DISSERTAÇÃO DE MESTRADO Nº 1048
MÉTODOS DE EQUAÇÃO PARABÓLICA APLICADOS À PREVISÃO DE
COBERTURA RADIOELÉTRICA
Diego Andres Parada Rozo
DATA DA DEFESA: 28/02/2018
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
 
 
Universidade Federal de Minas Gerais 
Escola de Engenharia 
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica 
 
 
 
 
MÉTODOS DE EQUAÇÃO PARABÓLICA APLICADOS À 
PREVISÃO DE COBERTURA RADIOELÉTRICA 
 
 
 
 
Diego Andres Parada Rozo 
 
Dissertação de Mestrado submetida à Banca 
Examinadora designada pelo Colegiado do Programa 
de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Escola 
de Engenharia da Universidade Federal de Minas 
Gerais, como requisito para obtenção do Título de 
Mestre em Engenharia Elétrica. 
 
 
Orientador: Prof. Dr. Cássio Gonçalves do Rego 
Coorientador: Prof. Dr. Glaucio Lopes Ramos 
 
 
 
 
 
Belo Horizonte - MG 
Fevereiro de 2018 
MÉTODOS DE EQUAÇÃO PARABÓLICA
APLICADOS À PREVISÃO DE COBERTURA
RADIOELÉTRICA

Este trabajo es dedicado,
En primera instancia a Dios, por orientarme en cada paso y decisión, por
hacerme comprender su voluntad de seguir y construir este camino, por colmarme de
sabiduría, de fortaleza y reconfortarme en momentos de incertidumbre.
A mis padres, Maria Isabel Rozo y José Miguel Parada, por su ejemplo de entrega
y disciplina, por ser mi principal motivación para lograr nuevos y grandes objetivos.
Para ellos mi esfuerzo, amor y gratitud. Este logro es más de ustedes y para ustedes.
A mi hermanito Miguel Ángel, por ser el motivo de unión, amor y superación de
mi familia.
A mi abuelita Ana Matilde.
Diego Andrés Parada Rozo
v
Agradecimentos
O autor desta dissertação expressa seus agradecimentos:
Ao meu orientador Cássio Gonçalves do Rego, pela amizade, confiança, motiva-
ção e apoio durante todo o mestrado, pela tranquilidade transmitida nos momentos
mais críticos da minha pesquisa.
Ao meu coorientador Glaucio Lopes Ramos, pela amizade, confiança, e por
respaldar todo este processo.
Ao professor Fernando José da Silva Moreira, pelos ensinamentos dados nas suas
disciplinas.
A Rafaela, Stefânia e Ruã, colegas e amigos de mestrado, obrigado pela cola-
boração, amizade, e bons momentos. Desejo para vocês uma vida cheia de sucesso.
Também aos meus colegas e amigos do GAPTEM, Tcharles, Franz, Hugo, Nayara e
João pelo bom convívio e amizade.
A mis amigos colombianos, Olger, David, Luilly, Camilo, Maurício, Arturo,
Juancho, Brayan, Karina, Edna y Franklin, por la amistad y los buenos momentos
compartidos en el transcurso de esta maestría. A las niñas que durante este tiempo
han venido de intercambio a la UFMG, Marthica, Marcela, Pilar, Marcel y Elisa,
por su cariño y amistad. A Paolita, por la bonita compañía ofrecida durante su
intercambio y por construir juntos una amistad tan valiosa.
A María Victoria, por la amistad y confianza brindada, por los buenos y
gratificantes momentos compartidos, por ser desde el inicio de esta experiencia un
gran respaldo para mi.
vi
A Diego Camilo, por ser mi amigo, mi hermano, mi consejero, mi ejemplo.
Infinitas gracias por el incondicional apoyo brindado desde el principio, por siempre
estar dispuesto a ofrecerme una mano amiga. Por cada cerveza, cada partido de fútbol
y cada vallenato. A Mariele, por brindarme su amistad y confianza.
Ao PPGEE pela formação acadêmica e profissional dada neste mestrado.
À agência CAPES, pela bolsa de estudo.
vii
“Cuando en esta vida no tenemos garantizado nada, el camino más coherente es el de
abrir oportunidades, y bajo esta perspectiva las oportunidades se sueñan, se
construyen y se asumen...Son construcción constante de confianza, tomando
iniciativas que nacen de esa mayor arma que es la voluntad de querer ser y de querer
hacer. Y es que realmente los límites no existen en la medida en que se cree. Todo se
construye de forma prudente y razonable”
Diego Parada
viii
Resumo
Neste trabalho o método da equação parabólica (PE) é usado para abordar problemas
de radiopropagação. O principal objetivo é obter um modelo de propagação, baseado
na solução numérica de SSPE (Split Step Parabolic Equation), que garante a precisão
e eficiente predição de cobertura radioelétrica. O algoritmo de SSPE é implementado
computacionalmente fornecendo solução para duas abordagens denominadas: NAPE
(Narrow Angle Parabolic Equation) e WAPE (Wide Angle Parabolic Equation), onde a
segunda abordagem apresenta-se como um aprimoramento da primeira para condições
específicas de análise. A solução numérica do método PE permite a consideração de
efeitos atmosféricos e fatores de terrenos no modelo de canal. O método de DMFT
(Discrete Mixed Fourier Transform) inclui-se dentro do algoritmo de SSPE para tratar
a análise de ambientes com perdas de propagação devido a condições de impedância
nas superfícies, tornando-se em uma abordagem DMFT-SSPE para analisar este tipo
de problemas.
O algoritmo de SSPE é aplicado em testes canônicos e casos práticos. Este tra-
balho também propõe estudos comparativos com o objetivo de avaliar os resultados
obtidos via NAPE e WAPE. Os estudos de caso analisados têm como referência resul-
tados obtidos com outras técnicas numéricas, e nos casos práticos as referências são
medições.
Ao longo deste trabalho o método de SSPE é apresentado como uma alternativa
que garante uma convergência razoável de resultados, demonstrando precisão e notável
eficiência em tempo total de simulação para estimar cobertura radioelétrica.
Palavras-chave: Modelo PE, SSPE, DMFT, NAPE, WAPE, técnicas numéricas.
ix
Abstract
In this work, the parabolic equation (PE) method is used to solve radiopropagation
problems. The main objective is to obtain a propagation model, based on the nume-
rical solution of SSPE (Split Step Parabolic Equation), that guarantees the precision
and efficient prediction of radioelectric coverage. SSPE algorithm is computationally
implemented, providing a solution for two approaches: NAPE (Narrow Angle Parabolic
Equation) and WAPE (Wide Angle Parabolic Equation), where the second method is
presented as an improvement of the first approach for specific conditions of analysis.
The numerical solution of the PE method allows the consideration of atmospheric ef-
fects and terrain factors in the channel model. In order to study environments with
propagation losses due to impedance conditions on the surfaces, the DMFT (Discrete
Mixed Fourier Transform) method is included within the SSPE algorithm, becoming a
DMFT-SSPE approach to solve this type of problems.
SSPE algorithm is applied in canonical tests and real scenarios. This work also
proposes comparative studies with the objective of evaluating the results obtained th-
rough NAPE and WAPE. The case studies analyzed use as reference results obtained
with other numerical techniques, and in practical cases, the references are measure-
ments.
Throughout this work the SSPE method is presented as an alternative that gua-
rantees a reasonable convergence of results, demonstrating precision and notable com-
putational efficiency to estimate radioelectric coverage.
Keywords: PE Model, SSPE, DMFT, NAPE, WAPE, numerical techniques.
x
Lista de Figuras
2.1 Polarização horizontal e vertical da onda eletromagnética. . . . . . . . . . 7
2.2 Condições de contorno impostas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Camada absorvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Terreno irregular escalonado [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Método de SSPE [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6 Domínios usados na abordagem do problema [2]. . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.7 Exemplos de perfis de campo gerados pelo método das imagens. . . . . . . 17
2.8 Perfis de campo gerados para problemas com perdas. . . . . . . . . . . . . 18
2.9 Janela de Hanning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.10 Comparação entre uso e não uso de camada absorvente. . . . . . . . . . . . 20
2.11 Perfis de refratividade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.12 Perfis de campo usando diferentes refratividades. . . . . . . . . . . . . . . 22
2.13 Terreno escalonado para aplicar SSPE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.14 Aplicação do método de SSPE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.15 Fluxograma de aplicação do algoritmo de SSPE [3]. . . . . . . . . . . . . . 26
2.16 Perfil vertical com valores de campo se propagando ao longo de um terreno
escalonado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.17 Modelo de Terra plana para cálculo de campo considerando variação atmos-
férica [4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.18 Atenuação em atmosfera padrão sobre Terra plana para f=200MHz. . . . . 32
2.19 Modelo Terra plana [4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.20 Atenuação sobre Terra plana com perdas para polarização vertical em 100
MHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1 Cenário e escalonamento de cunha com perdas. . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Atenuação em cunha com perdas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Perfis de terreno do caso prático da Dinamarca. . . . . . . . . . . . . . . . 38
xi
3.4 Escalonamento e variação do tamanho do vetor vertical de campo no perfil
de Jerslev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5 Escalonamento e variação do tamanho do vetor vertical de campo no perfil
de Mjels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6 Atenuação ao longo do perfil de Jerslev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.7 Atenuação ao longo do perfil de Mjels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.8 Perfil de campo elétrico no cenário de Mjels. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
xii
Lista de Tabelas
2.1 Parâmetros de entrada usados para aplicar o algoritmo de SSPE . . . . . . 25
2.2 Estatística do erro para o caso de terra plana com variação atmosférica. . . 32
2.3 Estatística do erro para o caso de terra plana com perdas no solo. . . . . . 34
3.1 Estatística do erro para o caso de cunha com perdas. . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Estatística do erro para o caso de Jerslev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3 Estatística do erro para o caso de Mjels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
xiii
Sumário
Agradecimentos vi
Resumo ix
Abstract x
Lista de Figuras xi
Lista de Tabelas xiii
1 Introdução 1
1.1 Contextualização do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Objetivos e contribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Estrutura da dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 5
2.1 Dedução do Modelo PE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Aspectos a considerar nos ambientes de propagação . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 Imposição de condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 Variação atmosférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.3 Terrenos irregulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Solução numérica do modelo PE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 Split Step Fourier Transform (SSFT) . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.2 Aplicação de SSPE em problemas de radiopropagação . . . . . . 15
2.3.3 Implementação da condição do contorno de impedância . . . . . 29
2.4 Estudo de casos com terra plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5 Conclusões parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Simulação e Resultados 35
3.1 Relevo cunha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
xiv
3.2 Cenários realísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Conclusões parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 Conclusões 46
4.1 Considerações finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 Propostas de continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Referências Bibliográficas 49
xv
Capítulo 1
Introdução
Os estudos de predição de cobertura radioelétrica analisam o comportamento do si-
nal de radiofrequência envolvendo o impacto que geram os ambientes de propagação.
