UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Dissertação de Mestrado
Estudo do Bilhar no Anel de Círculos
Excêntricos
Reginaldo Braz Batista
Orientadoras: Sylvie Oliffson Kamphorst e Sônia Pinto de Carvalho
2008
Estudo do Bilhar no Anel de Círculos
Excêntricos
Reginaldo Braz Batista
Orientadoras: Sylvie Oliffson Kamphorst e Sônia Pinto de Carvalho
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática do Instituto de
Ciências Exatas da Universidade Federal de Minas Gerais, como requisito à obtenção do
título de MESTRE EM MATEMÁTICA.
Belo Horizonte- MG
2008
.Resumo
Estudamos uma família a dois parâmetros de bilhares em mesas circulares com um obs-
táculo interno. A dinâmica do sistema é descrita pela ação de um homeomorfismo no
cilindro compacto. Estudamos a estabilidade de pontos fixos e utilizamos as simetrias
do problema para analisar o comportamento das variedades invariantes associadas a um
ponto fixo hiperbólico. Provamos a existência de pontos homoclínicos para certos pa-
râmetros e estudamos as implicações dinâmicas da ocorrência de interseção homoclínica
com cruzamento topológico.
.Abstract
We study a two parameter family of billiards in circular tables with an internal obstacle.
The dynamic is described by the action of an homeomorphism of the compact cylinder.
We study the stability of the fixed points and we use the symmetries of the problem
to analyze the behavior of the invariant manifolds of the hyperbolic fixed point. We
prove the existence of homoclinic points for some parameters and we study the dynamical
implication of the homoclinic intersection with topological crossing.
.Para: Ari Guimarães Batista e Stella Braz Batista,
Sílvio, Divina, Maristela e Bruno.
5
.Agradecimentos
Agradeço a Sylvie Oliffson Kamphorst e Sônia Pinto de Carvalho por todos os anos de
orientação, aos professores Mário Jorge Dias Carneiro, Carlos Gustavo Moreira e José
Antônio Miranda pela participação na banca, ao Departamento de Matemática da UFMG,
a todos os professores que tive até hoje e aos meus amigos.
Índice
1 Introdução 9
2 O bilhar no anel excêntrico 13
2.1 A aplicação do bilhar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Dinâmica global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Estrutura do espaço de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.1 Simetrias e órbitas periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.2 As curvas β constante e o conjunto de singularidades . . . . . . . . 26
2.3.3 Imagens de retas verticais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.4 Imagens dos eixos de simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Pontos fixos 33
3.1 O ponto fixo elíptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 O ponto fixo hiperbólico (pi, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.1 Pontos homoclínicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Entropia topológica 43
7
4.1 Critério geométrico para entropia topológica positiva . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Entropia topológica positiva do bilhar no anel excêntrico . . . . . . . . . . 50
8
Capítulo 1
Introdução
Consideremos uma partícula em movimento retilíneo uniforme no interior de uma região
plana D, limitada por uma fronteira, ∂D, com a qual a partícula sofre colisões elásticas.
A descrição do comportamento dinâmico desta partícula é o que chamamos de Problema
do bilhar na mesa D. Damos o nome de Bilhar ao sistema dinâmico definido pela situação
descrita acima.
Os bilhares originalmente surgiram como modelos para tratar problemas de mecânica
clássica, hoje são iteressantes do ponto de vista teórico por constituírem fonte de exem-
plos e servirem para testes de conjecturas. De fato, estes sistemas apresentam diversos
fenômenos dinâmicos variando entre os casos que poderíamos classificar como mais or-
denados aos mais caóticos. Esses comportamentos são fundamentalmente determinados
pela geometria da mesa.
Para a descrição matemática do problema podemos considerar a partícula se movimen-
tando com velocidade v unitária. O estado do sistema no instante t é dado pelo ponto
(qt, vt) ∈ D× S1 sendo qt a posição da partícula na mesa e vt sua velocidade. A partir de
um estado inicial (q0, v0) a partícula segue uma trajetória linear com velocidade constante
v0 até sofrer um choque elástico com a fronteira, quando há uma mudança instantânea
na direção da velocidade, v0 → v′0, determinada por uma reflexão em relação à direção
tangente à curva no ponto de choque. Podemos assim descrever a dinâmica por um fluxo
9
Figura 1.1: O movimento poligonal de uma partícula no bilhar
Φt : M → M , onde M = D × S1 com a identificação (q, v) = (q, v′) nos pontos em que
q ∈ ∂D. (ver [6] ou [3] para uma definição mais detalhada)
A dinâmica do bilhar é mais comumente descrita por uma uma aplicação T : Ω → Ω,
A aplicação de bilhar, onde Ω := {(q, v); q ∈ ∂D} é o conjunto dos pontos de colisão
na mesa. Dado um ponto (qi, vi) ∈ Ω está associado um único ponto (qi+1, vi+1) ∈ Ω
correspondente à primeira colisão com o bordo da partícula que sai de qi com velocidade
vi. Definimos:
T (qi, vi) := (qi+1, vi+1)
Cada trajetória na mesa é completamente determinada pela seqüência de colisões com o
bordo, dada uma dessas colisões (q, v) obtemos todas as outras por {T n(q, v)}n∈Z .
Na definição da aplicação T está implícita uma condição sobre a regularidade do bordo da
mesa, não é possível determinar o movimento da partícula quando esta se choca com um
ponto do bordo onde não está definida a tangente. Esta condição impõe uma restrição
sobre a classe de mesas de bilhar tratáveis.
Se a mesa tem o bordo dado por uma curva fechada convexa diferenciável a aplicação do
bilhar está definida para todo ponto em Ω. Podemos nesse caso tomar as colisões (q, v)
nas coordenadas (ω, α) sendo ω um parâmetro de comprimento de arco que identifica q
e α o ângulo entre o vetor v e a normal ao bordo no ponto de colisão. Temos o seguinte
resultado:
Teorema 1.0.1 Se a fronteira da mesa for uma curva fechada Ck estritamente convexa, a
10
aplicação do bilhar T : Ω→ Ω é um difeomorfismo Ck−1 preservando a medida cosα dωdα.
Figura 1.2: Colisões consecutivas numa mesa de bilhar
A prova desse fato é devida a Birkhoff e pode ser encontrada em [6] ou [3]. Basicamente
o resultado é obtido da seguinte expressão para a derivada de T :
D(ω0,α0)T =
−1
cos(α1)

τK0 + cosα0 τ
τK0K1 +K0 cosα1 +K1 cosα0 τK1 + cosα1
 (1.1)
Nesta expressão temos (ω0, α0) e (ω1, α1) pontos de colisão consecutivos, K0 e K1 são as
curvaturas do bordo em cada ponto de colisão e τ é o comprimento do segmento de reta
dado pela trajetória entre ω0 e ω1 . A dependência em relação à curvatura justifica a
perda de um grau de diferenciabilidade da aplicação em relação à diferenciabilidade do
bordo.
Podemos obter o seguinte resultado mais geral:
Teorema 1.0.2 Se a fronteira da mesa de bilhar é dada pela união finita de curvas Ck
com k ≥ 3, estritamente convexas ou retas, então para um subconjunto de Ω a aplicação
de bilhar T : Ω→ Ω é um difeomorfismo local Ck−1 que preserva a medida cosαdωdα. O
subconjunto em questão é de medida total.
A prova desse fato encontra-se em [3], onde se estuda de forma detalhada o conjunto
dos pontos em que a aplicação de bilhar não é diferenciável, Conjunto de singularidades.
11
Este conjunto é basicamente constituído pelas condições iniciais que originam choque
com pontos de não diferenciabilidade ou trajetórias que tangenciam o bordo, esta última
situação justifica-se pela presença do termo −1
cos(α1)
na expressão da derivada que torna-se
ilimitado nos pontos de tangência quando tem-se α1 = pi2 . No complementar do conjunto
de singularidades, Pontos regulares, a aplicação de bilhar comporta-se como em mesas
convexas preservando a medida cosα dωdα. Mostra-se que o conjunto de singularidades
tem medida nula donde conclui-se o resultado.
Em resumo: a dinâmica do bilhar em mesas cujo bordo satisfaz as condições do teorema
1.0.2 pode ser descrita por um sistema dinâmico discreto (Ω, T, µ). Sendo Ω o conjunto
dos pontos de colisão e T : Ω → Ω um difeomorfismo em um subconjunto Ω′ ⊂ Ω de
medida total com respeito à medida µ := cosαdωdα. O sistema é conservativo o que
significa que µ é uma medida invariante por T , i.e µ(T (A)) = µ(A).
Neste contexto as trajetórias na mesa são traduzidas nas órbitas :
O(ω, α) = {...T−1(ω, α), (ω, α), T (ω, α), ...}
e estudar a dinâmica consiste em procurar descrever o comportamento de tais órbitas
para a maioria dos pontos (ω0, α0) ∈ Ω.
12
Capítulo 2
O bilhar no anel excêntrico
Neste trabalho vamos considerar o problema do bilhar em uma mesa circular contendo
um disco como obstáculo interno. A essas mesas daremos o nome de Anéis Excêntricos.
O estudo destes bilhares foi feito pela primeira vez por Saitô et all em [1].
Figura 2.1: Anel Excêntrico
Definição 2.0.1 Um Anel Excêntrico (r, δ) é a região plana compreendida no interior
de um círculo unitário de centro c e externa ao disco de raio r < 1 e centro c′ tal que
|c− c′| = δ > 0 e r + δ < 1
13
2.1 A aplicação do bilhar
A aplicação de bilhar no anel excêntrico é descontínua em decorrência das trajetórias que
tangenciam o bordo do disco interno. No entanto, é possível descrever a dinâmica deste
sistema por uma aplicação de bilhar modificada que preserva a medida da aplicação de
bilhar usual. Para provar estes fatos iniciemos definindo a parametrização do conjunto de
colisões.
As colisões com o círculo externo serão identificadas pelas coordenadas (ω, α) sendo ω ∈
[−pi, pi) o comprimento do arco entre o ponto P0 (ver Figura 2.1 ) e o ponto de colisão
medido no sentido anti-horário, o ângulo α ∈ (−pi
2
, pi
2
) é o ângulo entre o vetor velocidade
e o vetor normal no ponto de colisão medido no sentido horário.
