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http://hdl.handle.net/1843/EABA-9UJR8N| Tipo: | Tese de Doutorado |
| Título: | Fórmulas residuais de tipo Bott e invariante de Futaki para orbifolds complexos |
| Autor(es): | Arnulfo Miguel Rodriguez Pe?a |
| primer Tutor: | Mauricio Barros Correa Junior |
| primer Co-tutor: | Mauricio Barros Correa Junior |
| primer miembro del tribunal : | Renato Vidal da Silva Martins |
| Segundo miembro del tribunal: | Marcos Benevenuto Jardim |
| Tercer miembro del tribunal: | José Omegar Calvo Andrade |
| Cuarto miembro del tribunal: | Rogerio Santos Mol |
| Resumen: | Este trabalho é dividido em duas partes. Na primeira parte do trabalho, no teorema 2.1, daremos uma primeira versão das fórmulas de Bott para um orbifold complexo compacto e com singularidades isoladas. No teorema 2.4, usando uma boa resolução e a classe de Chern local "top" do orbifold, daremos uma segunda versão do teorema 2.1. Uma consequência interessante do teorema 2.1 é sua aplicação nos espaços projetivos ponderados Pn ! = P(w0, ...,wn). Por exemplo, uma vez garantida a existência de folheações holomorfas não triviais em Pn ! (proposição 2.12), deduziremos uma fórmula para a soma dos números de Milnor de um orbifold de uma folheação holomorfa com singularidades isoladas em Pn ! (corolário 2.13); em particular tal fórmula é uma obstrução para ter uma folhação não singular em Pn ! (corolário 2.14). No corolário 2.15, apresentaremos algumas relações entre o conjunto singular da folhação e o conjunto singular de P2 !. Finalizamos com alguns exemplos. Como outra aplicação do teorema 2.1, similarmente ao caso suave, introduziremos os números de Baum-Bott orbifold associados as singularidades de uma folhação com singularidades isoladas em uma superfície orbifold compacta e com singularidades isoladas. Então, no teorema 2.19, deduziremos uma fórmula para a soma dos números de Baum-Bott orbifold para uma folhação com singularidades isoladas em P2 !. Consequentemente, nos corolários 2.22 e 2.24, daremos uma caracterização das folhações com singularidades radiais em P2 !. Finalizamos esta parte com alguns exemplos. Como uma aplicação final do teorema 2.1, temos o teorema 2.25. Este teorema, junto com o corolário 2.13, nos permite dar uma cota para o grau de uma curva quase suave irredutível e invariante por uma folheação, em função do grau da folheação em P2 !; isto é dado no corolário 2.28, que é o Problema de Poincaré em P2 !, foi dado primeiro em [12] (nós generalizamos este resultado: A hipótese Sing(F) \ Sing(P2 !) = ? não é necessária). De maneira mais geral, no teorema 2.29, daremos uma cota para o grau de uma hipersuperfície quase suave irredutível invariante por uma folheação, em função do grau da folheação em Pn ! . Este último teorema é um trabalho em colaboração com Fabio E. Brochero e Maurício Corrêa Jr. (Veja [7]). No teorema 2.4, com algumas hipóteses, daremos uma segunda versão da fórmula de Bott em um orbifold compacto com singularidades isoladas, em função de uma boa resolução do orbifold e da classe de Chern local "top", que é definida localmente entorno de cada singularidade do orbifold. Daremos uma interpretação geométrica da classe de Chern local "top" para folheações no corolário 2.5. É bem conhecido que a késima superfície de Hirzebruch Hk, para k > 1, é uma boa resolução de P(1 : 1 : k) e a partir disso derivamos o teorema 2.17. Na segunda parte do trabalho, seguindo W. Ding e G. Tian [15], no teorema 3.5 daremos uma demonstração da fórmula de localização do invariante de Calabi-Futaki para um orbifold complexo compacto e com singularidades isoladas (o anulamento do invariante é uma condição necessária para a existência de métricas Kahler-Einstein no orbifold). Como aplicação dessa teoria, no teorema 3.8 nós estudaremos a não existência de métricas Kahler-Einstein nos espaços projetivos ponderados singulares bem formados. Finalizamos esta parte com alguns exemplos. |
| Abstract: | This work is divided int two parts. In the first part of the work, in Theorem 2.1, we give a first version of Botts fórmula for a compact complex orbifold with isolated singularities. In Theorem 2.4, using a good resolution and the local Chern class "top" of the orbifold, we give a second version ot theorem 2.1. An interesting consequence of theorem 2.1 is its application to weighted projective spaces Pn ! = P(w0, ...,wn). For example, since we guarantee the existence of nontrivial holomorphic foliations in Pn ! (proposition 2.12), we deduce a formula for the sum of the Milnor numbers of an orbifold of a holomorphic foliation with isolated singularities in Pn ! (corollary 2.13); in particular such a formula is an obstruction to a non-singular foliation in Pn ! (corollary 2.14). In corollary 2.15, we present some relations between the singular set of the foliation and the singular set of P2 !. We end with some examples. As another application of theorem 2.1, similar to the smooth case, we introduce the Baum-Bott numbers associated with the singularities of a foliation with isolated singularities in a compact orbifold surface with isolated singularities. Then, in the Theorem 2.19, we deduce a formula for the sum of the Baum-Bott numbers orbifold for a foliation with isolated singularities in P2 !. Consequently, in the corollaries 2.22 and 2.24, we give a characterization of the foliations with radial singularities in P2 !. We end this part with some examples. As a final application of the theorem 2.1, we have theorem 2.25. This theorem, thogether with corollary 2.13, allows us to give a limit to the degree of an almost smooth curve irreducible invariant by a foliation, as a function of the degree of the foliation in P2 !; this is done in corollary 2.28, which is Poincaré Problem in P2 !, was given for the first time in [12] (we generalize this result: The hypothesis Sing(F) \ Sing(P2 !) = ? is not necessary). More generally, in theorem 2.29, we give a limit to the degree of an almost smooth hypersurface irreducible invariant by a foliation, as a function of the degree of the foliation in Pn ! . This last theorem is a work in collaboration with Fabio E. Brochero and Maurício Corrêa Jr. (see [7]). In the theorem 2.4, under certain hypotheses, we give a second version of Botts formula in a compact orbifold with isolated singularities, as a function of a good resolution of the orbifold and the local Chern class "top", which is defined locally around each singularity of the orbifold. We give a geometric interpretation of the local Chern class "top" for foliations in corollary 2.5. It is well known that the kth surface Hirzebruch Hk, for k > 1, is a good resolution of P(1 : 1 : k) and from this we derive theorem 2.17. In the second part of the work, following W. Ding and G. Tian [15], we give in Theorem 3.5 a demonstration of the location formula for the Calabi-Futaki invariant for a compact complex orbifold with isolated singularities (the annulment of the invariant is a necessary condition for the existence of Kähler-Einstein metrics on the orbifold). As an application of this theory, we study in theorem 3.8 the non-existence of Kähler-Einstein metrics in well-formed singular weighted projective spaces. We end is part with some examples. |
| Asunto: | Matemática Topologia algebrica Geometria diferencial Folheações (Matematica) Singularidades (Matemática) |
| Idioma: | Português |
| Editor: | Universidade Federal de Minas Gerais |
| Sigla da Institución: | UFMG |
| Tipo de acceso: | Acesso Aberto |
| URI: | http://hdl.handle.net/1843/EABA-9UJR8N |
| Fecha del documento: | 6-feb-2015 |
| Aparece en las colecciones: | Teses de Doutorado |
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