À medida que a tecnologia evolui surgem redes de telecomunicações mais extensas e
complexas em cenários mais variados, o que promove as pesquisas e o desenvolvimento
de modelos, técnicas e métodos mais eficientes e precisos para caracterizar canais de
rádio.
As ondas de rádio desde a faixa VHF (Very High Frequencies) até as ondas mi-
limétricas são afetadas por fenômenos, tais como, reflexão, refração e difração. Além
disso, caraterísticas dos ambientes, por exemplo, perfis de terrenos, condições atmos-
féricas e parâmetros eletromagnéticos das superfícies têm considerável influência na
propagação de ondas. Portanto, o desenvolvimento de modelos numéricos de alta
precisão para planejar adequadamente sistemas de comunicações pode ser conseguido
incorporando eficientemente os efeitos troposféricos e ambientais [1] [5]. Atualmente,
existem métodos numéricos que abordam modelos determinísticos para solucionar pro-
blemas de radiopropagação. Entre eles podem-se citar o Método dos Momentos (MoM)
para resolver equações integrais, FDTD (Finite Difference Time Domain), traçado de
raios combinadas com a UTD (Uniform Theory of Diffraction), e o método da equação
parabólica (PE) [4].
1.1 Contextualização do problema
O desenvolvimento de modelos computacionais que avaliem o desempenho das novas
gerações dos sistemas de comunicações é um tópico que gera interesse nos planejadores
de redes sem fio e pesquisadores. Recentemente, as ferramentas de propagação baseadas
no método da PE têm-se tornado mais atraentes e eficazes, quando comparadas com
1
1. Introdução 2
outras abordagens numéricas. Tais técnicas apresentam resultados confortáveis tanto
na precisão como no tempo de computação [6]. Além disso, as soluções numéricas do
método PE fornecem uma solução completa em todos os pontos dos cenários, incluindo
as alterações de refratividade atmosférica e os efeitos de fatores de terreno, o que
representa um destacado avanço na modelagem de propagação eletromagnética.
O método da PE é uma aproximação da equação de onda que modela a energia
se propagando em um cone centrado em uma direção preferencial, denominada direção
paraxial. Foi introduzido por Leontovich e Fock para tratar o problema da difração de
ondas de rádio ao redor da Terra [7]. Inicialmente, os modelos baseados na PE foram
bem recebidos, pois resolveram problemas práticos de propagação. Os algoritmos PE
têm sido usados principalmente para modelar a propagação de ondas na troposfera,
apresentando a vantagem de fornecer uma solução rápida e eficiente para a maioria dos
problemas de longo alcance [8] [9].
Pelo menos duas soluções numéricas podem ser usadas para resolver a PE: as
técnicas de diferenças finitas [10] e o algoritmo de SSFT (Split Step Fourier Transform)
[11]. Para garantir a estabilidade do algoritmo de diferenças finitas tanto Claerbout
quanto Popov usaram a solução numérica baseada no Método de Crank-Nicolson. O
SSFT, primeiramente utilizado por Hardin e Tappert em problemas de acústica, é mais
conhecido como o algoritmo de SSPE (Split Step Parabolic Equation) quando é usado
no contexto de radiopropagacão; sua aplicação precisa de um perfil inicial de campo em
uma distância de referência, pois a partir desta posição inicia-se um processo iterativo
para calcular passo a passo os valores correspondentes de campo usando transformadas
de Fourier. Neste trabalho a PE é resolvida através da aplicação do algoritmo de SSPE.
Outro problema comum na caracterização de canais de rádio é a consideração
de ângulos de propagação. Para isto, formulações de NAPE (Narrow Angle Parabo-
lic Equation) e WAPE (Wide Angle Parabolic Equation) são consideradas dentro da
solução numérica oferecida pelo algoritmo de SSPE. A forma NAPE é aplicada em
contextos ou problemas onde os ângulos de propagação são inferiores a 15◦. A forma
WAPE é mais precisa em problemas que envolvem maior faixa angular, por exemplo,
propagação de curto alcance e problemas de multipercursos [12].
Este trabalho implementa computacionalmente o método de SSPE em duas for-
mas, WAPE e NAPE, avaliando a estabilidade da formulação quando efeitos atmosféri-
cos e fatores de terreno são considerados. Por outro lado, realiza um estudo comparativo
entre as soluções do algoritmo de SSPE e soluções obtidas usando outras abordagens
numéricas, tanto em problemas canônicos quanto em casos práticos, com o objetivo de
avaliar a sua precisão na predição de cobertura radioelétrica.
1. Introdução 3
1.2 Objetivos e contribuições
Neste trabalho uma solução numérica para o modelo de PE é implementada computa-
cionalmente, aplicando-a em cenários que consideram efeitos naturais e características
reais dos ambientes de propagação. O principal objetivo do trabalho é avaliar a aplica-
bilidade do algoritmo de SSPE para a predição de cobertura radioelétrica, verificando
a precisão dos seus resultados com os obtidos por outras técnicas numéricas e/ou for-
mulações analíticas.
Este trabalho conseguiu avaliar os resultados da implementação computacional
do método de SSPE, a partir de um estudo comparativo de soluções numéricas e/ou
analíticas para casos canônicos. Somando a aplicação em ambientes realísticos, onde
foi feita a comparação com campanhas de medições [4]. Assim, o presente trabalho foi
realizado segundo as seguintes etapas:
Na primeira etapa do presente estudo, foi escolhida uma técnica numérica para
resolver o modelo de PE no domínio da frequência. Posteriormente, foi implementada
computacionalmente. Após garantir a estabilidade numérica do método de SSPE com
testes iniciais, casos canônicos foram escolhidos para ser estudados. Inicialmente, foram
testados casos de estudo de terra plana com perdas no solo, e outro caso de terra plana
com superfície condutora perfeita combinado com efeitos atmosféricos.
A seguir, terrenos irregulares foram modelados e incluídos dentro do algoritmo de
SSPE. Dessa forma foi acrescentada a complexidade dos casos de estudo. Em adição,
a ferramenta computacional implementada foi adaptada para se ajustar às diferentes
condições de terrenos irregulares, variações atmosféricas e parâmetros eletromagnéticos.
Efetivamente, a sua aplicabilidade foi verificada em casos práticos.
Por último, os resultados obtidos das simulações foram verificados através de
estudos comparativos. Assim, o modelo PE foi avaliado para predizer cobertura radi-
oelétrica.
A contribuição deste trabalho é a obtenção de um modelo de propagação, ba-
seado na técnica numérica de SSPE, que possui uma razoável convergência numérica
de resultados. Portanto, esta implementação é uma alternativa computacionalmente
mais eficiente quando comparada a outras ferramentas de análises desenvolvidas no
GAPTEM (Grupo de Antenas, Propagação e Teoria Eletromagnética) da UFMG.
1.3 Estrutura da dissertação
A presente dissertação está organizada da seguinte maneira. No Capítulo 2 o modelo
PE para abordar problemas de propagação de ondas eletromagnéticas é apresentado
1. Introdução 4
no domínio da frequência. A dedução matemática para obter um formato padrão
de PE é feita na Seção 2.1. Utilizando aproximações numéricas são obtidas as duas
formas do modelo PE: WAPE e NAPE. Na seção seguinte são explicados os aspectos
considerados nos ambientes de propagação. Na seção 2.3 é apresentado o método
de SSPE como solução numérica do modelo PE. Na Subseção 2.3.2 são descritos os
detalhes de implementação computacional das características reais dos ambientes, além
de explicar a forma como o algoritmo SSPE é executado. O método da DMFT é
exposto na Subseção 2.3.3. Resultados para estudos de caso canônicos com terra plana
são exibidos na Seção 2.4.
No Capítulo 3, são mostrados e discutidos resultados numéricos obtidos a partir
da implementação computacional do algoritmo DMFT-SSPE. Na Seção 3.1 a solução
desenvolvida é aplicada em um caso canônico que envolve uma cunha com perdas.
Resultados obtidos para dois perfis reais na Dinamarca são apresentados e analisados
na Seção 3.2.
No final do Capítulo 2 e do Capítulo 3 são feitas algumas conclusões parciais
a respeito do desenvolvimento apresentado no capítulo correspondente. O Capítulo 4
apresenta as conclusões finais do presente trabalho e as propostas de continuidade para
futuras pesquisas.
Capítulo 2
Modelo de equação parabólica
(Modelo PE)
2.1 Dedução do Modelo PE
A equação parabólica (PE) aplicada na propagação eletromagnética é obtida a partir
da equação de Helmholtz, cuja origem vem das equações de Maxwell.
∇× ~E(ω) = −jωµ0 ~H(ω) , (2.1)
∇× ~H(ω) = jω ~E(ω) , (2.2)
∇ · ~E(ω) = 0 , (2.3)
∇ · ~H(ω) = 0 . (2.4)
As equações anteriores são as equações de Maxwell suprimindo o termo ejωt e descon-
siderando possíveis fontes de correntes e cargas (ou seja, meios sem fontes).