As colisões com o círculo interno serão identificadas pelas coordenadas (ω′, β) sendo ω′ ∈
[(3 − r)pi, (3 + r)pi) o comprimento de arco medido no sentido horário a partir do ponto
P1 e β ∈ [−pi2 , pi2 ] o ângulo do vetor velocidade com a normal no ponto de colisão medido
no sentido anti-horário.
Definimos então o conjunto de colisões por:
C = [−pi, pi)× (−pi
2
,
pi
2
) ∪ [(3− r)pi, (r + 3)pi)× [−pi
2
,
pi
2
]
que é a união de dois cilindros disjuntos dado que os bordos são duas curvas fechadas
disjuntas. Observemos que o segundo cilindro, das colisões com o círculo interno, é fechado
já que é possível haver colisões de tangência com o este bordo.
Seja F := F(r,δ) : C → C a aplicação do bilhar em um anel (r, δ). Nas coordenadas (ω, α)
escreveremos:
F (ω0, α0) = (ω1, α1)
Pelo teorema (1.0.2), F é um difeomorfismo C∞ a menos de um conjunto de medida nula,
o conjunto de singularidades, que no caso é constituído pelos pontos de C que determinam
trajetórias tangentes ao bordo interno, i.e os pontos (ω0, α0) tais que |α1| = pi2 . Veremos
adiante que este conjunto é formado por duas curvas fechadas C∞ em [−pi.pi) × (−pi
2
, pi
2
)
14
que são gráficos da coordenada ω dados pela equação:
|sen (ω) + δsen (ω − α)| = r (2.1)
estas curvas dividem o cilindro [−pi.pi)× (−pi
2
, pi
2
) nos conjuntos:
B = {(ω, α) ∈ [−pi.pi)× (−pi
2
,
pi
2
), |sen (ω) + δsen (ω − α)| ≤ r}
e
A = {(ω, α) ∈ [−pi.pi)× (−pi
2
,
pi
2
), |sen (ω) + δsen (ω − α)| > r}
Figura 2.2: Trajetórias tangentes ao disco interno.
O conjunto B é formado pelos pontos (ω0, α0) tais que F (ω0, α0) é um ponto de colisão
com o círculo interno. Os pontos (ω0, α0) ∈ A são tais que F (ω0, α0) corresponde a uma
colisão com o círculo externo.
Toda colisão com o círculo interno é precedida e sucedida por colisões com o círculo
externo. Podemos então descrever completamente uma trajetória em (r, δ) considerando
somente os pontos de colisão com o círculo externo. Isso nos leva a definir uma nova
aplicação
T : [−pi.pi)× (−pi
2
,
pi
2
)→ [−pi.pi)× (−pi
2
,
pi
2
)
que associa uma colisão (ω0, α0) no círculo externo com a próxima colisão que ocorrer
também com o círculo externo. Podemos escrever:
T (ω, α) =
 TA := F (ω, α) se (ω, α) ∈ A,TB := F 2(ω, α) se (ω, α) ∈ B (2.2)
15
Figura 2.3: Parametrização das colisões na mesa de bilhar.
Podemos também encontrar equações que relacionam (ω0, α0) com sua imagem T (ω0, α0) =
(ω1, α1). A dedução destas relações encontra-se em [10] ou [9] e segue os parâmetros da
Figura 2.3.
TA =
 α1 = α0ω1 = ω0 + (pi − 2α0) (2.3)
TB =

sen α0 + δ sen (α0 − ω0) = rsen β,
sen α1 + δ sen (α1 + ω1) = rsen β,
2β = α0 − ω0 + α1 + ω1
(2.4)
Essa nova aplicação substitui F com vantagens, pois além de estar definida em um domínio
conexo é também um homeomorfismo que preserva a medida cosα dωdα.
Proposição 2.1.1 A aplicação T : [−pi, pi) × (−pi
2
, pi
2
) → [−pi, pi) × (−pi
2
, pi
2
) é um home-
omorfismo, C∞ a menos do conjunto de singularidades, e preserva a medida cosαdωdα.
Podemos estenter continuamente T ao fecho de [−pi, pi) × (−pi
2
, pi
2
) definindo os pontos
(ω,±pi
2
) como sendo fixos.
Prova: Como T |A := F |A e T |intB := F 2|intB são difeomorfismos C∞ resta-nos provar a
continuidade em ∂B. Suponhamos {(ωk, αk)}k≥0 uma seqüência em B convergindo para
(ω0, α0) ∈ ∂B. Denotemos T (ωk, αk) = (ωk1 , αk1) e βk = β(ωk, αk). Temos das relações 2.4
que:
sen αk1 + δ sen (α
k
1 + ω
k
1) = rsen β
k
16
2βk = αk − ωk + αk1 + ωk1
Segue que:
sen αk1 + δ sen (2β
k − αk + ωk) = rsen βk
Quando k → ∞ temos βk → β(ω0, α0), ωk1 → ω1(ω0, α0) e αk1 → α1(ω0, α0). Tomando o
limite na última igualdade acima obtemos:
sen α1(ω0, α0) + δ sen (2β(ω0, α0)− α0 + ω0) = rsen β(ω0, α0)
Como (ω0, β0) ∈ ∂B temos que β(ω0, α0) = ±pi2 portanto:
sen (2β(ω0, α0)− α0 + ω0) = sen (±pi
2
− α0 + ω0) = sen (α0 − ω0)
Então, podemos escrever:
sen α1(ω0, α0) + δ sen (α0 − ω0) = rsen β(ω0, α0)
Assim:
sen α1(ω0, α0) = rsen β(ω0, α0)− δ sen (α0 − ω0) = sen (α0)
Esta última igualdade, que segue das relações 2.4, implica que α1 = α0.
Ainda das relações 2.4 temos que:
ωk1 = 2β
k − (α0 − ω0 + αk1)
17
Tomando o limite em k e já considerando que α0 = α1(ω0, α0) temos:
ω1(ω0, α0) = 2(±pi
2
)− (α0 − ω0 + α1(ω0, α0))
ω1 = ±pi − 2α0 + ω0
Como identificamos pi e −pi temos finalmente que:
α1(ω0, α0) = α0
ω1(ω0, α0) = pi − 2α0 + ω0
Logo (ω0, α0) e T (ω0, α0) satisfazem as relações 2.3, ou seja, TA(ω0, α0) = TB(ω0, α0) e
conluímos a continuidade de T em ∂B.
Sendo T contínua em [−pi.pi) × (−pi
2
, pi
2
) há uma única extensão contínua em [−pi.pi) ×
[−pi
2
, pi
2
], esta extensão consiste em definir como fixos os pontos (ω,±pi
2
). De fato:
lim
α0→pi2
[ω1(ω0, α0)] = lim
α0→pi2
[ω0 + (pi − 2α0)] = ω0 + (pi − 2pi)) = ω0
portanto T (ω0,±pi2 ) = (ω0,±pi2 ).
Quanto à medida, seja µ a medida invariante por F , e C um boreleano de [−pi.pi)×[−pi
2
, pi
2
].
Denotemos por K o união ∂B∪{α = ±pi
2
} que é um conjunto de medida nula. Temos que
A = (C ∩ A) ∪ (C ∩ B) ∪ (C ∩ K)
Sendo esta união disjunta temos:
µ(T (A)) = µ(T (C ∩ A)) + µ(T (C ∩ B)) + µ(T (C ∩ K))
Como
µ(C ∩ K) = 0
µ(T (C ∩ A)) = µ(F (C ∩ A)) = µ(C ∩ A)
µ(T (C ∩ B)) = µ(F 2(C ∩ A)) = µ(A ∩ B)
18
temos que
µ(T (A)) = µ((C ∩ A) ∪ (C ∩ B) ∪ (C ∩ K)) = µ(A).
Portanto µ é medida invariante por T . 
Utilizando a expressão (1.1) para a derivada da aplicação do bilhar vamos obter a derivada
da aplicação T :
D(ω0,α0)T =

∂ω1(ω0,α0)
∂ω
∂ω1(ω0,α0)
∂α
∂α1(ω0,α0)
∂ω
∂α1(ω0,α0)
∂α
 (2.5)
Precisamos considerar separadamente os casos em que (ω0, α0) ∈ A e (ω0, α0) ∈ B. No
primeiro caso, segue facilmente das relações 2.3 que:
D(ω0,α0)T =

1 −2
0 1

No caso em que (ω0, α0) ∈ B temos que T (ω0, α0) = F 2(ω0, α0), logo pela regra da cadeia
D(ω0,α0)T = D(ω0,α0)F
2 = DF (ω0,α0)F.D(ω0,α0)F .
A condição inicial (ω0, α0) ∈ B determina uma colisão (ω′, β) = F (ω0, α0) com o círculo
interno. Da expressão (1.1) temos que:
D(ω0,α0)T =
−1
cos β

−τ0 + cosα0 τ0
−τ0+cosα0
r
− cos β τ0
r
+ cos β
 (2.6)
A condicão (ω′, β) determina uma colisão T (ω′, β) = (ω1, α1) com o bordo externo. No-
vamente pela expressão 1.1 temos:
D(ω′,β)T =
−1
cosα1

τ1
r
+ cos β τ1
−τ1+cosα1
r
− cos β −τ1 + cosα1
 (2.7)
19
Fazendo o produto de (2.6) com (2.7) obtemos:
∂ω1
∂ω
= −2τ0τ1
r
+
2τ1 cosα0
r
− (τ0 + τ1 − cosα0) cos β
∂ω1
∂α
=
2τ1τ0
r
+ τ0τ1 cos β
∂α1
∂ω
=
2
r
(τ1τ0 − τ1 cosα0 − τ0 cosα1) + (τ1 + τ0 − cosα0 − cosα1) cos β + cosα1 cosα0
r
∂α1
∂α
= −2τ1τ0
r
+
2τ0 cosα1
r
+ (τ0 − τ1) cos β + cosα1 cos β
quando calculadas em (ω0, α0)
2.2 Dinâmica global
Uma visão global da dinâmica do sistema é obtida observando a disposição das órbitas
no espaço de fase Ω, as figuras a seguir ilustram casos típicos da dinâmica para diferentes
parâmetros (r, δ). Elas são obtidas pela plotagem em Ω - aqui representado pelo retângulo
[−pi, pi]× [−pi
2
, pi
2
] - de segmentos de órbitas para várias condições iniciais.
Basicamente a estrutura do espaço de fase nestes bilhares é determinada pela existência
de dois pontos fixos ((0, 0) e (pi, 0)) e as principais alterações da dinâmica global ocorrem
em função da mudança de estabilidade destes pontos em decorrência de uma variação nos
parâmetros.
