTA DE FIGURAS 77
2.13 A indicação azul mostra uma microesfera presa à lamínula e a indica-
ção vermelha mostra a microesfera presa na pinça óptica. a) Momento
antes de ser estabelecido o movimento. b) Microesfera presa a pinça
depois do movimento ser estabelecido. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.14 Deslocamento da microesfera presa na pinça devido ao fluxo. . . . . . 34
2.15 Constante da força da pinça em função da potência do laser. Os qua-
drados representam o método utilizando o teorema de equipartição.
Os círculos representam o método de Stokes. . . . . . . . . . . . . . 36
3.1 Movimento aleatório de uma partícula, resultante da colisão das mo-
léculas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Partícula grande sofrendo colisões de partículas menores. . . . . . . 38
4.1 Posição do centro de massa da microesfera no plano x, y durante todo
o filme que possui duração de (a) 4,52, (b) 2,53 e (c) 1,15 horas. . . . 48
4.2 Histograma das posições no eixo x passando pelo centro da pinça
óptica mostrado na figura 2.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3 Probabilidade de encontrar a microesfera na direção x para as pinças
com distâncias (a) 2,87, (b) 3,00 e (c) 3,13 µm. . . . . . . . . . . . . 49
4.4 a) Potencial efetivo φ(x)/kBT calculado utilizando a equação 4.2 para
os poços com distâncias 2,87, 3,00 e 3,13 µm. Os circulos em preto
representam os dados experimentais e a curva vermelha representa o
ajuste do potencial efetivo utilizando um polinômio de 8◦grau. b)
Segunda derivada do ajuste polinomial de φ(x). A região convexa
do potencial é indicada pelas linhas tracejadas, sendo a linha azul o
limite superior da região convexa e a verde o limite inferior. . . . . . 50
4.5 Imagem em três dimensões do potencial efetivo submetido a microes-
fera através da pinça óptica dupla com distâncias (a) 2,87, (b) 3,00 e
(c) 3,13 µm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.6 Posições nos eixos x e y do centro de massa da microesfera em função
do tempo para os poços com distâncias de (a, b) 2,87, (c, d) 3,00 e
(e, f) 3,13 µm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.7 Região convexa do potencial. Os círculos representam os dados ex-
perimentais e as linhas contínuas representam os ajustes polinomiais
de grau 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
LISTA DE FIGURAS 78
4.8 a) Transição completa da partícula entrando pelo limite superior e
saindo pelo limite inferior (τ ≈ 7,1 s). τ é calculado a partir do mo-
mento que a microesfera entra na região convexa. b) É apresentado
um caso onde a microesfera apenas entra na região convexa mas não
chega a transitar entre os poços (τ ≈ 6,2 s). Este tempo também
é levado em consideração. c) Outro exemplo de uma transição com-
pleta. Neste caso a transição foi realizada mais rapidamente (τ ≈
3,85 s). As linhas tracejadas verde representam o limite inferior da
região convexa e as azuis o limite superior. . . . . . . . . . . . . . . 55
4.9 Evolução de τ no tempo durante todo o vídeo. Cada pico de τ re-
presenta o tempo total em que a microesfera permanece na região
convexa naquele determinado instante. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.10 a) Evolução de ξ com o tempo para a distância de 2, 87µm. b) foram
omitidos todos os valores de ξ maiores que 100. . . . . . . . . . . . . 57
4.11 a) Evolução de ξ com o tempo para a distância de 3, 00µm. b) foram
omitidos todos os valores de ξ maiores que 50. . . . . . . . . . . . . . 57
4.12 a) Evolução de ξ com o tempo para a distância de 3, 13µm. b) foram
omitidos todos os valores de ξ maiores que 10. . . . . . . . . . . . . . 58
4.13 Representção gráfica em escala log-log dos valores de p(ξ) em função
de ξ para as pinças com distâncias de 2,87, 3,00 e 3,13 µm. A linha
vermelha representa o ajuste linar onde os parâmetros se encontram
na figura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.14 Probabilidade p(x) de se encontrar uma microesfera na direção x para
os poços com distâncias 2,87, 3,00 e 3,13 µm obtidos através da si-
mulação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.15 a) Potencial efetivo φ(x)/kBT calculado utilizando a equação 4.2 para
os poços com distâncias 2,87, 3,00 e 3,13 µm. Os circulos em preto re-
presentam os dados experimentais e a curva vermelha, sobreposta pe-
los círculos, representam os ajustes dos potenciais efetivos utilizando
um polinômio de 8◦ grau. b) Segunda derivada do ajuste polinomial
de φ(x). A região convexa do potencial é indicada pelas linhas trace-
jadas, sendo a linha azul o limite superior da região convexa e a verde
o limite inferior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.16 a, c, e) Trajetória de x da microesfera para os poços com distâncias
2,87, 3,00 e 3,13 µm. b, d, f) Evolução do τ no tempo. . . . . . . . . . 63
LISTA DE FIGURAS 79
4.17 a,c,e) Evolução de ξ no tempo, para as seguintes distâncias respec-
tivamente 2,87, 3,00 e 3,13 µm. b,d,f) Trajetória de x para o maior
valor de ξ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.18 Os pontos representam os dados do log-log de p(ξ) em função de ξ.
As linhas vermelhas são os ajustes linares dos pontos. . . . . . . . . . 65
4.19 Evolução de α em função da distância entre as pinças. Os pontos
azuis representam os valores de α obtidos na simulação, e os pretos
obtidos experimentalmente. As linhas vermelhas são os ajustes lineares. 66
Lista de Tabelas
2.1 Valor da constante da pinça k com o modulador acústico-óptico. . . . 36
4.1 Relação da distância entre as pinças com o coeficiente do termo qua-
drático B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2 Expoente α , calculado através de uma ajuste no gráfico log-log de ξ
Fig 4.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3 O expoente α , calculado por meio de um ajuste no gráfico log-log de
ξ Fig. 4.18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4 Inclinação da reta do ajuste linear de α mostrado na figura 4.19. . . 67
80
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