Aplicando rotacional nos ambos os lados da equação (2.1),
∇×∇× ~E = −jωµ0
(
∇× ~H
)
, (2.5)
e incluindo nela a equação (2.2), obtém-se:
∇×∇× ~E = ω2µ0 ~E . (2.6)
5
2. Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 6
E agora, com base na identidade vetorial,
∇×∇× ~A = ∇
(
∇ · ~A
)
−∇2 ~A , (2.7)
a equação (2.6) transforma-se em,
∇2 ~E + ω2µ0 ~E = 0 , (2.8)
denominada equação de onda ou equação de Helmhotz do campo elétrico. De forma
similar pode-se estabelecer a equação de onda, ou de Helmhotz, para o campo magné-
tico,
∇2 ~H + ω2µ0 ~H = 0 . (2.9)
Na equação (2.10) a expressão (2.8) é representada de forma diferencial,
∂2 ~E
∂x2
+
∂2 ~E
∂y2
+
∂2 ~E
∂z2
+ ω2µ0 ~E = 0 , (2.10)
Na análise da formulação usam-se as seguintes grandezas,
c =
1√
µ00
, (2.11)
que é a velocidade da luz no vácuo,
k0 =
2pi
λ
, (2.12)
que é o número de onda, e
v =
c√
µrr
, (2.13)
que é a velocidade da luz em um meio especifico. Para Propagação no vácuo µr = r =
1. O índice de refratividade é dado por:
n =
c
v
. (2.14)
Então, a expressão ω2µ0 da equação (2.10) é reexpressa como:
ω2µ0 = ω
20µ0rµr =
ω2n2
c2
=
(
2pi
λ
)2
n2 = k20n
2. (2.15)
2. Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 7
Figura 2.1: Polarização horizontal e vertical da onda eletromagnética.
Então, a equação (2.10) é rescrita da seguinte forma:
∂2 ~E
∂x2
+
∂2 ~E
∂y2
+
∂2 ~E
∂z2
+ k20n
2 ~E = 0 . (2.16)
Abaixo, a equação de onda é representada em forma geral,
∂2ψ
∂x2
+
∂2ψ
∂y2
+
∂2ψ
∂z2
+ k20n
2ψ = 0 , (2.17)
onde:
ψ(x, y, z) = Ey ,
para polarização horizontal, e
ψ(x, y, z) = Hy ,
para polarização vertical. Detalhes de polarização são mostrados na Figura 2.1.
Neste trabalho, a propagação será analisada em duas dimensões (sem variações
na direção transversal), ou seja, a equação (2.17) fica:
∂2ψ
∂x2
+
∂2ψ
∂z2
+ k20n
2ψ = 0 . (2.18)
Para analisar a propagação do campo ao longo do eixo x, introduze-se a função auxiliar
reduzida:
u(x, z) = e−jkxψ(x, z) , (2.19)
2. Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 8
e introduzindo a equação (2.19) na equação (2.18), obtém-se:
∂2
[
u(x, z)ejkx
]
∂x2
+
∂2
[
u(x, z)ejkx
]
∂z2
+ k20n
2
[
u(x, z)ejkx
]
= 0 . (2.20)
Após manipulações matemáticas a equação (2.20) fica:
∂2u(x, z)
∂x2
+
∂2u(x, z)
∂z2
+ 2jk0
∂u(x, z)
∂x
+ k20(n
2 − 1)u(x, z) = 0 . (2.21)
A equação (2.21) pode ser separada em termos de dois operadores pseudo-diferenciais:
∂u
∂x
= jk0(1−Q)u , (2.22)
∂u
∂x
= jk0(1 +Q)u , (2.23)
onde
Q =
√
1 + q , (2.24)
e
q =
1
k20
∂2
∂z2
+ (n2 − 1) . (2.25)
As equações (2.22) e (2.23) representam, respectivamente, a análise da onda a favor ou
contra (retroespalhamento) o sentido da propagação. Neste trabalho o retroespalha-
mento é ignorado.
Uma solução para a equação (2.22) é dada por:
u(x+ ∆x, z) = e−jk0∆x(1−Q)u(x, z) . (2.26)
A equação (2.24) é aproximada como segue:
√
1 + q =
a0 + a1q
b0 + b1q
, (2.27)
incluindo a equação (2.28) na equação (2.22), obtém-se a seguinte expressão de forma
geral: (
A0
∂
∂x
+ A1
∂3
∂z2∂x
+ A2 + A3
∂2
∂z2
)
u = 0, (2.28)
com A0 = b0 + b1(n2 − 1) , A1 = b1k−20 , A2 = jk0 [(b0 − a0) + (b1 − a1)(n2 − 1)],
A3 = jk
−1
0 (b1 − a1).
2. Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 9
Se o ângulo de propagação medido desde a direção paraxial (eixo x) é inferior
a 15◦, a equação parabólica padrão é obtida através do uso da primeira ordem da
expansão de Taylor,
√
1 + q ≈ 1+ q
2
; nesse caso a0 = 1, a1 = 0, 5, b0 = 1, b1 = 0,
e A0 = 1, A1 = 0, A2 = −0, 5jk0(n2 − 1), e A3 = −0, 5jk−10 [6]; substituindo os
valores na equação (2.28) chega-se :{
∂
∂x
− 0, 5jk0(n2 − 1)− 0, 5jk−10
∂2
∂z2
}
u = 0 . (2.29)
Finalmente, multiplicando por 2jk0 obtém-se o modelo de equação parabólica padrão:
∂2u
∂z2
+ 2jk0
∂u
∂x
+ k20(n
2 − 1)u = 0 . (2.30)
O modelo da equação (2.30) é preciso para problemas com ângulos de propagação infe-
riores a 15◦. Por causa disso é que o modelo de equação parabólica padrão é conhecido
como NAPE (Narrow Angle Parabolic Equation) para a equação de onda. Geralmente
em condições de propagação de longo alcance apresentam ângulos pequenos. Assim o
modelo da equação (2.30) consegue alta precisão para soluções numéricas.
Problemas que analisam propagação a curto alcance e/ou efeitos multipercursos
envolvem ângulos de propagação maiores que 15◦. Nesse caso a expansão do operador
Q deve ser mais precisa. Portanto, o operador Q pode ser escrito como:
Q =
√
1 + A+B , (2.31)
o qual é aproximado como segue:
Q ≈ √1 + A+√1 +B − 1 . (2.32)
Onde, A = ∂2/(k20∂z2) e B = n2−1. Finalmente, usa-se a identidade
√
1 + A = 1+
A(
√
1 + A+1)−1. O modelo de equação parabólica para ângulos maiores é denominado
WAPE (Wide Angle Parabolic Equation) e é dado pela seguinte expressão:
∂u
∂x
−
jk−10
(√
1 +
1
k20
∂2
∂z2
+ 1
)−1
+ jk0(n− 1)
u = 0 . (2.33)
2. Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 10
2.2 Aspectos a considerar nos ambientes de
propagação
Os ambientes de propagação devem ser caracterizados nos detalhes que influenciam
diretamente a precisa predição de cobertura radioelétrica. A solução numérica usada
neste trabalho permite incluir condições de contorno, efeitos atmosféricos e modelagem
de terrenos irregulares dentro do Modelo PE.
2.2.1 Imposição de condições de contorno
Os problemas de propagação eletromagnética analisados neste trabalho estão delimita-
dos. Dessa forma, se estabelece um domínio vertical (ao longo do eixo z) e um domínio
horizontal (ao longo do eixo x) desde uma posição x = x0 até x = xmax. As condições
de contorno são impostas no domínio vertical. Existem condições de contorno no solo
(z = 0), gerado pela impedância de superfície. Do mesmo modo, o problema é truncado
numa altura máxima de interesse, denominada zmax. A Figura 2.2 mostra uma ideia
geral da imposição destas condições de contorno. Os domínios estabelecidos delimitam
os problemas para os cálculos numéricos.
Figura 2.2: Condições de contorno impostas.
2. Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 11
2.2.1.1 Condição de contorno de impedância do solo
Esta condição é imposta para estimar as perdas decorrentes da interação entre as ondas
eletromagnéticas propagantes e os terrenos. A seguir, a condição de contorno que deve
se satisfazer na superfície do solo é expressa [13]:[
α1
∂
∂z
+ α2
]
u (x, z) = 0, (2.34)
onde α1 e α2 são constantes.
No caso da superfície ser um condutor elétrico perfeito, aplicam-se as condições de
acordo com a polarização. Para polarização horizontal é usada a condição de Dirichlet,
nesse caso α1 = 0. No caso de polarização vertical, a condição de Neumann impõe um
valor de α2 = 0 [12].
Quando a superfície é um meio com condutividade finita aplica-se a condição de
contorno tipo Cauchy, na qual α1 = 1, α2 = ik0
√
γ − 1, para polarização horizontal,
e α1 = 1, α2 = ik0
√
γ − 1/γ, para polarização vertical, onde γ = r + i60σλ. O
termo γ é a permissividade relativa complexa da superfície e é definida em função da
permissividade relativa r e a condutividade σ [14]. Os valores de α1 e α2 são usados
dentro do algoritmo de DMFT, descrito na Subseção 2.3.3.1 do presente capítulo.
2.2.1.2 Camada absorvente
No limite superior do problema a condição u(x, z)|z→∞ = 0 deve se satisfazer. Em z =
zmax acontece um truncamento brusco que afeta o cálculo de campo, como consequência
disto geram-se reflexões não físicas que afetam a precisão da solução numérica usada
para resolver o modelo PE, ou seja, são produzidos efeitos indesejados que são resolvidos
através da aplicação de uma camada absorvente na metade superior do domínio vertical
[15]. O principal objetivo de aplicar esta condição de contorno é absorver a energia que
se propaga para cima, e por sua vez não seja refletida na borda superior do domínio
vertical.
A Figura 2.3 apresenta os dois tipos de domínios verticais: um domínio vertical
global para o problema, estendido desde z = z0 até z = zmax; e um domínio vertical
de interesse, estendido desde z = z0 até z = za, com za = zmax/2. Na verdade, os
resultados analisados são aqueles extraídos do domínio vertical de interesse. Porém, a
região compreendida entre z = za e z = zmax é de grande utilidade na implementação
computacional por suportar o papel de camada absorvente.
2. Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 12
Figura 2.3: Camada absorvente
2.2.2 Variação atmosférica
A variação atmosférica é depende principalmente da altitude, e para radiopropagação
é modelada em termos de refratividade.
A refração refere-se à propriedade que um meio tem de curvar a trajetória de
uma onda eletromagnética que passa por ele. Uma medida da quantidade de refração
é o índice de refração, n = c/v, onde c é a velocidade de propagação no vácuo e v a
velocidade da onda no meio em questão [16].
Em alguns dos casos de estudo do presente trabalho, define-se a variação do índice
de refração para atmosfera padrão. Matematicamente é dada por,
n = 1 +N0 × 10−6 × e−z/z0 , (2.35)
onde N0 = 315 é o valor médio de refratividade atmosférica ao nível do mar, e z0 = 7, 35
km é a altura de escala. N0 e z0 são valores referências para uma média global, baseados
na recomendação ITU-R P.453-10 [17].
Devido à presença do fator 10−6 na equação (2.35), o valor numérico de n varia
muito pouco em relação a 1 (um), tornando conveniente a definição do parâmetro N ,
denominado refratividade, e definido pela seguinte equação:
N = (n− 1)× 106. (2.36)
2. Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 13
O modelo padrão não é usado nos casos de propagação anômala. A propaga-
ção anômala faz com que os raios possam ser refletidos no solo e refratados várias
vezes, ficando confinados em uma fina camada da atmosfera e sendo guiados a longas
distâncias ao longo da superfície da Terra. Esta camada na qual a onda eletromagné-
tica é guiada é conhecida como duto troposférico. O guiamento ocorre principalmente
para frequências acima da faixa UHF (Ultra High Frequency) e com baixo ângulo de
elevação [18] [19].
Dutos podem ser formados próximos à superfície da terra (dutos de superfície) ou
a vários metros acima desta (dutos elevados). Dutos de superfície são gerados quando
uma massa de ar quente se aproxima de um solo úmido ou sobre mares tropicais (cha-
mados dutos de evaporação). Dutos elevados surgem quando uma massa de ar frio
atinge uma área de grande pressão, fenômeno que ocorre principalmente acima das nu-
vens e interessa às comunicações em UHF [18]. Na Subseção 2.3.2 deste capítulo, perfis
de refratividade são modelados e implementados dentro da formulação do algoritmo de
SSPE.
2.2.3 Terrenos irregulares
O presente trabalho aborda problemas canônicos e casos práticos que apresentam am-
bientes com terrenos irregulares. Este é um aspecto relevante considerado pela solução
numérica do modelo PE. Apesar de ser ignorada a influência do retroespalhamento, os
fatores de terrenos são fonte importante de difração e efeitos multipercursos. Detalhes
metodológicos apresentados no livro do Levy [8] explicam duas maneiras de modelar
perfis de terrenos irregulares: modelagem por escalonamento do terreno e representação
do terreno como linear por partes. Este trabalho implementa a primeira alternativa.
Um esboço geral de um terreno escalonado se apresenta na Figura 2.4. A subseção
2.3.2 explica os detalhes mais destacados da modelagem computacional de terrenos
irregulares.
2.3 Solução numérica do modelo PE
Esta seção descreve os detalhes da implementação computacional do método de SSPE
como solução numérica para o modelo PE. Ao longo da seção explicam-se as maneiras
como os efeitos ambientais e fatores de terrenos são abordados computacionalmente
dentro do algoritmos de SSPE. Além disso, são obtidos resultados preliminares que
demostram a viabilidade do modelo PE para incluir dentro da sua formulação e solução
as diferentes condições dos ambientes de propagação.
2. Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 14
Figura 2.4: Terreno irregular escalonado [1].
2.3.1 Split Step Fourier Transform (SSFT)
A solução numérica para o modelo PE é obtida pelo método de SSFT. O uso de SSFT
para resolver numericamente o modelo PE é conhecido como SSPE [8].
A solução de SSPE para o modelo de equação parabólica padrão ou forma NAPE,
é dada por [3]:
u(x+ ∆x, z) = e[jk(n
2−1) ∆x
2
] × F−1
{
e(jp
2 ∆x
2k
)F{u(x, z)}
}
, (2.37)
e a solução de SSPE para a forma WAPE, é dada por [12]:
u(x+ ∆x, z) = e[jk(n−1)
∆x
2
] × F−1
{
e[−
jp2∆x
k
(
√
1−( p
k
)2+1)−1]F{u(x, z)}
}
. (2.38)
Nas equações (2.37) e (2.38), F e F−1 representam a transformada rápida de Fourier
(FFT) e a transformada rápida de Fourier inversa (IFFT), respectivamente. Aprofun-
dando, tem-se um vetor de N valores, ou seja x(n) = {x1, x2, x3, ..., xN}, a transfor-
mada rápida de Fourier é aplicada nesse vetor, e matematicamente é dada por:
X(k) =
N∑
n=1
xne
−j2pi(k−1)n−1
N , (2.39)
com 1 ≤ k ≤ N . Desta forma, obtém-se um novo vetor de N valores, ou seja,
X(k) = {X1, X2, X3, ..., XN}.
2. Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 15
Matematicamente a transformada rápida de Fourier inversa é dada por:
x(n) =
1
N
N∑
k=1
Xke
j2pi(k−1)n−1
N , (2.40)
com 1 ≤ n ≤ N .
De volta nas equações (2.37) e (2.38), o termo p está expresso como p = k0×sen θ,
onde θ é o ângulo de propagação. Também a partir dessas equações pode-se inferir que
as duas formas de solução (NAPE e WAPE) atuam no domínio espacial z e no domínio
espectral p. Aspectos de implementação, dos efeitos considerados nos casos de estudo,
são detalhados na seção seguinte.
2.3.2 Aplicação de SSPE em problemas de radiopropagação
Para a aplicação do método de SSPE precisa-se de um valor inicial de campo em uma
distância inicial (x0). A Figura 2.5 apresenta uma ideia ou esboço sobre a abordagem
do método. Primeiramente nota-se que existe um perfil inicial de campo (conjunto
vertical de valores de campo na posição x0). A partir desta posição inicial aplica-se
um processo iterativo que vai calculando passo a passo (usando as equações (2.37) e
(2.38)) um perfil vertical de campo, usando sempre os valores de campo da posição
anterior.
Figura 2.5: Método de SSPE [1]
2. Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 16
Figura 2.6: Domínios usados na abordagem do problema [2].
Para aplicar SSPE dois domínios computacionais são definidos, como observa-se
na Figura 2.6. Define-se uma primeira região (Região 1 ), compreendida entre x =
0 até x = x0, denominada de domínio analítico, e uma segunda região (Região 2 ),
compreendida entre x = x0 até x = xmax denominada de domínio numérico, e que
propriamente é resolvida através de SSPE.
A seguir, descreve-se uma sequência de itens que explica como deve ser aplicado
o método de SSPE em problemas de propagação de ondas EM. Em adição, cada item
apresenta resultados da implementação computacional de cada aspecto mencionado.
1) Cálculo do perfil de campo inicial
Para casos de estudo onde a superfície do terreno é simulada como condutora per-
feita, usa-se o método das imagens [20] para gerar o perfil vertical de campo na
posição x = x0. A Figura 2.7 mostra exemplos de perfis de campo gerados pelo
método das imagens em diferentes posições sobre o eixo x.
Para casos de estudo onde a superfície do terreno é caracterizada com parâmetros
eletromagnéticos (tais como, permissividade relativa e condutividade) usa-se a fór-
mula de terra plana [2] para achar o perfil de campo inicial. A fonte é definida como
um dipolo elétrico vertical e o valor de Hφ [21] é calculado na posição x0 através da
expressão seguinte:
2. Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 17
Hφ = −Idl
2pi
[
eik0r1
2
(
x
r1
)(
ik0
r1
− 1
r21
)
+
eik0r2
2
(
x
r2
)(
ik0
r2
− 1
r22
)
−eik0r2 k
3
0
k1
(
pi
k0r2
)1/2
e−iPF (P )
]
,
(2.41)
com
F (P ) =
∫ ∞
P
eit√
2pit
dt , (2.42)
r1 =
[
x2 + (z − d)2]1/2 ; r2 = [x2 + (z + d)2]1/2 , (2.43)
e,
P =
k30r2
2k21
[
k0r2 + k1(z + d)
k0x
]2
. (2.44)
Figura 2.7: Exemplos de perfis de campo gerados pelo método das imagens.
2. Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 18
Figura 2.8: Perfis de campo gerados para problemas com perdas.
ki =
√
ω2µ0 (i + iσi/ω), i = 0, 1 são os números de onda para o ar e o
solo respectivamente, d é a altura da antena transmissora em relação ao solo,
Idl = (1/k0)(Pt/10)
1/2 é o momento elétrico, onde Pt é a potência transmitida
pela antena. A Figura 2.8 mostra exemplos de perfis de campo em diferentes
posições sobre o eixo x, gerados pela formulação dada nas equações (2.41) - (2.44).
2) Discretização do problema
O cenário analisado está discretizado ao longo da direção de propagação (eixo x)
e em altura (eixo z), ou seja, em passos de ∆x e ∆z, respectivamente, como foi
apresentado na Figura 2.5.
O método de SSPE opera entre o domínio z e o domino p de maneira consecutiva,
como indicam as equações (2.38) e (2.41). Para aplicar a solução numérica os
domínios são truncados em zmax e pmax. Para evitar efeitos de aliasing é usado o
critério de Nyquist, zmax × pmax = piN . O valor do incremento ou passo ∆z deve
satisfazer que ∆z ≤ λ/(2 sen θmax), onde θmax é o maior ângulo de propagação
considerado. O incremento ∆x é coerentemente escolhido dependendo da extensão
do ambiente, e pode ser muito maior que o comprimento de onda [12].
2. Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 19
Figura 2.9: Janela de Hanning.
3) Aplicação da janela de Hanning:
Os problemas estudados estão truncados em uma altura limite zmax. Isto vai gerar
fortes reflexões que vão influenciar negativamente na precisão dos resultados. As
reflexões não físicas são removidas mediante o uso de uma camada absorvente [3].