Figura 2.4: Exemplos de trajetórias poligonais na mesa de bilhar e suas respectivas órbitas.
A Figura 2.5 ilustra o caso típico da dinâmica para parâmetros r > δ. Nota-se a presença
de curvas invariantes em torno de (0, 0) sugerindo a estabilidade deste ponto. Observa-se
uma cadeia de ilhas de estabilidade associadas a uma órbita periódica. Nas proximidades
20
Figura 2.5: Órbitas para a mesa de parâmetros (0.5,0.25). Em destaque o conjunto de
singularidades dado pelas curvas em formato de senóides.
dos bordos as órbitas estão restritas a curvas invariantes α =constante, correspondendo
às condições iniciais que determinam apenas colisões com o círculo externo. Em destaque
também as curvas de singularidade.
A Figura 2.6 caracteriza a dinâmica para o caso r < δ. Nota-se a ausência da ilha central
em torno de (0, 0) que deixa de ser elíptico para essa região de parâmetros. Persistem
as curvas invariantes vizinhas ao bordo e algumas ilhas de estabilidade correspondendo a
órbitas periódicas elípticas também são perceptíveis.
Fica clara a dependência da dinâmica em relação aos parâmetros (r, δ) e a influência dos
pontos (pi, 0) e (0, 0) que são os dois únicos pontos fixos da aplicação T no interior de Ω.
Analizaremos a dinâmica na vizinhança destes pontos com mais detalhe no capítulo 3.
Em particular temos maior interesse em estudar o comportamento das variedades invari-
antes associadas ao ponto (pi, 0). Mostraremos a existência de interseções homoclínicas e
algumas conseqüências desse fenômeno.
21
Figura 2.6: Órbitas para a mesa de parâmetros (0.3,0.4)
2.3 Estrutura do espaço de fase
Nesta seção provamos algumas propriedades do espaço de fase que serão úteis no estudo
que faremos da dinâmica dos bilhares excênctricos.
Representaremos o cilindro Ω pelo retângulo [−pi, pi] × [−pi
2
,−pi
2
] o qual dividiremos em
quadrantes tendo como referência as curvas
γ0 := {(ω, 0)} φ0 := {(pi, α)} ξ0 := {(0, α)}
Denotaremos os quadrantes por Qi, i = 1, 2, 3, 4 na ordem da Figura 2.7. Cada Qi é um
conjunto fechado cujo bordo são segmentos das curvas γ0, φ0, ξ0 e do bordo ∂Ω.
Dado C ⊂ Ω um subconjunto qualquer, denotaremos por Cn o conjunto T n(C) para todo
n ∈ Z. Diremos que C é invariante por T se T (C) = C. Diremos que C é fixado por T
se ∀x ∈ C temos T (x) = x.
22
Figura 2.7: A divisão do espaço de fase em quadrantes pelos eixos de simetria.
2.3.1 Simetrias e órbitas periódicas
Definiremos em Ω as seguintes aplicações, que chamaremos de simetrias:
X : Ω→ Ω X(ω, α) = (−ω, α)
Y : Ω→ Ω Y (ω, α) = (ω,−α)
Aos conjuntos fixados por estas aplicações damos o nome de eixos de simetria. Temos
γ0 := {(ω, 0)} como eixo de Y e os conjuntos φ0 := {(pi, α)} e ξ0 := {(0, α)} os eixos de
simetria de X.
A aplicação T satisfaz as seguintes relações de simetria:
Y T−1 = TY e XT−1 = TX (2.8)
A primeira é uma propriedade geral das aplicações de bilhar, a segunda é conseqüência
da simetria do anel excêntrico. Ambas podem ser provadas diretamente das equações 2.4
e 2.3. A Figura 2.8 ilustra as simetrias na mesa de bilhar.
Verificaremos as implicações para a dinâmica decorrentes das relações (2.8). Observemos
que X deixa invariante o eixo de simetria Y , i.e X(γ0) = γ0, e Y deixa invariantes os
23
Figura 2.8: Simetrias do bilhar no anel excêntrico.
eixos de simetria de X, i.e Y (φ0) = φ0 e Y (ξ0) = ξ0. Além disto se um conjunto C for
invariante por alguma das simetrias X ou Y teremos
C−n = T−n(C) = T−nX(C) = XT n(C) se X(C) = C
C−n = T−n(C) = T−nY (C) = Y T n(C) se Y (C) = C
Se tomamos C como um dos eixos de simetria temos:
X(γn) = Y (γn)
φ−n = X(φn) = Y (φn)
ξ−n = X(ξn) = Y (ξn)
Logo há uma relação de simetria entres as imagens dos eixos γ0, φ0 e ξ0. Estas curvas
também estão relacionadas com os pontos periódicos de T .
Proposição 2.3.1 Dados m,n inteiros não simultaneamente nulos, os pontos de (γm ∪
φm ∪ ξm) ∩ (γn ∪ φn ∪ ξn) são pontos periódicos de T .
prova: Observemos inicialmente que se (ω, α) ∈ cm∩c′n então T−n(ω, α) ∈ T−n(cm∩c′n) =
cm−n∩c′0, ou seja, T−n((ω, α)) ∈ c′0 e se este ponto for periódico (ω, α) também será. Logo
para provar o resultado basta considerarmos as interseções do tipo cm∩ c′0. Vamos dividir
em casos :
1. γm ∩ γ0:
24
Se (ω0, α0) ∈ γm∩γ0 então (ω0, α0) ∈ γ0 e (ω−m, α−m) = T−m(ω0, α0) ∈ T−m(γm) =
γ0. Segue que:
Y (ω−m, α−m) = (ω−m, α−m) e Y (ω0, α0) = (ω0, α0)
Pelas relações de simetria satisfeitas por T temos:
(ω0, α0) = Y (ω0, α0) = Y T
m(ω−m, α−m) = T−mY (ω−m, α−m)
= T−m(ω−m, α−m) = T−2m(ω0, α0)
Portanto (ω0, α0) é um ponto periódico de período menor ou igual a 2m.
2. (φm ∪ ξm) ∩ (φ0 ∪ ξ0):
Como no caso anterior, se (ω0, α0) ∈ (φm ∪ ξm)∩ (φ0 ∪ ξ0) então (ω0, α0) ∈ (φ0 ∪ ξ0)
e (ω−m, α−m) ∈ (φ0 ∪ ξ0) donde:
X(ω−m, α−m) = (ω−m, α−m) e X(ω0, α0) = (ω0, α0)
Temos também que:
(ω0, α0) = X(ω0, α0) = XT
m(ω−m, α−m) = T−mX(ω−m, α−m)
= T−m(ω−m, α−m) = T−2m(ω0, α0)
Portanto (ω0, α0) é um ponto periódico de período menor ou igual a 2m.
3. (φm ∪ ξm) ∩ γ0:
Se (ω0, α0) ∈ (φm ∪ ξm) ∩ γ0 então (ω−m, α−m) ∈ (φ0 ∪ ξ0) donde:
X(ω−m, α−m) = (ω−m, α−m) e X(ω0, α0) = (ω0, α0)
Temos que:
(ω−m, α−m) = Y (ω−m, α−m) = Y T−m(ω0, α0) = TmY (ω0, α0) = (ωm, αm)
Como (ω−m, α−m) ∈ (φ0 ∪ ξ0) temos ω−m ∈ {0, pi} donde xm ∈ (φ0 ∪ ξ0) já que
pelas relações acima temos ωm = ω−m . Segue que xm ∈ (φ0 ∪ ξ0) e (ω−m, α−m) =
T−2m(xm) ∈ T (φ0 ∪ ξ0) = (φ−m ∪ ξ−m). Ou seja, (ω−m, α−m) ∈ (φ0 ∪ ξ0) ∩ (φ−2m ∪
ξ−2m) donde pelo caso 2 (ω−m, α−m) é um ponto periódico de período menor ou
igual a 4m, assim como (ω0, α0).
25
Não é uma conseqüência da proposição acima mas as interseções γ0 ∩ φ0 = (pi, 0) e
γ0 ∩ ξ0 = (0, 0) também são pontos periódicos, sendo os únicos pontos fixos de T no
interior de Ω, isso pode ser verificado diretamente das equações 2.4.
2.3.2 As curvas β constante e o conjunto de singularidades
Consideremos agora as curvas β constante. Relembremos que β identifica o ângulo de
colisão com o disco interno e que se expressa em função de (ω0, α0) por:
β(ω0, α0) =
1
2
(α0 − ω0 + α1(ω0, α0) + ω1(ω0, α0))
Uma curva com β constante é o conjunto dos pontos (ω, α) tais que β(ω, α) = c para
alguma constante c ∈ [−pi
2
, pi
2
]. Estas curvas são gráficos C∞ de ω. De fato, derivando em
relação a α0:
∂β
∂α0
=
1
2
(1 +
∂α1
∂α0
+
∂ω1
∂α0
)
Mas:
∂α1
∂α0
= −2τ0τ1
r
+ 2
τ0 cosα1
r
− (τ0 + τ1) cos β + cosα1 cos β
e
∂ω1
∂α0
= 2
τ0τ1
r
+ (τ0 + τ1) cos β
Portanto:
∂β
∂α0
=
1
2
(1 + 2
τ0 cosα1
r
+ cosα1 cos β)
que é sempre não nulo já que α1 ∈ (−pi2 , pi2 ) e β ∈ [−pi2 , pi2 ]
Segue do teorema da função implícita que para cada valor c ∈ [−pi
2
, pi
2
] o conjunto β(ω0, α0) =
c é um gráfico C∞ de ω. Portanto as curvas β = const são fechadas e homotópicas aos
bordos do cilindro.
A região B do cilindro Ω é folheada pelas curvas β constante sendo que o conjunto de
singularidades ∂B, é dado pelas curvas β = pi
2
e β = −pi
2
. Isso prova que o conjunto de
singularidades tem medida nula por ser o gráfico de uma aplicação diferenciável.
26
Outro caso que nos interessa é a curva β = 0, conjunto no qual coincidem as ações de T
e X, i.e T (ω0, α0) = (ω0,−α0) = X(ω0, α0). Provemos esta afirmação.
