UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS - UFMG
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE PO´S-GRADUAC¸A˜O EM MATEMA´TICA
Introduc¸a˜o ao estudo do Ca´lculo Variacional e da Curva
Cicloide
Fernando Antoˆnio Barros
Orientador: Prof. Carlos Maria Carballo
Dissertac¸a˜o apresentada ao Pro-
grama de Especializac¸a˜o em Ma-
tema´tica com eˆnfase em Ca´lculo Di-
ferencial e Integral.
Belo Horizonte - MG
2016
AGRADECIMENTOS
Quero agradecer a Deus, sinto que Ele sempre esteve presente em minha vida,
nos momentos felizes e naqueles dif´ıceis, quando precisamos muito de um verdadeiro
amigo. E por falar em amigo, na˜o tenho palavras para agradecer ao Prof. Carlos
Maria Carballo, profissional de primeira grandeza que me orientou neste trabalho,
e aproveito para afirmar que se na˜o fosse pela sua inteligeˆncia ı´mpar, pela sua
generosidade na doac¸a˜o de seu precioso tempo, eu jamais teria conseguido chegar ao
fim desta jornada, portanto, caro Professor Carlos, o senhor tera´ sempre a minha
eterna gratida˜o e admirac¸a˜o.
Quero agradecer tambe´m a treˆs grandes mulheres que para mim sa˜o muito espe-
ciais, sa˜o pessoas que amam a vida, sa˜o exemplos de superac¸a˜o, de alegria pela vida
e que me ajudaram muito a enfrentar muitos desafios, e eu tenho a sorte de teˆ-las
por perto, sa˜o elas: a minha amada esposa Joelma, com quem tenho treˆs filhos ma-
ravilhosos: Ian, Giovana e I´ris; a minha querida ma˜e Maria Luiza e a minha querida
sogra, Maria Jose´, elas sa˜o pessoas abenc¸oadas por Deus, fazem desse mundo um
lugar muito melhor de se viver e sempre estara˜o em meu corac¸a˜o.
Agradec¸o a` Coordenadora Profa Jussara de Matos Moreira e a todos os professo-
res com os quais tive a honra de conviver em sala de aula, possibilitando que todos
no´s, alunos, aprendeˆssemos e aprimora´ssemos nossos conhecimentos.
Quero agradecer tambe´m a` Andre´a e a` Kelli, funciona´rias da Po´s-Graduac¸a˜o,
pela atenc¸a˜o e cordialidade dispensadas a todos no´s.
A todos voceˆs, o meu muito obrigado.
2
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o 5
2 O Ca´lculo Variacional 12
2.1 Func¸o˜es e funcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Equac¸a˜o de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Problema da Braquisto´crona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Cicloide 33
3.1 A geometria da curva Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 A Cicloide e´ tauto´crona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 O uso do aplicativo Geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3
Resumo
Nesta monografia procurou-se tratar, de uma forma simples e objetiva, das
noc¸o˜es ba´sicas iniciais de uma a´rea da Matema´tica conhecida como Ca´lculo Varia-
cional, abordando o conceito de funcional de forma dida´tica e resolvendo problemas
relativos a` otimizac¸a˜o atrave´s da aplicac¸a˜o da Equac¸a˜o de Euler-Lagrange, a qual
sera´ demonstrada nesta monografia, possibilitando ao leitor associar ao seu conheci-
mento pre´vio de Ca´lculo Diferencial e Integral uma noc¸a˜o ba´sica desta interessante
a´rea da Matema´tica.
Tambe´m faz parte dos objetivos desta monografia mostrar que a Cicloide e´ uma
curva especial, pois, ale´m de ser a soluc¸a˜o do “Problema da Braquisto´crona”, o qual
sera´ tratado nesta monografia, esta curva tambe´m possui a interessante propriedade
conhecida como “Tauto´crona”, a qual sera´ explicada em detalhes neste trabalho.