Neste trabalho implementa-se uma janela de Hanning, equacionada da seguinte
forma:
J(z) =
1 + cos
(
piz
H
)
2
, (2.45)
onde H é a largura total da camada absorvente. Matematicamente esta janela
garante que J(0) = 1 e J(H) = 0, ou seja, permite uma atenuação suave. A Figura
2.9 mostra o comportamento da janela de Hanning em função da altura. Note-se
que até a metade do domínio vertical (denominado domínio vertical de interesse, a
partir da explicação dada na Subseção 2.2.1) é conservado um valor constante de 1
(um) e, que como tal, a camada absorvente é implementada na segunda metade.
A comparação entre uso e não uso de uma camada absorvente dentro do algoritmo
de SSPE é apresentada na Figura 2.10. Reflexões artificiais geradas pelo não uso da
Janela de Hanning podem ser vistas na Figura 2.10a. Nesta figura, evidenciam-se os
efeitos indesejados que causam as reflexões não físicas dentro da solução numérica. A
Figura 2.10b mostra a atenuação do campo na segunda metade do domínio vertical,
devido ao uso adequado da camada absorvente.
2. Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 20
(a) SSPE sem aplicar camada absorvente.
(b) SSPE aplicando camada absorvente.
Figura 2.10: Comparação entre uso e não uso de camada absorvente.
2. Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 21
Figura 2.11: Perfis de refratividade.
4) Implementação de efeitos atmosféricos:
Três perfis de refratividade dependentes da altitude são modelados, segundo a ex-
plicação dada na Subseção 2.2.2. O primeiro modela a atmosfera padrão, o segundo
um duto de superfície, e o terceiro representa um duto de superfície elevado. Estes
são exibidos na Figura 2.11.
Os perfis de refratividade são incluídos dentro do algoritmo implementado com o
propósito de verificar a estabilidade da solução numérica de SSPE quando conside-
radas as variações atmosféricas.
Dessa forma, obtém-se os perfis de campo apresentados na Figura 2.12. Em geral,
é possível observar nela a notável influência dos efeitos da refratividade no cálculo
de cobertura radioelétrica.
É evidente que a radiopropagação é afetada pelas variações atmosféricas, principal-
mente por curvar as trajetórias das ondas eletromagnéticas. A Figura 2.12c é um
explicito exemplo para visualizar a propagação anômala que é gerada pela presença
de um duto troposférico.
2. Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 22
(a) Atmosfera padrão.
(b) Duto de superfície.
(c) Duto de superfície elevado.
Figura 2.12: Perfis de campo usando diferentes refratividades.
2. Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 23
5) Modelado de Terrenos irregulares:
A solução fornecida pelo método de SSPE resolve problemas de radiopropagação
em terrenos planos e não planos. Os terrenos não planos devem ser modelados para
serem processados convenientemente pelo algoritmo.
Uma alternativa eficaz para a modelagem de perfis irregulares é o escalonamento do
terreno. A Figura 2.13 mostra um perfil Gaussiano computacionalmente escalonado.
Para isto, a implementação realizada testa de forma iterativa a altura do terreno
em cada passo ∆x, para que este seja posteriormente escalonado em concordância
com os tamanhos de discretização do problema.
Antes de explicar detalhes da aplicação de SSPE, é importante estabelecer que
basicamente os terrenos são escalonados para que a medida que o algoritmo avança,
consiga ir modificando o tamanho dos vetores que representam os perfis verticais de
campo. Dessa forma, logra-se a coerência matemática dos cálculos feitos.
6) Aplicação da solução numérica de SSPE:
Depois que efeitos atmosféricos e fatores de terrenos são processados para serem
interpretados dentro do algoritmo, o método de SSPE é aplicado ao longo do eixo
x, partindo desde uma posição x0, avançando em passos de ∆x, até alcançar uma
posição final xmax. Isto é feito usando as equações (2.37) e (2.38) de forma iterativa,
de acordo com a explicação dada no inicio desta subseção. Computacionalmente o
algoritmo SSPE é implementado para que as duas formas (NAPE e WAPE) rodem
simultaneamente.
A Figura 2.14 exibe os principais aspectos considerados pela solução numérica de
SSPE na resolução de problemas de propagação de ondas eletromagnéticas. Adicio-
nalmente, o fluxograma da Figura 2.15 descreve a ordem de execução do algoritmo
de SSPE.
A Tabela 2.1 exibe os parâmetros de entrada usados para rodar o algoritmo de
SSPE, o qual foi implementado computacionalmente em MATLAB R2016a.
2. Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 24
(a) Perfil gaussiano escalonado.
(b) Perfil ascendente.
(c) Perfil descendente.
Figura 2.13: Terreno escalonado para aplicar SSPE.
2. Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 25
Figura 2.14: Aplicação do método de SSPE.
Tabela 2.1: Parâmetros de entrada usados para aplicar o algoritmo de SSPE
Parâmetros de entrada para aplicar o algoritmo de SSPE
Frequência (f)
Alcance máximo (Xmax)
Altura máxima (Zmax).
Tamanho do passo no eixo x (∆x).
Tamanho do passo no eixo z (∆z).
Altura do transmissor (Txh)
Distância de referência para calcular o perfil inicial de campo (d0)
Ângulo máximo de propagação (αmax)
Permissividade relativa da superfície do terreno.
Condutividade da superfície do terreno
Conjunto de coordenadas (tx,tz) que constroem o perfil de terreno
2. Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 26
Figura 2.15: Fluxograma de aplicação do algoritmo de SSPE [3].
2. Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 27
Figura 2.16: Perfil vertical com valores de campo se propagando ao longo de um terreno
escalonado.
Quando aplicada a solução numérica de SSPE em terrenos irregulares (previamente
escalonados), podem-se apresentar três situações segundo o exibido na Figura 2.16.
Ressalta-se que um perfil vertical com valores de campo vai se propagando ao longo
do terreno. A seguir, explica-se cada uma das três situações:
• Segmento de terreno escalonado com altitude constante
O perfil A da figura trata-se de um perfil vertical com valores de campo em
uma posição inicial (x0). É importante lembrar que matematicamente o cálculo
da FFT e IFFT (equações (2.41) e (2.42)) dependem do tamanho (número de
elementos) dos vetores. Um vetor refere-se a um conjunto vertical de valores
de campo. Enquanto o algoritmo de SSPE encontra-se propagando sobre um
segmento com altitude constante o tamanho dos respectivos vetores resultantes
conserva-se.
• Degrau ascendente
É importante estabelecer com clareza que o cálculo de campo é resolvido sobre
e acima da superfície dos terrenos (não no interior deles). Em concordância
com essa noção tem-se a situação onde o algoritmo encontra-se com um degrau
ascendente do terreno escalonado. A primeira ideia clara é que o tamanho do
vetor inicial vai mudar. No gráfico é observado que antes do degrau tem-se um
vetor do mesmo tamanho que o vetor Perfil A, quando esse vetor avança (ou
2. Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 28
seja, no seguinte passo) também consegue interceptar o terreno. Nesse caso as
posições do vetor que ficam dentro do terreno são preenchidas com zeros, como
aprecia-se no Perfil B. Dessa forma consegue "subir"o degrau e ficar de novo
em um segmento com altitude constante (até encontrar um próximo degrau).
Some-se a isto, que já sobre o degrau o perfil vertical com valores de campo é
do tamanho do número de posições que estão acima do terreno; isto significa
que as posições que ficam abaixo da superfície, e que foram zeradas, não são
consideradas nos cálculos. Por isso, é que sobre o degrau propaga-se um perfil
vertical de campo (denominado Perfil C ) de menor tamanho que o vetor inicial
de perfil de campo.
• Degrau descendente
De acordo com a figura 2.16, observa-se um vetor (denominado Perfil C ) que
vai se propagando até encontrar um degrau descendente. É evidente que nesse
instante o vetor tem que mudar o seu tamanho, adicionalmente o algoritmo
também deve interpretar que vai "descer"a um segmento de menor altitude.
Para isto obtém-se um Perfil D. Nele aprecia-se como novas posições são acres-
centadas (e preenchidas com zero) na parte inferior do vetor, de modo que seja
um conjunto vertical de valores de campo de tamanho coerente com a altura
do terreno nessa posição. Finalmente o algoritmo SSPE fica de novo em um
segmento com altitude constante, além de propagar um vetor vertical de campo
denominado Perfil E.
7) Obtenção de valores de campos e atenuação:
O processo iterativo do método de SSPE fornece uma solução completa em todos
os pontos dos ambientes estudados. Como resultado obtêm-se os valores da função
auxiliar de campo u(x, z).
Os casos analisados neste trabalho usam polarização vertical, ou seja, o valor da
componente Ez do campo elétrico deve ser calculado. Com base na equação (2.19), é
possível encontrar o valor de Hy para cada um dos pontos, onde já são conhecidos os
resultados de u(x, z). O valor de Ez é calculado através da relação: |Hy| = |Ez| /η,
onde η = 120pi Ω, e corresponde ao valor da impedância intrínseca no vácuo.
A atenuação correspondente é calculada através da relação entre a potência trans-
mitida PT e a potência recebida PR. Logo:
AdB = 10 log
(
PT
PR
)
+GTdB +GRdB , (2.46)
2. Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 29
onde GTdB é o ganho da antena transmissora e GRdB é o ganho da antena receptora,
ambos em dB. Como este trabalho assume polarização vertical, a potência recebida
é calculada usando o valor de |Ez| do campo elétrico:
PR =
|Ez|2
2η
GRlinearλ
2
4pi
, (2.47)
onde GRlinear é o ganho da antena receptora.
2.3.3 Implementação da condição do contorno de impedância
Um avanço importante na técnica de SSPE é a introdução da MFT (Mixed Fourier
Transform), pois permite resolver problemas de propagação de ondas que incluem
condições de contorno na superfície [13].
2.3.3.1 Discrete Mixed Fourier Transform (DMFT)
A DMFT é a abordagem discreta do método da MFT, e aplica-se na função auxiliar
de campo u(x,m∆z), a qual está verticalmente discretizada para m = 0, 1, 2, ..., N .