Lema 2.3.1 β(ω0, α0) = 0 se e somente se T (ω0, α0) = (ω0,−α0)
Prova: Se β(ω0, α0) = 0 temos:
0 = 2β = α0 − ω0 + α1 + ω1
donde (α0−ω0) = −(α1+ω1) e sen (α0−ω0) = −sen (α1+ω1). Das equações (2.4) segue
que:
sen α0 + sen α1 + δ (sen (α0 − ω0) + sen (α1 + ω1)) = 2rsen β = 0 (2.9)
donde sen α0 + sen α1 = 0.
Como α0, α1 ∈ (−pi2 , pi2 ) concluímos que α0 = −α1 e de (2.3.2) temos ω1−ω0 = −(α1+α0) =
0 donde ω0 = ω1.
Por outro lado T (ω0, α0) = (ω0,−α0) então ω1 = ω0 e α1 = −α1 logo β(ω0, α0) =
1
2
(α0 − ω0 + α1 + ω1) = 0.

Figura 2.9: As curvas β constante
2.3.3 Imagens de retas verticais
Descreveremos agora as imagens de retas verticais, em alguns problemas o comportamento
da imagem de tais curvas é determinante para a obtenção de muitos resultados, este é o
27
caso das aplicações do tipo Twist caracterizadas por uma condição de desvio das verticais,
ver [7]. Aplicações de bilhares convexos apresentam essa propriedade, não é o caso do
bilhar excêntrico como veremos a seguir.
Fixado ω0 seja vω0 := ω0 × [−pi2 , pi2 ] a reta vertical passando por ω0. Esta reta intercepta
cada gráfico β = pi
2
e β = −pi
2
em um ponto, denotados respectivamente por (ω0, α+) e
(ω0, α
−). Descreveremos agora a imagem T (vω0) = (ω1(ω0, α), α1(ω0, α)).
No intervalo [−pi
2
, α+) temos que vω0 pertence à região A e temos por (2.8) que ∂ω1(ω0,α)∂α =
−2. Portanto ω1(ω0, .) : [−pi2 , pi2 ] → Ω é injetiva, donde segue que o único ponto de
interseção entre vω0 e T (vω0) neste intervalo é o ponto fixo (ω0,−pi2 ).
No intervalo (α−, pi
2
] temos vω0 também contida em A e ∂ω1(ω0,α)∂α = −2. Portanto ω1(ω0, .)
é injetiva e o único ponto de interseção entre vω0 e T (vω0) neste intervalo é o ponto fixo
(ω0,
pi
2
).
No intervalo [α+, α−], vω0 pertence à região B e
∂ω1(ω0, α0)
∂α
=
2τ1τ0
r
+ (τ0τ1) cos β > 0
dado que τ0, τ1 e r são positivos e cos β ≥ 0 pois β ∈ [−pi2 , pi2 ]. Segue que ω1(ω0, .) é injetiva
portanto T (vω0) intercepta vω0 em um único ponto que é exatamente o mesmo ponto de
interseção entre vω0 e β = 0, já que pelo lema 2.3.2 temos que se (ω0, α) ∈ {β = 0} então
T (ω0, α) = (ω0, α1(ω0, α)) ∈ vω0 .
Figura 2.10: Trajetórias correspondentes a uma reta vertical.
Seja Π1 : Ω → [−pi, pi] a projeção na primeira coordenada. Observamos que dado ω0, o
conjunto Π1(T (vω0)) não cobre [−pi, pi], a justificativa geométrica deste fato é que não é
possível a partir de um ponto ω0 no bordo externo atingir todos os pontos do bordo externo
28
Figura 2.11: Na primeira figura: uma reta vertical, v, interceptando as curvas
β =constante. Na segunda figura: a imagem da vertical interceptando as imagens das
curvas β =constante.
com uma única iterada da aplicação de bilhar em decorrência do obstáculo interno, ver
Figura 2.10.
Assim, para cada ω0 existe um intervalo aberto I ⊂ [−pi, pi) tal que Π1(T (vω0)) ∩ I =
∅. Nota-se pela Figura 2.11 que os extremos deste intervalo correspondem aos pontos
Π1(T (ω0, α
±)) onde (ω0, α±) são os pontos de interseção entre vω0 e a curva de singulari-
dades, β = ±pi
2
.
No caso específico do eixo ξ0, a reta vertical que passa por (0, 0), o intervalo complementar
de Π1(T (ξ0)) em [−pi, pi) é um intervalo simétrico (−θ, θ) centrado no ponto pi, logo a curva
T (ξ0) não possui pontos em comum com a curva φ0, ver Figura 2.12
A seguir utilizamos as propriedades das imagens de retas verticais para provar alguns
lemas que serão úteis mais à frente.
Lema 2.3.2 Se (ω0, α0) ∈ Q4 então ω0 ≤ ω1(ω0, α0) ≤ pi
prova: Seja ω0 ∈ [−pi, 0] e seja vω0 a reta vertical passando por ω0. Denotemos por v+ω0 o
segmento de vω0 entre os pontos (ω0, pi2 ) e (ω0, α
∗) = vω0 ∩ {β = 0}.
O conjunto T (v+ω0) é uma curva contínua de extremos em (ω0,
pi
2
) e T (ω0, α∗) = (ω0,−α∗).
Observemos que T (v+ω0) pertence à região de Q4 ∪Q1 compreendida entre as curvas vω0 e
29
T (ξ0). Segue disso que T (v+ω0) não intercepta a curva φ0 portanto Π1(T (v
+
ω0
)) pertence ao
intervalo [ω0, pi).
Obsevermos que T (vω0 ∩ Q4) ⊂ v+ω0 portanto Π1T ((vω0 ∩ Q4)) ⊂ [ω0, pi) donde segue que
ω0 ≤ ω1(ω0, α0) ≤ pi para todo (ω0, α0) ∈ Q4. 
Lema 2.3.3 Seja (ω, α) ∈ Q4 ponto não fixado por T , se O+(ω, α) := {T n(ω, α)}n≥0 ⊂
Q4 então (0, 0) ∈ O+(ω, α).
prova: SendoO+(ω, α) subconjunto limitado emQ4 podemos definir ω∗ := sup{Π1(O+(ω, α))}.
Dado esse ω∗ existe um α∗ tal que (ω∗, α∗) ∈ O+(ω, α). Pela invariância por T deO+(ω, α)
e pelo lema 2.3.2 temos que:
ω∗ ≤ ω1(ω∗, α∗) ≤ sup{Π1(O+(ω, α))} = ω∗
Portanto T (ω∗, α∗) = (ω∗, α1(ω∗, α∗)) donde ou (ω∗, α∗) é um ponto fixo ou T (ω∗, α∗) ∈
({β = 0} ∩ vω∗).
No caso de (ω∗, α∗) ser ponto fixo, não pode ser do tipo (ω∗, pi
2
) pois existe uma vizinhança
do bordo superior de Ω tal que a órbita de todo ponto nesta vizinhança pertence a uma
curva invariante homotópica ao bordo, ver Figura 2.5 e 2.6 , logo não podemos ter uma
órbita se acumulando em (ω∗, pi
2
).
Resta-nos então a segunda hipótese que, pelo lema 2.3.1, implica em:
(ω∗, α1(ω∗, α∗)) = (ω∗,−α∗)
devemos ter então α∗ = 0 pois do contrário teríamos (ω∗, α1(ω∗, α∗)) ∈ int(Q3). Sendo
assim, (ω∗, α∗) ∈ γ0 ∩ {β = 0} = {(0, 0), (pi, 0)}. Para finalizar observemos que pi ≤ ω0 ≤
ω∗. Assim se ω∗ = pi teríamos (ω, α) = (pi, 0) ponto fixado por T o que contradiz nossa
hipótese. Concluímos então que (ω∗, α∗) = (0, 0). 
30
2.3.4 Imagens dos eixos de simetria
Descreveremos agora comportamento das imagens dos eixos de simetria. Segue das ob-
servações anteriores sobre as imagens de verticais que as únicas interseções entre as cuvas
φ0 = vpi e φ1 = T (vpi) são os pontos fixos (pi, 0), (pi, pi2 ) e (pi,−pi2 ). Mostraremos que para
o caso r > δ uma propriedade análoga vale também para a curva γ0, ou seja, as únicas
interseções entre γ0 e γ1 são os pontos fixos (0, 0) e (pi, 0).
De fato se (ω0, α0) ∈ γ0 e (ω1, α1) ∈ γ1 ∩ γ0 então α0 = α1 = 0 e segue de 2.4 que:
δ sen (−ω0) = rsen β = δ sen (ω1)
2β = −ω0 + ω1
(2.10)
donde cos(ω0) = cos(ω1) e:
cos(β)2−sen (β)2 = cos(2β) = cos(ω1) cos(ω0)+sen (ω1)sen (ω0) = cos(ω1)2+sen (ω1)2 = 1
então:
2 cos(β)2 = cos(β)2 + sen (β)2 + cos(β)2 − sen (β)2 = 2
donde cos(β)2 = 1 e como β ∈ [−pi
2
, pi
2
] temos β = 0. Mas se β(ω0, α0) = 0 temos que
(ω0, α0) ∈ (γ0 ∩ {β = 0}) = {(0, 0), (pi, 0)}. O que demonstra o afirmado.
Temos portanto que γ1 é uma curva simples fechada no cilindro e que intesecta γ0 somente
nos pontos fixos (0, 0) e (pi, 0).
Será útil provar que γ1 possui pontos no interior do quadrante Q4. Faremos isso agora:
Seja v = (1, 0) o vetor tangente a γ0 no ponto fixo (pi, 0) numa vizinhança na qual T é
diferenciável. Temos que:
D(pi,0)T.v =
1
r
(r − 2δr + 2δ − 2δ2, 2δ(r + δ))
Como 0 < r + δ < 1 temos que:
2δ(r + δ) > 0
Temos também que:
r − 2δr + 2δ − 2δ2 = r + 2δ(1− r − δ) > 0
31
Logo o vetor D(pi,0)T.v tem todas as coordenadas positivas, podemos então concluir que
localmente ao ponto p a curva γ1 tem pontos no interior do quadrante Q4.
Figura 2.12: Eixos de simetria e suas imagens.
32
Capítulo 3
Pontos fixos
Figura 3.1: Pontos fixos.
Para qualquer valor de parâmetros (r, δ) a aplicação T possui exatamente dois pontos fixos
no interior do cilindro Ω, situados na região B onde a aplicação é diferenciável, são eles
(pi, 0) e (0, 0). O ponto (pi, 0) é sempre hiperbólico, já o ponto (0, 0) pode ser hiperbólico,
parabólico ou elíptico dependendo dos parâmetros (r, δ). Verifiquemos estes fatos.