A discretização correspondente e representação no domínio p é dada por [22]:
U(x, 0) = A
N∑
m=0
rmu(x,m∆z), (2.48)
U(x, l∆p) = A
N∑
m=0
u(x,m∆z)
α2 sen(pilmN
)
−
sen
(
pil
N
)
∆z
cos
(
pilm
N
) (2.49)
U(x,N∆p) = A
N∑
m=0
(−r)N−mu(x,m∆z), (2.50)
para l = 1, 2, ..., N − 1, onde A = 2(1− r2)/[(1 + r2)(1− r2N)]. O tamanho de ∆p
deve satisfazer ∆p∆z = pi/N . Para polarização vertical, r =
√
1 + (α2∆z)2 − α2∆z.
Nos somatórios das equações (2.48) e (2.50) usa-se um fator ponderado de 0,5 para o
primeiro e o último termo (m = 0, m = N) [13].
Como também trata-se de um processo iterativo, que é ajustado à solução numé-
rica de SSPE, a DMFT no próximo passo, ou seja em x+ ∆x, é obtida como segue:
2. Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 30
U(x+ ∆x, 0) = exp
[
j∆x
2k0
(
log r
∆z
)2]
U(x, 0), (2.51)
U(x+ ∆x, l∆p) = exp
[
j∆x(
√
k20 − (l∆p)2 − k0)
]
U(x, l∆p), (2.52)
U(x+ ∆x,N∆p) = exp
[
j∆x
2k0
(
log(−r)
∆z
)2]
U(x,N∆p). (2.53)
Para encontrar u(x+ ∆x,m∆z), aplica-se a inversa DMFT [6]:
u(x+ ∆x,m∆z) =
2
N
N∑
i=0
U(x+ ∆x, l∆p)
α2 sen
(
piim
N
)
−
sen
(
pii
N
)
∆z
cos
(
piim
N
)
α2 2 +
 sen
(
pii
N
)
∆z

2
+ U(x+ ∆x, 0)rm + U(x+ ∆x,N∆p)(−r)N−m.
(2.54)
Portanto, quando analisados problemas de propagação com condições de contorno
na superfície um algoritmo DMFT-SSPE é utilizado. A DMFT é implementada dentro
da abordagem do algoritmo de SSPE do modo seguinte:
• O perfil vertical de campo inicial é calculado em uma posição x0, ou seja,
u(x0,m∆z) é conhecido.
• Os terrenos são escalonados, caso sejam irregulares.
• A DMFT é aplicada usando as equações (2.48) - (2.50) e o valor de α2. Dessa
forma, U(x) é obtido.
• No próximo passo, ou seja em x + ∆x, U(x + ∆x) é obtido desde U(x) usando
as equações (2.51) - (2.53).
• Finalmente, em x + ∆x a inversa DMFT é aplicada usando a equação (2.54).
Dessa forma, obtém-se u(x+ ∆x).
2. Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 31
2.4 Estudo de casos com terra plana
Terra plana e efeitos atmosféricos
Neste primeiro caso de estudo, demonstra-se a aplicabilidade da solução numérica for-
necida pelo método de SSPE para análise de radiopropagação em ambientes que con-
sideram variações atmosféricas. A Figura 2.17 mostra a situação analisada. Trata-se
de um terreno plano, caracterizado como condutor elétrico perfeito. A presença da
atmosfera padrão é considerada e o índice de refração é modelado como segue:
n(z) = N(z)× 10−6 + 1, (2.55)
onde,
N(z) = −40z + 304. (2.56)
A equação (2.56) modela a refratividade, dependendo da altura z, e é utilizada em
casos práticos para pontos situados nos primeiros quilômetros de altitude. O propósito
deste caso é visualizar o efeito da atmosfera no sinal recebido ao longo do caminho de
propagação.
O caso é estudado para polarização vertical e as simulações são feitas para uma
frequência do sinal de 200 MHz. Um dipolo infinitesimal com altura de 25 metros é
usado como transmissor, e um receptor com altura fixa hr = 50 metros é deslocado ao
longo do eixo x, desde 50 até 500 metros. Assim, a atenuação do sinal é estimada nos
pontos de recepção.
Como referência, pretende-se comparar os presentes resultados com aqueles ob-
tidos em [4] com formulação FDTD de alta ordem. Na simulação do algoritmo de
SSPE, usou-se ∆x = 10 m e ∆z = 0, 866 m, de acordo com os critérios de discretiza-
Figura 2.17: Modelo de Terra plana para cálculo de campo considerando variação
atmosférica [4].
2. Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 32
Figura 2.18: Atenuação em atmosfera padrão sobre Terra plana para f=200MHz.
ção. O algoritmo gerou resultados simultâneos para as duas soluções: NAPE e WAPE.
Os valores de referência foram extraídos de [4] utilizando a ferramenta computacional
WebPlotDigitizer disponível na internet.
A Figura 2.18 mostra os resultados obtidos. Nela observa-se coerência de WAPE
e NAPE com a referência. Além disso, os resultados obtidos com NAPE e WAPE
são avaliados estatisticamente calculando o erro médio absoluto e o desvio padrão com
relação ao resultado fornecido pela referência usada, ou seja, a formulação FDTD (ver
Tabela 2.2). É válido ressaltar que um melhor resultado observa-se nas estatística
do erro da forma WAPE. Isto ocorre porque o estudo de caso analisa resultados de
cobertura radioelétrica em curto alcance.
Tabela 2.2: Estatística do erro para o caso de terra plana com variação atmosférica.
Modelo
Erro Médio Absoluto
(dB)
Desvio Padrão
(dB)
NAPE WAPE NAPE WAPE
FDTD 5,92 5,68 5,01 4,50
Terra plana com perdas no solo
A situação estudada neste segundo caso é mostrada na Figura 2.19. Trata-se de um
terreno plano com perdas, cujas propriedades elétricas são r = 15 e σ = 0, 012 S/m.
2. Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 33
Figura 2.19: Modelo Terra plana [4].
O propósito é demonstrar a aplicabilidade do algoritmo DMFT-SSPE para analisar
problemas de propagação em cenários com perdas no solo.
As simulações consideram polarização vertical e atmosfera homogênea. O perfil
vertical de campo inicial é calculado através da equação (2.41), sendo o transmissor um
dipolo elétrico vertical localizado no inicio do terreno com altura de 80 m e irradiando
em 100 MHz. Um receptor com altura fixa hr = 10 m é deslocado ao longo do eixo x,
desde 100 até 5000 metros.
A atenuação estimada ao longo do terreno é mostrada na Figura 2.20. Os re-
sultados de NAPE e WAPE são comparados com uma solução analítica gerada pelo
Modelo Terra Plana [23] e com outras soluções numéricas: EFIE (Electric Field Integral
Equation) e MFIE (Magnetic Field Integral Equation), cujos resultados foram obtidos
em [24]. De acordo com os critérios de discretização do método de SSPE, os cálculos
usaram ∆x = 10 m e ∆z = 1, 7321 m.
Figura 2.20: Atenuação sobre Terra plana com perdas para polarização vertical em 100
MHz.
2. Modelo de equação parabólica (Modelo PE) 34
A estatística do erro é calculada usando como referência os resultados obtidos
através da solução numérica de Modelo de Terra Plana. A Tabela 2.3 apresenta a
estatística do erro das diversas técnicas em relação à referência.
Tabela 2.3: Estatística do erro para o caso de terra plana com perdas no solo.
Erro Médio Absoluto
(dB)
Desvio padrão
(dB)
MFIE 0,33 0,89
EFIE 2,17 1,21
NAPE 0,89 1,26
WAPE 0,87 1,31
2.5 Conclusões parciais
No início deste capítulo a equação parabólica no domínio da frequência foi deduzida a
partir das equações de Maxwell; assim, o modelo PE foi apresentado com o objetivo
de abordar e resolver problemas de radiopropagação.
O foco de maior importância foi expor o algoritmo de SSPE como a solução
numérica do modelo PE. O método de SSPE estabeleceu duas formas, NAPE e WAPE.
As duas soluções foram testadas e avaliadas em dois casos canônicos. Resultados de
NAPE e WAPE obtêm-se simultaneamente, e sempre são mostrados e confrontados
nos diferentes testes, canônicos ou práticos, realizados ao longo do presente trabalho.
Ressalta-se que efeitos tais como, variações atmosféricas, terrenos irregulares e
caracterização eletromagnética das superfícies são considerados dentro da abordagem
de solução numérica do SSPE. No decorrer deste capítulo descreveu-se a modelagem
computacional das condições realísticas dos ambientes, isto deve ser feito para serem
incluídas e interpretadas pelo algoritmo DMFT-SSPE.
Capítulo 3
Simulação e Resultados
O presente capítulo apresenta os resultados obtidos a partir da implementação com-
putacional do método de SSPE, segundo a formulação e os detalhes descritos no ca-
pítulo anterior. O algoritmo de DMFT-SSPE é usado para predizer atenuação em
um problema canônico de cunha com perdas e em dois perfis de terrenos reais. Os
correspondentes parâmetros de simulação são especificados em cada caso de estudo.
Gráficos com resultados de atenuação ao longo do caminho de propagação são
exibidos. Inicialmente, estes permitem uma comparação visual dos resultados das
diversas técnicas em relação com as medições. Finalmente, os resultados obtidos são
avaliados via estatística do erro. Some-se a isto que uma comparação de tempo de
processamento das diferente soluções é feita em cada situação analisada.
3.1 Relevo cunha
A Figura 3.1a mostra a situação analisada neste caso canônico. O principal propósito é
demonstrar a aplicabilidade do escalonamento de terrenos em problemas de propagação
que incluem perfis de terrenos irregulares. A cunha escalonada pode-se apreciar na
Figura 3.1b. Além disso, também deseja-se verificar a aplicabilidade do algoritmo
DMFT-SSPE.
O ambiente estudado tem uma extensão de 1 km. A cunha encontra-se centrada
em 400 m e sua altura máxima é de 100 m; a caracterização eletromagnética da superfí-
cie do terreno usou os seguintes parâmetros de terra padrão: r = 15 e σ = 0, 012 S/m.