Para o ponto (pi, 0) temos:
DT(pi,0) =
1
r

r − 2δr + 2δ − 2δ2 2(1− δ)(1− r − δ)
2δ(r + δ) r − 2δr + 2δ − 2δ2
 (3.1)
E os autovalores desta matriz são:
λ1,2 =
(r − 2δr + 2δ − 2δ2)
r
±
√
(4δ(1 + δ)(δ − r)(1− r − δ))
r
Sendo δ 6= 0 e r+δ < 1 temos que os termos na raiz quadrada são sempre positivos donde
os autovalores são reais e diferentes. Observemos que pela propriedade de preservar área
33
temos det(DT(pi,0)) = 1 portanto os auto-valores satisfazem λ1 = 1λ2 logo ambos têm
módulo diferentes de 1 o que caracteriza o ponto fixo como sendo hiperbólico.
Para o ponto (0, 0) temos:
DT(0,0) =
1
r

r + 2δr − 2δ − 2δ2 2(1 + δ)(1 + δ − r)
2δ(δ − r) r + 2δr − 2δ − 2δ2
 (3.2)
Com autovalores:
λ1,2 =
(r + 2δr − 2δ − 2δ2)
r
±
√
(4δ(1 + δ)(δ − r)(1− r + δ))
r
Como r e δ são positivos, apenas o fator (δ − r) na raiz quadrada pode mudar de sinal,
alterando assim a natureza dos autovalores λ1 e λ2. Temos portanto, as seguintes possi-
bilidades:
• se r > δ , os autovalores são complexos conjugados e o ponto fixo é elíptico.
• se r = δ os autovalores são iguais a −1 e o ponto fixo é parabólico.
• se r < δ temos os autovalores reais e diferentes de ±1 e o ponto fixo é hiperbólico.
Passamos agora a estudar a dinâmica localmente a cada um destes pontos fixos no caso
r > δ, para isso utilizaremos o fato de que a aplicação T é diferenciável em uma vizinhança
de cada ponto.
3.1 O ponto fixo elíptico
O Teorema da Forma Normal de Birkhoff, [7], afirma que se os autovalores λj de D(0,0)T
são não ressonantes, i.e λn 6= 1, n = 1, 2, 3 ou 4, então existe um homeomorfismo h tal
que h ◦ T ◦ h−1(z) = ei(γ+τ1|z|2)z + O(|z|4), ou seja T é conjugada com uma rotação, a
menos dos termos O(|z|4), onde z é complexo e o primeiro coeficiente de Birkhoff τ1 é
dado por uma expressão polinomial nos coeficientes de Taylor de T até ordem 3.
34
O Teorema do Twist de Moser, [8], afirma que se τ1 é não nulo então a influência de
O(|z|4) em alguns casos pode ser desconsiderada, nestes casos T age como uma rotação o
que resulta na existência de curvas invariantes na vizinhança do ponto fixo.
É possível mostrar, [12], que para o caso r > δ os autovalores de D(0,0)T são não resso-
nantes e que o primeiro coeficiente de Birkhoff é dado por:
τ1 = −1
8
(1− 1
r
) 6= 0
Prova-se assim a existência de curvas invariantes em torno do ponto fixo elíptico (0, 0) o
que explica a ilha de estabilidade observada na Figura 2.5.
3.2 O ponto fixo hiperbólico (pi, 0)
Denotaremos por p o ponto fixo (pi, 0). Pelo Teorema de Hartman-Grobman, [2], existe
uma bola B(p, ) de centro p e raio  na qual T é conjugada topologicamente com DpT .
É consequência deste teorema a existência local de uma variedade invariante estável cuja
definição é:
W sloc(p) := {x ∈ B(p, )|T n(x)→ p quando n→∞}
Tem-se também a existência de uma variedade invariante instável definida por:
W uloc(p) := {x ∈ B(p, )|T−n(x)→ p quando n→∞}
Segue do Teorema da Variedade Estável, [2], que sendo T um difeomorfismo C∞ em
B(p, ), a variedade estável local é uma curva C∞ tangente em p ao auto-espaço associado
ao menor auto-valor deDpT . Analogamente a variedade instável é uma curva C∞ tangente
em p ao auto-espaço associado ao maior auto-valor de DpT .Portanto são curvas que se
interceptam transversalmente em p.
É através das variedades invariantes que a influência de um ponto fixo hiperbólico se
estende à dinâmica global. De fato, podemos definir globalmente as variedades invariantes
pelos conjuntos:
W s(p) := {x ∈M |T n(x)→ p quando n→∞} =
∞⋃
n=0
T−n(W sloc(p))
35
W u(p) := {x ∈M |T−n(x)→ p quando n→∞} =
∞⋃
n=0
T n(W sloc(p))
No que segue, vamos estudar propriedades das variedades invariantes globais associadas
ao ponto (pi, 0). Iniciamos com algumas observações sobre as simetrias das variedades
locais.
Seja B(p, ) a vizinhança de p na qual vale a conjugação entre T e DpT . Podemos definir
as variedades invariantes de p utilizando o conjunto de B := B(p, ) da seguinte forma:
W sloc =
∞⋂
n
T n(B) e W uloc =
∞⋂
n
T−n(B)
Essa definição caracteriza W sloc como o maior conjunto T -invariante em B, i.e todo con-
junto T -invariante de B está contido em W sloc. Analogamente W uloc é o maior conjunto
T−1-invariante em B.
As variedades invariantes locais se relacionam pelas simetrias X e Y . De fato, usando que
a bola B(p, ) é um conjunto invariante por X e Y , i.e X(B) = B e Y (B) = B temos:
X(W sloc) = X(
∞⋂
n
T n(B)) =
∞⋂
n
XT n(B) =
∞⋂
n
T−nX(B) =
∞⋂
n
T−n(B) = W uloc
Analogamente Y (W sloc) = W uloc e consequentemente XY (W sloc) = W sloc e XY (W uloc) = W uloc.
Segue da conjugação entre T e DpT que a única interseção entre W sloc e W uloc é o ponto
fixo p. Isso implica que p também é a única interseção entre os eixos de simetria e as
variedades locais. De fato, se por exemplo W uloc ∩ γ0 = q 6= p então:
q = Y (q) = Y (W uloc ∩ γ0) = W sloc ∩ γ0
donde q é um ponto de W sloc ∩W uloc diferente de p, o que não pode ocorrer.
Concluímos então que W uloc possui dois ramos totalmente contidos no interior dos qua-
drantes Qi e, como XY (W uloc) = W uloc, concluímos também que cada um destes ramos
pertence a um quadrante distinto. Analogamente para W sloc.
A próxima proposição e seu corolário garantem que as variedades invariantes globais
petencem ao fecho topológico do conjunto constituído pelas imagens dos eixos de simetria.
36
Proposição 3.2.1 Dado  > 0 existe k0 tal que para todo k ≥ k0 as curvas γk e φk
possuem segmentos com extremos em p e são tais que a -vizinhança de qualquer ponto
em Wuloc(p) possui um ponto destes segmentos.
Prova Seja B := B(p, ) uma bola aberta na qual vale a conjugação topológica entre T e
DpT garantida pelo teorema de Hartman- Grobman. Podemos escolher  suficientemente
pequeno de forma que:
T (γ0 ∩B ∩Q4) ⊂ (Q4) e T (φ0 ∩B ∩Q4) ⊂ (Q4) (3.3)
o que é garantido pelas propriedades das imagens dos eixos de simetria vistas na seção
2.3.4.
Definimos a seqüência de conjuntos {Kn}n∈N da seguinte forma:
K0 = B ∩Q4 e Kn := T (Kn−1) ∩K0 para n > 0
Esta é uma seqüência de compactos encaixados. De fato, B e Q4 são compactos portanto
Figura 3.2: Definição dos conjuntos Kn
K0 = B ∩ Q4 é compacto. Mas se para algum n o conjunto Kn é compacto então
Kn+1 = T (Kn) ∩K0 também é compacto. Segue por indução em n que Kn é compacto
para todo n.
Por definição temos que K1 ⊆ K0 e por (3.3) sabemos que esta continência é estrita. Mas
se para algum n tivermos Kn ⊆ Kn−1 então Kn+1 = T (Kn) ∩K0 ⊆ T (Kn−1) ∩K0 = Kn.
Segue por indução em n que Kn ⊆ Kn−1 para todo n.
Seja K∞ =
⋂∞
n=0Kn, por ser a interseção de compactos encaixados este conjunto é não
vazio e compacto. K∞ também é T−1-invariante, de fato se x ∈ K∞ então x ∈ Kn para
37
todo n > 1 donde T−1(x) ∈ Kn−1 para todo n > 1, ou seja T−1(x) ∈ Kn para todo n logo
T−1(x) ∈ K∞.
Sendo K∞ ⊂ B um conjunto T−1−invariante temos que:
K∞ ⊂
∞⋂
n=0
T n(B) = W uloc(p) (3.4)
A continência acima implica que W uloc(p) possui um ramo no interior do quadrante Q4.
Provaremos agora que este ramo é exatamente K∞.
Denotemos por U o conjunto (W uloc(p) ∩ Q4). Como p ∈ U temos que U ⊂ T (U) e por
definição temos U ⊂ (B ∩Q4) = K0. Mas se U ⊂ Kn para algum n ≥ 0 temos:
U ⊂ (T (U) ∩K0) ⊂ (T (Kn) ∩K0) = Kn+1
Conclui-se por indução em n que U ⊂ Kn para todo n > 0 donde U ⊂ K∞. E juntamente
com (3.4) temos K∞ = W uloc(p) ∩Q4. 
Corolário 3.2.1 Qualquer segmento compacto da variedade instável globalWu(p) é apro-
ximado pelas curvas γk e φk com k ∈ N
prova Seja L um segmento compacto qualquer da variedade instável Wu(p). Existe n0
tal que T−n0(L) ⊂ Wuloc(p). Como T n0 é homeomorfismo, dado  > 0 existe δ tal que se
x ∈ B(T−n0(y), δ) então T n0(x) ∈ B(y, ).
Consideremos V (δ) uma δ-vizinhança de Wuloc(p). Como a variedade local é igual à inter-
seção da seqüência de compactos encaixados {Kn} temos que existe n tal que Kn ⊂ V (δ),
então (γn ∩ B) ⊆ ∂Kn ⊆ V (δ). Conseqüentemente um segmento de γn está δ-próximo
de T−n0(L), logo T n0(γn) possui um segmento que está - próximo de L. Analogamente
(φn ∩ B) ⊆ ∂Kn e pelo mesmo argumento existe um segemento de T−n0(φn) que está -
próximo de L. 
Utilizando a simetria X podemos construir a seqüência de compactos {X(Kn)}n∈N que
aproxima o ramo de W sloc(p) em Q3 e concluir que este ramo é aproximado pelas curvas
38
γ−n e φ−n assim como qualquer segmento compacto da variedade global W s(p). Resulta-
dos análogos são provados para os demais ramos das variedades invariantes.
3.2.1 Pontos homoclínicos
Seja f : M → M um difeomorfismo, dado um ponto fixo p dizemos que q é homoclínico
a p se q ∈ Ws(p) ∩ Wu(p). i.e fn(q) e f−n(q) convergem para p quando n → ∞. A
existência de pontos homoclínicos acarreta complexidade para a dinâmica. Em particular
se o ponto homoclínico é originado por uma interseção transversal. Neste caso prova-
se a existência de um subconjunto invariante por alguma potência de f cuja dinâmica é
conjugada com um sistema simbólico, o Shift, [2]. Algumas conseqüências são a densidade
de pontos periódicos e homoclínicos neste subconjunto invariante e a positividade da
entropia topológica do sistema.
A existência pontos homoclínicos para o ponto fixo p da aplicação de bilhar T para a faixa
de parâmetros r > δ resulta da seguinte proposição:
Proposição 3.2.2 No caso r > δ as variedades invariantes Wu(p) e Ws(p) possuem um
ponto em comum sobre o eixo de simetria ξ0
Prova Para provar a existência de interseção entre as variedades basta mostrar queWu(p)
possui um ponto q 6= p em ∂Q4, então por simetria Ws(p) possui o mesmo ponto.
Suponhamos por contradição que (Wu(p) − p) ∩ ∂Q4 = ∅, então dado qualquer ponto
(ω0, α0) ∈ (Q4 ∩ Wu(p)) − {p} temos pelo lema 2.3.3 que O+(ω0, α0) tem (0, 0) como
ponto de acumulação. Mas para r > δ o ponto (0, 0) é elíptico estável, portanto existe um
aberto invariante V contendo (0, 0). Assim, se O+(ω0, α0) se acumula em (0, 0) temos que
esta órbita pertence ao aberto V . Podemos tomar V suficientemente pequeno de forma
que p não pertença ao fecho de V , mas isso é uma contradição com o fato de (ω0, α0) ∈ Wup .
39
Concluímos então queWu(p)∩ ∂Q4 6= ∅. Resta provar agora que esta interseção pertence
ao eixo ξ0. Seja então U o segmento de Wu(p) de extremos em p e em um ponto q ∈ ∂Q4
sendo q o primeiro ponto de interseção entre de Wu(p) e ∂Q4, o que equivale a dizer que
somente p e q são pontos de U em ∂Q4.
Suponhamos que q ∈ γ0, então temos que Y (U) é um segmento de Ws(p) contido em Q3
cujo único ponto em γ0 é q. Isso implica que q é um ponto homoclínico.
Por um lado temos que T (q) ∈ γ1(∈ Q4∪Q1) mas por outro temos que T (q) ∈ (Y (U)− q)
logo pertence ao quadrante Q3. Uma contradição que nos leva a concluir que a primeira
interseção entre Wu(p) e Q4 não ocorre em γ0. Com um argumento análogo podemos
provar que essa primeira interseção também não pode ocorrer em φ0.
Resta-nos então o segmento {α = pi
2
} e o eixo ξ0. Como o primeiro é formado por pontos
fixos concluímos que q ∈ ξ0. 
A proposição acima garante a existência de interseção entre as variedades mas não es-
clarece a natureza de tal interseção. São possíveis a tangência, a transversalidade ou
mesmo a conexão de sela. Como não pedimos mais que a diferenciabilidade na vizinhança
do ponto fixo podemos ter ainda outros tipos mais complicados de interseção.
Experimentos numéricos como o ilustrado na Figura 3.3 indicam que para o caso r > δ
a interseção deve ser em geral, no mínimo, um cruzamento topológico, i.e as variedades
se cruzam mas não necessariamente de modo transversal. Assim, vamos supor daqui
para frente que ocorre este tipo de interseção e procurar descrever algumas conseqüências
dinâmicas advindas dessa suposição.
Iniciamos utilizando a aproximação das variedades invariantes pelas imagens dos eixos
de simetria para verificar uma propriedade conhecida dos pontos homoclínicos que é o
fato de serem aproximados por órbitas periódicas de período arbitrariamente grande e
por pontos homoclínicos. No próximo capítulo ilustramos como provar a positividade
da entropia topológica do sistema utilizando a interseção homoclínica e as simetrias do
problema.
40
Figura 3.3: A interseção das variedades invariantes sobre o eixo ξ0. Ao centro a ilha de
estabilidade do ponto fixo elíptico (0, 0).
Proposição 3.2.3 Os pontos homoclínicos a p topologicamente tranversos são aproxima-
dos por pontos periódicos e pontos homoclínicos.
prova: Seja q um ponto homoclínico dado por uma interseção topologicamente transversa
dos segmentos Ls ⊂ Ws(p) e Lu ⊂ Wu(p).
Seja B(q, ) uma bola fechada de centro em q e com raio  suficientemente pequeno para
que os segmentos Ls e Lu tenham interseção com o bordo ∂B em quatro pontos distintos:
a, b ∈ Lu ∩ ∂B e c, d ∈ Ls ∩ ∂B. Considere δ > 0 suficientemente pequeno de forma que
as bolas de raio δ e centro em a, b, c e d sejam disjuntas.
Seja s ⊂ B uma curva contínua com extremos em B(a, δ) ∩ ∂B(q, ) e B(b, δ) ∩ ∂B(q, )
e s′ ⊂ B também contínua com extremos em B(c, δ) ∩ ∂B(q, ) e B(d, δ) ∩ ∂B(q, ). A
curva s divide B em duas regiões cada uma delas contendo pontos de s′ o que implica que
s ∩ s′ 6= ∅.
Pela Proposição 3.2.1 existe m ∈ N tal que segmentos de φm e γm estão δ-próximos de
Lu e segmentos de φ−m e γ−m estão δ-próximos de Ls. Segue desse fato que φm ∩ ∂B e
41
Figura 3.4: A curva s (pontilhada) que aproxima Lu intercepta a curva s′ que aproxima
Ls.
γm ∩ ∂B são pontos de B(c, δ) e B(d, δ) e φ−m ∩ ∂B e γ−m ∩ ∂B são pontos de B(a, δ) e
B(b, δ). Pela observação no parágrafo anterior temos que γm ∩ φ−m 6= ∅ ,γ−m ∩ φm 6= ∅,
γm ∩ γ−m 6= ∅ e φm ∩ φ−m 6= ∅. Todos estes pontos de interseção são periódicos.
Pelo mesmo argumento podemos mostrar que Lu ∩ (γ−m ∪ γ−m) 6= ∅ e Ls ∩ (γm ∪ γm) 6= ∅
e estes pontos de interseção são homoclínicos a p.
As conclusões acima valem se considerarmos ′ ≤ . Isso implica que para toda vizinhança
de um ponto homoclínico à p topologicamente transverso existem pontos periódicos e
outros pontos homoclínicos à p. 
Com pequenas alterações na demonstração acima é possível verificar também que os
pontos homoclínicos de tangência também são aproximados por órbitas periódicas de
período arbitrariamente grande e por pontos homoclínicos.
42
Capítulo 4
Entropia topológica
A entropia topológica de uma aplicação f : M → M é um número, htop(f), que mede
a complexidade do comportamento dinâmico do sistema (M, f) em termos da taxa de
crescimento exponencial do número de órbitas que podem ser distinguidas ao longo do
tempo dentro uma precisão dada.
O cálculo da entropia topológica de um sistema permite localizá-lo em uma escala de
complexidade comparado a outros sistemas, quanto maior htop(f) maior a complexidade.
Por se tratar de um invariante topológico a entropia também permite decidir sobre a
equivalência de dois sistemas.
A seguir damos uma definição de entropia topológica para uma aplicação de um espaço
compacto e apresentamos algumas propriedades deste conceito, baseamo-nos nas referên-
cias [5] e [2].
Dado um espaço métrico compacto M e uma aplicação f : M → M dizemos que um
conjunto S ⊂ M é um (n, ) − gerador se para todo x ∈ M existe um y ∈ S tal que
d(f i(x), f i(y)) <  para 0 ≤ i ≤ n
Pela compacidade de M é sempre possível encontrar um (n, ) − gerador finito para
quaisquer n e . (ver [5]). A cardinalidade r(n, ) de tal conjunto satifaz r(n, ) ≤ mn
43
para algum m. Daí:
limsupn→+∞(
1
n
log(r(n, ))) < +∞
pois ( 1
n
log(r(n, ))) ≤ ( 1
n
log(mn)) = log(m).
Definimos a entropia topológica htop(f) de f pelo limite:
htop(f) = lim→0(limsupn→+∞(
1
n
log(r(n, ))))
Utilizaremos neste trabalho algumas propriedades da entropia topológica que dizem res-
peito à comparação entre as entropias de sistemas que se relacionam topologicamente.
Precisamente dizemos que um sistema (N, g) é um fator topológico de (M, f) se existe
uma plicação θ : M → N contínua, sobrejetora e satisfazendo fθ = θg. Neste caso temos
que:
htop(g) ≤ htop(f) (4.1)
Se a aplicação θ definida acima for um homeomorfismo dizemos que os sistemas (M, f)
e (N, g) são topologicamente equivalentes e teremos htop(g) = htop(f). Uma última pro-
priedade útil é a que relaciona a entropia de f a uma de suas potências fk. Neste caso
temos:
htop(f
k) = k.htop(f) (4.2)
Agora apresentaremos brevemente uma classe de sistemas dinâmicos abstratos de grande
utilidade teórica: os Shifts. Tais sistemas possuem entropia topológica positiva.