As simulações utilizaram um dipolo elétrico vertical com 80 metros de altura e
irradiando em 400 MHz. Pontos de recepção com 3 metros de altura sobre a superfície
foram definidos ao longo do terreno. O problema foi discretização com passos de
∆x = 10 m e ∆z = 0, 3808 m, e verticalmente limitado em zmax = 500 m. A atenuação
35
3. Simulação e Resultados 36
(a) Cenário de cunha com perdas.
(b) Cunha escalonada.
Figura 3.1: Cenário e escalonamento de cunha com perdas.
é calculada em cada ponto de recepção, dessa forma obtém-se resultados via NAPE e
WAPE.
Um caso similar com cunha foi analisado em [4], com a discrepância que a região
compreendida entre 610 e 900 metros é simulada como água salgada, ou seja, que
o ambiente em geral trata-se de um cenário misto. O algoritmo de DMFT-SSPE
apresentou instabilidade numérica quando foi aplicado nesse cenário. Além do mais, os
resultados de FDTD do caso tratado por Cláudio Garcia [4] foram usados para avaliar
3. Simulação e Resultados 37
Figura 3.2: Atenuação em cunha com perdas.
a atenuação obtida com WAPE e NAPE na cunha da Figura 3.1a. As correspondentes
curvas de atenuação são visualizadas na Figura 3.2. Um estudo comparativo é feito
para avaliar os resultados de NAPE e WAPE com aqueles obtidos através da técnica
de MoM em [25] e com formulação FDTD de alta ordem em [4].
A Tabela 3.1 mostra a estatística do erro aplicado aos resultados, usando como
referencia a técnica de MoM [26]. Também é exibida uma comparação de tempo total
de simulação. Com base nas comparações, é válido ressaltar a eficiência em tempo
que garante o algoritmo de DMFT-SSPE em relação com a oferecida pela técnica de
FDTD. Embora os resultados não sejam comparados em situações totalmente idênticas,
o presente estudo de caso permite concluir que o algoritmo de SSPE, como solução
numérica do modelo PE, é uma alternativa que garante uma convergência razoável
de resultados, sendo mais rápida em tempo de processamento computacional quando
comparado com outras técnicas como FDTD ou MoM.
Tabela 3.1: Estatística do erro para o caso de cunha com perdas.
Erro Médio Absoluto
(dB)
Desvio padrão
(dB) Tempo
FDTD 4,70 3,81 723 minutos
NAPE 7,62 4,95 20,18 segundos
WAPE 10,14 7,32 20,18 segundos
3. Simulação e Resultados 38
3.2 Cenários realísticos
Este caso prático está baseado na campanha de medição realizada em Northem Jutland
perto de Aalborg, Dinamarca, onde medições foram realizadas por Hviid et al. em [27].
Dois ambientes denominados Jerslev e Mjels são analisados, apresentam perfis irregu-
lares com regiões rurais, árvores e algumas construções, e possuem aproximadamente
5,5 km de extensão. Os perfis dos terrenos foram obtidos através de mapas digitais
com resolução de 50 m [4], na figura 3.3 são exibidos.
A campanha de medição usou como transmissor um dipolo de meia-onda com
altura 10,4 m, com polarização vertical e irradiando 10 W. Utilizou-se uma frequência
do sinal de 144 MHz. Ao longo dos terrenos uma estação receptora com 2,4 m de altura
registrou a intensidade de campo elétrico.
(a) Perfil de Jerslev.
(b) Perfil de Mjels.
Figura 3.3: Perfis de terreno do caso prático da Dinamarca.
3. Simulação e Resultados 39
Os parâmetros de simulação utilizados foram iguais para ambos os perfis; e o
principal objetivo em cada situação é avaliar os resultados de WAPE e NAPE através
de um estudo comparativo com outras soluções numéricas, e em relação com as medidas.
Para obter os resultados do método de SSPE utilizou-se os seguintes parâmetros
de simulação: ambos os perfis usaram as propriedades elétricas para solo padrão r = 15
e σ = 0, 012 S/m na caracterização do solo [20]. De acordo com os critérios de
discretização, valores de ∆x = 50 m e ∆z = 1 m foram usados. Para limitar o domínio
vertical definiu-se uma zmax = 200 m.
Como o algoritmo DMFT-SSPE é aplicado em perfis irregulares, e com base nos
aspectos mais relevantes para a abordagem numérica de SSPE, nas Figuras 3.4 e 3.5
apresentam-se os perfis escalonados e a variação do tamanho do vetor vertical de campo
ao longo do terreno.
(a) Perfil de Jerslev escalonado.
(b) Variação do tamanho do vetor vertical de campo ao longo do perfil de
Jerslev.
Figura 3.4: Escalonamento e variação do tamanho do vetor vertical de campo no perfil
de Jerslev.
3. Simulação e Resultados 40
(a) Perfil de Mjels escalonado.
(b) Variação do tamanho do vetor vertical de campo ao longo do perfil de
Mjels.
Figura 3.5: Escalonamento e variação do tamanho do vetor vertical de campo no perfil
de Mjels.
Lembra-se que o principal propósito de escalonar os terrenos é ir mudando o
tamanho dos vetores verticais de campo, para que quando aplicadas a FFT e a IFFT
ao longo do caminho de propagação, exista um correto uso das transformadas nos
cálculos feitos. Considerando o ponto mais baixo de cada perfil, o tamanho máximo
do vetor vertical de campo para o perfil de Jerslev é de 185, e para o perfil de Mjels de
170.
As Figuras 3.6 e 3.7 exibem a atenuação medida, a estimação obtida pelo MoM
e a técnica de FDTD, e os resultados obtidos via NAPE e WAPE ao longo de cada
perfil de terreno. Os valores para MoM e FDTD foram extraídos de [4] utilizando
a ferramenta computacional WebPlotDigitizer disponível na internet. Visualmente é
possível afirmar que as curvas das diferentes soluções numéricas apresentam um com-
3. Simulação e Resultados 41
(a) Atenuação obtida com formulação NAPE.
(b) Atenuação obtida com formulação WAPE.
Figura 3.6: Atenuação ao longo do perfil de Jerslev.
portamento semelhante entre si. Adicionalmente, é notável a coerente precisão com as
medidas para ambos os casos.
Os resultados para NAPE e WAPE são quase idênticos, devido a que os pontos
de recepção estão muito próximos da superfície do terreno, além disso, o estudo é feito
para um ambiente de longo alcance, condições idôneas para que a faixa angular de
3. Simulação e Resultados 42
(a) Atenuação obtida com formulação NAPE.
(b) Atenuação obtida com formulação WAPE.
Figura 3.7: Atenuação ao longo do perfil de Mjels.
propagação conserve valores pequenos. Dentro desta linha, é conveniente lembrar que
a formulação WAPE é exclusiva para melhorar a precisão do algoritmo de SSPE em
situações críticas, onde a faixa angular seja maior a 15◦. Os resultados de WAPE e
NAPE são apresentados em gráficos separados para que sejam visualizados com clareza.
3. Simulação e Resultados 43
Tabela 3.2: Estatística do erro para o caso de Jerslev.
Erro Médio Absoluto
(dB)
Desvio padrão
(dB) Tempo
MoM 2,95 1,98 6,9 horas
FDTD 3,96 2,79 50,3 horas
NAPE 4,21 2,31 31,72 segundos
WAPE 4,29 2,35 31,72 segundos
Tabela 3.3: Estatística do erro para o caso de Mjels.
Erro Médio Absoluto
(dB)
Desvio padrão
(dB) Tempo
MoM 2,48 1,69 6,4 horas
FDTD 2,32 1,96 48,1 horas
NAPE 3,85 2,46 28,64 segundos
WAPE 3,89 2,41 28,64 segundos
As Tabelas 3.2 e 3.3 mostram as estatísticas do erro, respectivamente, para cada
caso. Em ambos os perfis as medições foram a referência usada para o cálculo do erro
médio absoluto e o desvio padrão. Analisando as tabelas é possível corroborar o que
visualmente foi apreciado, as técnicas numéricas apresentam resultados semelhantes
entre si, e os resultados de WAPE e NAPE fornecem uma solução quase similar em
ambas as situações. Adicionalmente à comparação baseada na estatística, as tabelas
exibem para cada caso uma comparação de eficiência computacional, expondo o tempo
de processamento para obter resultados com cada uma das técnicas. A aplicação do al-
goritmo de SSPE nestes cenários realísticos, permite concluir novamente que a solução
numérica do modelo PE apresenta-se como uma alternativa que garante uma conver-
gência razoável de resultados, além de apresentar notável eficiência computacional em
relação a outras abordagens numéricas.
O propósito da Figura 3.8 é visualizar algumas diferenças entre os perfis de campo
elétrico obtidos tanto com formulação WAPE quanto com NAPE para o ambiente de
Mjels, quando comparados em todo o cenário. A maior vantagem dos gráficos exibidos
é que mostram a solução para o campo em todos os pontos do ambiente. De acordo
com o apresentado na Figura 3.8a e Figura 3.8b, pode-se apreciar certas diferenças
nos resultados de NAPE e WAPE, identificando discrepâncias a partir de determinada
altura. Ressalta-se que o cálculo de campo em alturas consideráveis sugere situações de
ângulos de propagação ou de elevação maiores a 15◦. A análise desta situação poderia
ser ainda mais crítica se o problema é truncado em uma posição de curto alcance em
relação ao transmissor.
3. Simulação e Resultados 44
(a) Perfil de campo elétrico obtido com formulação NAPE.
(b) Perfil de campo elétrico obtido com formulação WAPE.
Figura 3.8: Perfil de campo elétrico no cenário de Mjels.
3. Simulação e Resultados 45
3.3 Conclusões parciais
Este capítulo foi focado à simulação e análise de resultados obtidos com o método de
DMFT-SSPE, tanto em um caso canônico quanto em dois perfis de cenários realísticos.