Dado um conjunto finito de símbolos A = {a1, ...aN} definimos os espaço de seqüências
bi-infinitas:
ΣN = {...s−1.s0.s1...|sj ∈ A ∀j ∈ Z}
define-se uma topologia neste conjunto cuja base é dada pelos cilindros simétricos Cα−k...α−1.α0....αk
que por sua vez são definidos por:
Cα−k...α−1.α0....αk{(s) ∈ ΣN |si = αi com− k ≤ i ≤ k}
44
Com esta topologia ΣN é um espaço métrico completo, compacto e totalmente desconexo.
Neste espaço está definido um homeomorfimso σ : ΣN → ΣN que age "transladando"as
seqüências, i.e, σ(s)i = si+1, por essa razão σ recebe o nome de shift.
O sitema dinâmico (ΣN , σ) é um sistema simbólico de dinâmica bastante complexa tanto
que serve de paradigma para o que freqüentemente se chama de caos. A propriedade
que nos interessa aqui é que estes sistemas apresentam entropia topológica positiva, mais
precisamente podemos provar (ver [15]) que htop(σ) = log(N) para σ : ΣN → ΣN
4.1 Critério geométrico para entropia topológica posi-
tiva
O objetivo desta seção é apresentar um método geométrico [14] pelo qual é possível
provar que uma aplicação f possui entropia topológica positiva. A estratégia é conseguir
uma fatoração topológica entre alguma potência de f e o shift (Σ2, σ) . Assim, pelas
propriedades (4.1) e (4.2) teremos:
htop(f) =
1
n
htop(f
n) ≥ 1
n
htop(σ) > 0
Iniciemos com algumas definições: seja f : M → M um homeomorfismo de uma va-
riedade bidimensional. Considere N ⊂ M um subconjunto homeomorfo ao retângulo
[−1, 1]× [−1, 1] e R ⊂ N pré imagem em N do retângulo [−1, 1]× [−ρ, ρ].
Identificaremos N com o retângulo [−1, 1]× [−1, 1] e R com o retângulo [−1, 1]× [−ρ, ρ],
essa identificação é feita por simplicidade de notação sem prejuízo para as definições e
resultados que seguem.
Definição 4.1.1 Um conjunto V ⊆ int(N) é chamado de essencial se V contém uma
curva unindo as duas componentes de N/R.
45
Definição 4.1.2 Uma faixa horizontal é um conjunto S ⊆ R tal que
• S é fechado e conexo por caminhos
• S contém uma curva unindo os bordos verticais de R, i.e {−1} × [−ρ, ρ] e {1} ×
[−ρ, ρ]
• ∂S é uma curva de Jordan dada pela união de um número finito de arcos todos com
extremos nos bordos verticais de R
Toda faixa horizontal S possui em ∂S exatamente duas curvas ligando os bordos verti-
cais de R. Denotaremos por cmax a curva mais próxima de [−1, 1]×{ρ} e por cmin a outra.
Definição 4.1.3 Seja S uma faixa horizontal. Dizemos que uma aplicação F estica S
sobre R se F (S) ⊂ int(N), F (∂S ∩ int(R)) ⊂ N/R e F leva cmax e cmin em componentes
opostas de N/R.
Figura 4.1:
Lema 4.1.1 Seja S uma faixa horizontal e V um subconjunto essencial de N . Supon-
hamos que F estica S sobre R. Então F (S ∩ V ) é essencial.
prova Por definição de conjunto essencial, V contém um arco γ : [0, 1]→ R tal que γ(0)
pertence a cmax de S, γ(1) pertence a cmin e γ(t) ⊆ int(R) para 0 < t < 1.
46
Uma componente de ∂S ∩ int(R) é chamada de positiva se é levada por F na componente
de N \R que contém F (cmax). Chamamos de negativa a componente de ∂S ∩ int(R) que
é levada por F na componente de N/R que contém F (cmin).
Seja t0 ∈ [0, 1) o último valor do parâmetro para o qual γ(t) intercepta uma componente
positiva de ∂S ∩ int(R) e t1 ∈ (t0, 1] o próximo valor no qual γ(t) intercepta ∂S.
Observe que se γ(t) deixar S através de alguma componente de ∂S ∩ int(R) então deve
voltar a S atravessando a mesma componente.
O arco de γ(t) entre γ(t0) e γ(t1) pertence a S e sua imagem por F é uma curva em
int(N) que liga as duas componentes de N \ R, já que F (γ(t0)) e F (γ(t1)) pertencem a
componentes opostas de N \R. Assim F (S ∩ V ) é essencial. 
Figura 4.2:
Teorema 4.1.1 Suponhamos que N contém duas faixas horizontais fechadas e disjuntas,
S0 e S1, que são esticadas através de R por F . Então o shift completo Σ2 é fator topológico
de F .
prova: Seja
Λ =
∞⋂
k=−∞
F k(S0 ∪ S1)
47
que é o conjunto dos pontos cujas órbitas por F estão contidas nas faixas S0 e S1. A
cada z ∈ Λ associamos uma seqüência pi(z) de 0′s e 1′s de acordo com seu itinerário pelas
faixas, mais precisamente pi(z) é a seqüência cujo k-ésimo termo é 0 se F k(z) ∈ S0 ou 1
se F k(z) ∈ S1.
Seja pi : Λ→ Σ2 a aplicação que leva um ponto z ∈ Λ em sua seqüência pi(z) ∈ Σ2. Esta
aplicação está bem definida uma vez que as faixas S0 e S1 são disjuntas. Logo para todo
k e qualquer z existe um único Si tal que F k(z) ∈ Si e assim existe uma única seqüência
em Σ2 associada a z. Veremos que pi : Λ→ Σ2 é uma fatoração de Λ sobre Σ2.
1. pi é contínua.
Sejam z ∈ Λ e α = pi(z) ∈ Σ2. Dada uma vizinhança V de α existe um inteiro
positivo r para o qual o cilindro Cα[−r,r] está contido em V .
Para −r ≤ k ≤ r seja Bk ⊂ N uma bola aberta contendo z tal que F k(Bk) inter-
cepta somente a faixa Sαk , a existência de Bk é garantida pela continuidade de F e
pelo fato de S0 e S1 serem fechadas e disjuntas.
O conjunto B = (
⋂r
k=−r Bk) ∩ Λ é uma vizinhança de z em Λ tal que F k(B) ⊆ Sαk
para −r ≤ k ≤ r, ou seja, para todo z′ ∈ B, pi(z′)k = αk donde F (z′) ∈ Cα[−r,r] e
F (B) ⊆ Cα[−r,r] e conclui-se assim a continuidade de pi.
2. Vale a igualdade pi ◦ F |Λ = σ ◦ pi.
Seja z ∈ Λ e α = pi(z). Por definição F k(z) ∈ Sαk e logo z ∈ F−k(Sαk). Temos
então que z ∈ ⋂∞k=−∞ F−k(Sαk) e pi(⋂∞k=−∞ F−k(Sαk)) = pi(z).
Logo
pi ◦ F (z) ⊆ pi ◦ F (
∞⋂
k=−∞
F−k(Sαk)) = pi(
∞⋂
k=−∞
F−k+1(Sαk))
48
Por uma mudança de índice na interseção infinita temos:
pi ◦ F (z) ⊆ pi(
∞⋂
k=−∞
F−k(Sαk+1))
Observe que
pi(
∞⋂
k=−∞
F−k(Sαk+1))k = αk+1
Logo
pi(
∞⋂
k=−∞
F−k(Sαk+1)) = σ ◦ pi(z)
Finalmente como σ ◦ pi(z) é um único ponto em Σ2 temos a igualdade pi ◦ F (z) =
σ ◦ pi(z).
3. pi é sobrejetiva.
Para mostrar esse item vamos precisar Lema 4.2.1 e do seguinte :
Lema 4.1.2 Dado r ≥ 1 o conjunto:
F (Sα−1) ∩ F 2(Sα−2) ∩ ... ∩ F r(Sα−r)
é essencial para cada α ∈ Σ2
prova Por indução em r. O caso r = 1 é claro pois F estica Si através R. Suponha
que o lema valha para r > 1. Então:
V = F (Sα−2) ∩ F 2(Sα−3) ∩ ... ∩ F r(Sα−r−1)
é essencial e pelo Lema 4.2.1:
F (Sα−1 ∩ V ) = F (Sα−1) ∩ F 2(Sα−2) ∩ ... ∩ F r+1(Sα−(r+1))
é essencial, portanto o lemma vale para r + 1, donde concluímos por indução que é
válido para todo r.
49
Corolário Para cada α ∈ Σ2 e cada r ≥ 0 o conjunto Λr(α) =
⋂r
k=−r F
−k(Sαk) é
não vazio.
prova: Seja β = σr+1(α) então αj = βj−r−1.
Λr(α) = F
−r(Sα−r) ∩ F−r+1(Sα−r+1) ∩ ... ∩ F r(Sαr))
substituindo αj por βj−r−1 temos:
Λr(α) = F
−r(Sβ−2r−1) ∩ F−r+1(Sβ−2r) ∩ ... ∩ F r(Sβ−1))
Podemos escrever:
Λr(α) = F
−(r+1)(F (Sβ−2r−1) ∩ F 2(Sβ−2r) ∩ ... ∩ F 2r(Sβ−1))
e concluímos que Λ(r) é não vazio já que pelo Lema 4.1.2 o conjunto F (Sβ−2r−1)) ∩
F 2(Sβ−2r) ∩ ... ∩ F 2r(Sβ−1) é essencial e portanto não vazio.
Os conjuntos Λr(α) são interseções finitas de compactos, portanto são compactos e
temos Λ0(α) ⊃ Λ1(α) ⊃ ...Λn(α) ⊃ ... Logo
⋂∞
r=0 Λr(α) é não vazio para cada α, ou
seja existe z ∈ ⋂∞k=−∞ F−k(Sαk). Segue que para todo α ∈ Σ2 existe z ∈ Λ tal que
pi(z) = α donde pi é sobrejetiva.

4.2 Entropia topológica positiva do bilhar no anel ex-
cêntrico
C. Foltin em [13] provou que os bilhares excêntricos apresentam entropia topológica po-
sitiva para algum valor de parâmetro r suficientemete pequeno. Nesta seção ilustramos
como a existência de um ponto homoclínico topologicamente transversal implica na po-
sitividade da entropia topológica do sistema. Utilizamos as simetrias do espaço de fase
para construir a fatoração topológica com o shift de dois símbolos.
50
Suponha que exista um ponto q homoclínico topologicamente transverso sobre eixo ξ0.