Ao longo do capítulo os parâmetros de simulação foram especificados, além disso, breves
comentários e discussões dos resultados são apresentados. Analisando cada um dos
casos e com o respaldo dos estudos comparativos foi possível estabelecer que o algoritmo
SSPE é uma alternativa viável e computacionalmente eficiente para abordar análise de
problemas de radiopropagação em testes canônicos e em casos práticos. A verificação
dos resultados de NAPE e WAPE foi realizada em relação a medidas e outras soluções
numéricas.
Capítulo 4
Conclusões
4.1 Considerações finais
Este trabalho realizou a implementação computacional do algoritmo de SSPE como
solução numérica do modelo de equação parabólica. Adicionalmente, a pesquisa propôs
uma análise comparativa dos resultados obtidos com SSPE em relação a outras técnicas
numéricas, e a campanhas de medição nos casos práticos. O algoritmo implementado
aborda o problema de propagação eletromagnética no domínio da frequência.
Na dedução feita do modelo PE, foi possível obter duas formas denominadas
NAPE e WAPE. As respectivas citações bibliográficas propõem à forma WAPE como
um perfeicionamento da forma NAPE. Isto permitiu abordar com precisão estudos
de propagação em situações onde faixa angulares de propagação ou elevação eram
analisadas. Além do anterior, as soluções NAPE e WAPE rodam simultaneamente
dentro do algoritmo SSPE implementado.
É válido ressaltar que o Capítulo 2 do trabalho apresentou uma metodologia
para resolver problemas de radiopropagação através de SSPE, descrevendo detalhes
teóricos e de implementação computacional. Portanto, foram estabelecidas abordagens
e modelagens para resolver problemas canônicos e práticos usando métodos PE.
Um dos principais objetivos foi a inclusão das características reais dos ambientes
de propagação dentro do modelo de canal. O algoritmo de SSPE demonstrou uma
formulação estável para incluir os efeitos de variações atmosféricas, perfis de terrenos
irregulares e propriedades elétricas das superfícies na caracterização do canal rádio.
Quando os problemas estudados incluem perdas de propagação na superfície dos ter-
renos, o algoritmo tornou-se da forma DMFT-SSPE; a abordagem via método DMFT
permitiu carregar a caracterização elétrica dos ambientes dentro da estrutura de solução
numérica oferecida pelo método de SSPE.
46
4. Conclusões 47
Os estudos comparativos basearam-se em estatística do erro, calculando-se para
cada caso de estudo. As principais referências utilizadas para fazer as comparações
foram soluções analíticas, abordagens numéricas, como MoM e FDTD, e medições nos
ambientes reais. O algoritmo de SSPE foi aplicado em casos de estudo que anterior-
mente tinham sido analisados principalmente com formulação de FDTD de alta ordem.
Outro propósito de análise foi o tempo de processamento das simulações, dentro dessa
linha, a solução numérica implementada nesta pesquisa apresentou notável eficiência
computacional.
Na maioria dos casos analisados não conseguem-se diferenças entra as soluções
de NAPE e WAPE, isso acontece porque as condições das simulações feitas não apre-
sentam situações críticas que permitam mostrar um melhor rendimento de WAPE em
relação a NAPE. Com base no anterior umas das principais sugestões que o autor deste
trabalho propõe é inicialmente aplicar FDTD de alta ordem em cenários que garantem
maior faixa angular, com o objetivo de comparar o comportamento e a precisão de
resultados obtidos via NAPE e WAPE nessas condições. Além do mais, nesta pesquisa
a aplicabilidade de NAPE e WAPE foi verificada em casos canônicos e práticos.
Resumindo, o algoritmo de SSPE e/ou DMFT-SSPE como solução numérica do
modelo PE apresenta-se como uma alternativa que garante uma convergência razoável
de resultados, mostrando notável eficiência computacional em relação a outras abor-
dagens numéricas.
Baseado em resultados preliminares do presente trabalho consegue-se a apresenta-
ção do paper titulado: A Comparative Study Between SSPE Methods and a HO-FDTD
Algorithm for EM Propagation over Lossy Terrains, na 12th European Conference on
Antennas and Propagation (EuCAP 2018).
4.2 Propostas de continuidade
As propostas sugeridas para o presente trabalho são:
• Simular cenários e condições que permitam diferenciar o comportamento, e a
precisão dos resultados NAPE e WAPE.
• Resolver os problemas de instabilidade numérica dentro do método de DMFT,
para ampliar a aplicação do algoritmo implementado a cenários mistos.
• Incluir os efeitos de retroespalhamento na formulação do método de SSPE.
• Comparar os resultados obtidos neste trabalho com soluções do modelo PE em
domínio temporal.
4. Conclusões 48
• Desenvolver um propagador 3D baseado em soluções numéricas para o modelo
de Equação Parabólica, que possa-se aplicar em ambientes reais tanto outdoor
quanto indoor.
Referências Bibliográficas
[1] S. Sekmen, Modeling Of Split Step Parabolic Wave Equation Using The Graphics
Processing Unit. Middle East Technical University, 2014.
[2] D. D. Wang, X. L. Xi, Y. R. Pu, J. F. Liu, and L. L. Zhou, “Parabolic equa-
tion method for loran-c asf prediction over irregular terrain,” IEEE Antennas and
Wireless Propagation Letters, vol. 15, pp. 734–737, 2016.
[3] L. Sevgi, C. Uluisik, and F. Akleman, “A matlab-based two-dimensional para-
bolic equation radiowave propagation package,” IEEE Antennas and Propagation
Magazine, vol. 47, no. 4, pp. 164–175, Aug 2005.
[4] C. Garcia Batista, Propagador baseado em janela deslizante com formulacão
FDTD incondicionalmente estável de alta ordem. Tese de Doutorado, PP-
GEE/UFMG.
[5] A. E. Barrios, “A terrain parabolic equation model for propagation in the tro-
posphere,” IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 42, no. 1, pp.
90–98, Jan 1994.
[6] G. Apaydin and L. Sevgi, Radio wave propagation and parabolic equation modeling.
Wiley, 2017.
[7] M. Leontovich and V. Fock, “Solution of propagation of electromagnetic waves
along the earth’s surface by the method of parabolic equations,” J. Phys. USSR
10, 1946.
[8] M. Levy, Parabolic equation methods for electromagnetic wave propagation. The
institution of Electrical Engineers, 2000.
[9] V. Gadwal and A. Barrios, “Channel modeling using the parabolic equation for
rf communications,” in MILCOM 2009 - 2009 IEEE Military Communications
Conference, Oct 2009, pp. 1–6.
49
Referências Bibliográficas 50
[10] S. McDaniel, “Propagation of a normal mode in the parabolic approximation,” J.
Acoust. Soc. Am., vol. 57, no. 2, pp. 307–311, 1975.
[11] F. D. Tappert, “the parabolic approximation method,” Wave propagation and un-
derwater acoustics, New York: Springer-Verlag, vol. 70, pp. 224–287, 1977.
[12] O. Ozgun, G. Apaydin, M. Kuzuoglu, and L. Sevgi, “Petool: Matlab-based
one-way and two-way split-step parabolic equation tool for radiowave propagation
over variable terrain,” Computer Physics Communications, vol. 182, no. 12, pp.
2638 – 2654, 2011. [Online]. Available: http://www.sciencedirect.com/science/
article/pii/S0010465511002669
[13] D. Dockery and J. R. Kuttler, “An improved impedance-boundary algorithm for
fourier split-step solutions of the parabolic wave equation,” IEEE Transactions on
Antennas and Propagation, vol. 44, no. 12, pp. 1592–1599, Dec 1996.
[14] J. R. Kuttler and G. D. Dockery, “Theoretical description of the parabolic appro-
ximation/fourier split-step method of representing electromagnetic propagation in
the troposphere,” Radio Science, vol. 26, no. 02, pp. 381–393, March 1991.
[15] P. Zhang, L. Bai, Z. Wu, and F. Li, “Effect of window function on absorbing
layers top boundary in parabolic equation,” in Proceedings of 2014 3rd Asia-Pacific
Conference on Antennas and Propagation, July 2014, pp. 849–852.
[16] G. C. B. e Fernando Walter, “Simulando a propagação de sinais gps em dutos
troposférico através do método de traçado de raios,” 2005.
[17] ITU-R P-453 The radio refractive index: its formula and refractivity data, Inter-
national Communication Union Recommendation , 2017.
[18] A. Picquenard, Radio wave propagation. Philips Technical Library, 1973.
[19] L. B. M.P. Hall and M. Hewitt, Propagation of Radiowaves. The institution of
Electrical Engineers, 1996.
[20] C. Balanis, Advanced engineering electromagnetics, 2nd ed. Wiley, 2012.
[21] R. W. P. King and S. S. Sandler, “The electromagnetic field of a vertical electric
dipole over the earth or sea,” IEEE Transactions on Antennas and Propagation,
vol. 42, no. 3, pp. 382–389, Mar 1994.
[22] J. R. Kuttler and R. Janaswamy, “Improved fourier transform methods for solving
the parabolic wave equation,” Radio Science, vol. 37, no. 2, pp. 1–11, April 2002.
Referências Bibliográficas 51
[23] J. D. Parsons, The Mobile radio Propagation Channel. John Wiley and Sons,
1998.
[24] C. Garcia Batista, Prediccão de cobertura radioelétrica em terrenos mistos: uma
abordagem via equações integrais. Dissertação de Mestrado, PPGEE/UFMG,
2008.
[25] C. Batista and C. Rego, “Terrain-based propagation model for rural area-an inte-
gral equation approach,” Microwave and Optical Tech. Letters, vol. 54, pp. 26–31,
2012.
[26] F. Moreira, “Aplicação de equações integrais para a predição da propagação radi-
oelétrica sobre solos suavemente irregulares e incidência rasante,” Aug 2002, pp.
191–195.
[27] J. T. Hviid, J. B. Andersen, J. Toftgard, and J. Bojer, “Terrain-based propaga-
tion model for rural area-an integral equation approach,” IEEE Transactions on
Antennas and Propagation, vol. 43, no. 1, pp. 41–46, Jan 1995.