Denotemos por Lu e Ls dois segmentos compactos das variedades invariantes, instável e
estável respectivamente, que se interceptam em q.
Lema 4.2.1 Existe n0 tal que segmentos das curvas γn0, φn0, γ−n0 e φ−n0 limitam um
conjunto conexo contendo q em seu interior e cujo bordo é formado por exatamente um
segmento de cada uma das curvas γn0, γ−n0, φn0 e φ−n0.
prova: Na prova da proposição 3.2.3 mostra-se que dado  > 0 existe n0 tal que as
seguintes interseções:
γn0 ∩ γ−n0 , γn0 ∩ φ−n0 , φn0 ∩ φ−n0 e φn0 ∩ γ−n0
são todas não vazias com pontos da bola aberta B(q, ).
Como q ∈ ξ0, o conjunto φn0 ∩ φ−n0 possui um ponto p1 sobre o eixo ξ0, já que φn0 =
X(φ−n0). Seja φn0(t) uma parametrização da curva φn0 tal que φn0(t0) = p1, e orientada
de forma que para algum t1 > t0 temos φn0(t1) ∈ γ−n0 , e para todo t0 < t < t1 temos que
φn0(t) não pertence à γ−n0 . Diremos neste caso que φn0(t1) é a primeira interseção entre
φn0 e γ−n0 . Denotaremos φn0(t1) por p2.
Seja agora γ−n0(t) parametrização de γ−n0 tal que γ−n0(t′0) = p2 e orientada de forma que
para algum t′1 > t′0 temos que γ−n0(t′1) é a primeira interseção entre γ−n0 e o eixo ξ0, que
denotaremos por p3.
Por construção temos que o segmento de φn0(t) entre t0 e t1 intercepta γ−n0(t) somente
no ponto p2. Assim, temos uma curva simples ligando p1 a p3 dada pela união de segmen-
tos de φn0 e γ−n0 . A imagem pela simetria X desta curva é também uma curva simples
ligando p1 a p3 dada pela união de segmentos das curvas φ−n0 e γn0 . A união desta duas
curvas limita uma região conexa contendo q em seu interior e cujo bordo é formado por
exatamente um segmento de cada curva γn0 , γ−n0 , φn0 e φ−n0
Pelo lema acima podemos definir uma coleção de conjuntos {Dn}n≥n0 onde Dn é o conexo
contendo q limitado pelas curvas γn, φn, γ−n e φ−n. Pela simetria Y existe um segundo
51
ponto homoclínico q′ = Y (q) sobre o eixo ξ0, ao qual associamos uma coleção de conjuntos
{D′n}n≥n0 tais que D′n = Y (Dn).
Os lemas a seguir provam algumas propriedades dos conjuntos Dn e D′n que serão úteis
mais adiante.
Lema 4.2.2 Dado  > 0 existe n tal que Dn ⊂ B(q, )
prova: Consideremos Ls e Lu segmentos compactos das variedades que se interceptem
em q e que estejam totalmente contidos em B(q, ). Dada a compacidade dos segmentos
podemos escolher δ > 0 tal que a δ−vizinhança de Ls ∪ Lu esteja totalmente contida em
B(q, ).
Seja n1 tal que as imagens por T n1 e T−n1 dos eixos de simetria contenham segmentos na
δ-vizinhança de Ls ∪ Lu. Temos assim que Dn1 ⊂ B(q, δ).
Lema 4.2.3 Existe n tal que T (Dn) ∩Dn = ∅
prova: Existe ′ > 0 tal que as bolas abertas B(q, ′) e B(T (q), ′) são disjuntas. Pela
continuidade de T , existe também δ′ tal que T (B(q, δ′)) ⊂ B(q, ′) donde T (B(q, δ′)) ∩
B(q, δ′) = ∅. Escolhendo n tal que Dn ⊂ B(q, δ′) temos que T (Dn) ∩Dn = ∅.
A partir de agora fixemos  > 0 tal que B(q, ) ∩ B(q′, ) = ∅. Fixaremos também n0 de
forma que Dn0 ⊂ B(q, ) D′n0 ⊂ B(q′, ) e T (Dn0) ∩Dn0 = ∅, T (D′n0) ∩D′n0 = ∅.
O conjunto T−n0(Dn0) tem duas componentes do bordo sobre os eixos de simetria γ0 e φ0,
são as imagens por T−n0 dos segmentos de ∂Dn0 pertencentes à γn0 e φn0 . Analogamente
para T−n0(D′n0). Estas pré-imagens servirão como faixas verticais utilizadas no método
da seção anterior, portanto passaremos a usar a seguinte notação.
S0 = T
−n0(Dn0) e S1 = T
−n0(D′n0)
52
Figura 4.3: A aproximação das variedades pelos eixos de simetria definem o conjunto Dn.
A pré-imagem T−n(Dn) é um conjunto que possui componentes do bordo sobre os eixos
de simetria.
Por construção o conjunto Dn0 é simétrico em relação a X, i.e X(Dn0) = Dn0 . Como
conseqüência temos T 2n0(S0) = X(S0) e S1 = XY (S0). De fato:
X(S0) = XT
−n0(Dn0) = T
n0X(Dn0) = T
n0(Dn0) = T
2n0(S0)
e
XY (S0) = XY (T
−n0(Dn0)) = T
−n0XY (D−n0) = T
−n0X(D′−n0) = T
−n0(D′−n0) = S1
A Figura 4.4 ilustra os conjuntos S0, S1 e suas imagens por T 2n0 .
Figura 4.4: Os conjuntos S0, S1 e suas imagens por T 2n0 , X(S0) e X(S1) respectivamente.
Observemos que os segmentos de γ0 e φ0 que pertencem a ∂S0 são levados por T 2n0 em
segmentos de γ2n0 e φ2n0 que são as componentes de ∂X(S0) que não pertencem aos eixos
53
de simetria. Os segmentos de γ−2n0 e φ−2n0 em ∂S0 por sua vez são levados por T 2n0 nos
segmentos de γ0 e φ0 pertencentes a ∂X(S0).
Escolhemos n0 de forma que T (Dn0) ∩ Dn0 = ∅, portanto temos que T (S0) ∩ S0 = ∅,
o mesmo valendo pra S1. Observemos que T (S0) é um subconjunto de Q4 e T (S1) um
subconjunto de Q2, (ver Figura 4.5 ).
Figura 4.5: O conjunto S0 e sua imagem T (S0) ⊂ Q4 e o conjunto S1 com sua imagem
T (S1) ⊂ Q2
Passamos agora a descrever a disposição do conjunto T (X(S0)), para tanto consideremos
c : [0, 1] → X(S0) uma curva contínua tal que c(0) ∈ φ0 e c(1) ∈ γ0. Observemos que
para algum t0 ∈ (0, 1) c(t0) pertence à variedade Wsp .
Como T (Dn0) ∩ Dn0 = ∅ temos que T (X(S0)) ∩ X(S0) = ∅ logo T (c(t)) é uma curva
contínua sem pontos em comum com X(S0).
Como φ0 ∩X(S0) é segmento do bordo de S0 temos que T (c(0)) ∈ T (S0) ⊂ Q4. E como
γ0 ∩X(S0) é segmento do bordo de S1 temos que T (c(1)) ∈ T (S1) ⊂ Q2.
O ponto s(t0) pertencente à variedade estável é levado em um ponto T (c(t0)) também na
variedade só que mais póximo de p.
Concluímos que T (c(t)) é uma curva contínua ligando um ponto de T (S0) a um ponto de
T (S1) passando por um ponto de Wsp na região interna ao anel composto pelos conjuntos
S0,X(S0), S1 e X(S1), (ver Figura 4.4).
54
Figura 4.6: A imagem de uma curva contínua ligando pontos de ∂X(S0)∩φ0 e ∂X(S0)∩γ0
Como esse é o comportamento de qualquer curva contínua em X(S0) que liga pontos de
∂X(S0) ∩ φ0 e ∂X(S0) ∩ γ0 concluímos que o conjunto T (X(S0)) tem a disposição como
ilustrado na Figura 4.7. Por simetria XY podemos descrever a disposição do conjunto
T (X(S1)).
Figura 4.7: As imagens por T dos conjuntos X(S0) e X(S1) .
Para nos adequarmos ao método geométrico da seção anterior é necessário definir um
conjunto N homeomorfo a um retângulo o qual tem S0 e S1 como faixas horizontais. Para
nossos propósitos é suficiente definirmos N como qualquer conjunto conexo que contenha
os conjuntos S0, S1 tal que os segmentos γ0∩∂S0, φ0∩∂S0 e γ0∩∂S1, φ0∩∂S1 façam parte
do bordo de N . Definiremos N de forma a conter em seu interior os conjuntos T (S0),
55
T (S1), T (X(S0)) e T (X(S1)) . A Figura 4.8 ilustra uma escolha possível de N .
Figura 4.8: O conjunto N .
Proposição 4.2.1 T 2n+1 estica S0 e S1 através de R
prova
Indicaremos por cimax e cimin respectivamente as curvas cmax e cmin da faixa horizontal Si.
Com essa notação temos que c0max = φ−2n0 ∩ ∂S0 e c0min = γ−2n0 ∩ ∂S0. Segue que:
T 2n+1(c0max) = T (T
2n0(φ−2n0 ∩ ∂S0)) = T (φ0 ∩X(S0)) ⊂ N/R+
T 2n+1(c0min) = T (T
2n0(γ−2n0 ∩ ∂S0)) = T (γ0 ∩X(S0)) ⊂ N/R−
Ou seja, a aplicação T 2n0+1 leva a faixa horizontal S0 em T (X(S0)) que é subconjunto do
interior de N e leva as curvas c0max e c0min em componentes opostas de N/R, então T 2n0+1
estica S0 sobre N . Por simetria concluímos também que T 2n0+1 estica S1 sobre N . 
A proposição acima conclui o que pretendíamos mostrar, ou seja, se as variedades in-
variantes Wup e Wsp possuem uma interseção topologicamente transversal sobre o eixo de
simetria ξ0 então a aplicação T possui entropia topológica positiva. Observemos mais uma
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vez que não provamos que a interseção entre as variedades é topologicamente transver-
sal, mas fizemos esta suposição com base em experimentos computacionais que sugerem
que este é o comportamento dessas interseções para a maior parte dos casos em que os
parâmetros do bilhar satisfazem r > δ.
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