Ao final desta monografia, o objetivo foi determinar, atrave´s do aplicativo Ge-
ogebra, o comprimento do raio do c´ırculo que gera uma curva Cicloide que deve
interceptar um ponto dado no plano vertical.
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Cap´ıtulo 1
Introduc¸a˜o
Quando se pesquisa sobre a Histo´ria da Civilizac¸a˜o, e´ poss´ıvel constatar que a
busca pela otimizac¸a˜o das atividades faz parte do comportamento do ser humano,
nas mais diversas a´reas do conhecimento.
Desde a Idade dos Metais, que e´ a u´ltima fase da Pre´-Histo´ria que vai de 5000
a.C. ate´ o surgimento da escrita pelos sume´rios, em 4000 a.C., ja´ se buscava criar
ligas meta´licas mais resistentes e dura´veis para a confecc¸a˜o de ferramentas e armas,
num procedimento cont´ınuo de aperfeic¸oamento, cujo resultado atual e´ o acesso a
uma infinidade de materiais com caracter´ısticas importantes, como as ligas meta´licas
que apresentam uma grande resisteˆncia aliada a` leveza ou materiais que possuem a
capacidade de serem submetidos a grandes tenso˜es e diferenc¸as de temperatura sem
apresentar deformac¸o˜es considera´veis em suas estruturas.
Na e´poca das grandes navegac¸o˜es, procurava-se projetar o formato dos barcos
para que os mesmos apresentassem a menor resisteˆncia na a´gua, adquirindo assim
a maior velocidade poss´ıvel, e tambe´m constru´ıam-se as velas das embarcac¸o˜es de
modo a aproveitar a forc¸a dos ventos da forma mais eficiente. Os conhecimentos
matema´ticos e astronoˆmicos da e´poca, aliados ao uso de equipamentos como o as-
trola´bio, o sextante e os relo´gios mar´ıtimos de grande precisa˜o, possibilitavam que se
navegasse com muito mais eficieˆncia e seguranc¸a pelas rotas mar´ıtimas, na medida
em que se podia determinar a latitude e a longitude de suas embarcac¸o˜es durante as
viagens pelos oceanos, o que muito contribuiu para o desenvolvimento do come´rcio
e do intercaˆmbio cultural entre diversos povos.
Em tempos de guerra, a F´ısica, a Qu´ımica e a Matema´tica foram usadas por
diversos l´ıderes com o objetivo de se promover as maiores baixas poss´ıveis nas tropas
inimigas, quando se buscava, por exemplo, produzir a melhor po´lvora; determinar o
melhor aˆngulo de disparo dos canho˜es e as dimenso˜es e as formas de seus proje´teis, de
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maneira que estes pudessem ser os mais letais, atingindo a maior distaˆncia poss´ıvel
e com o maior potencial de destruic¸a˜o.
A procura pelas soluc¸o˜es dos desafios de cada e´poca e´ a mola propulsora que
impulsiona e projeta a sociedade a patamares mais elevados em relac¸a˜o aos conhe-
cimentos cient´ıficos, ao aperfeic¸oamento e a` criac¸a˜o de te´cnicas mais modernas e
eficientes, nas mais variadas a´reas do conhecimento.
Desde a antiguidade, va´rios matema´ticos e f´ısicos procuravam compreender os
fenoˆmenos naturais e suas leis, tentavam determinar, atrave´s de experieˆncias f´ısicas
e ca´lculos matema´ticos, o princ´ıpio absoluto que rege a natureza, a qual era vista
por muitos como a criac¸a˜o de um Deus perfeito.
O uso da Matema´tica com objetivo de se atingir a otimizac¸a˜o pode ser constatado
desde a Gre´cia Antiga atrave´s do poema e´pico denominado “A Lenda de Dido” (veja
[1, p. 127]), o qual faz parte do Caˆntico I da “Eneida”, obra em que o poeta romano
Virg´ılio (70−19 a.C.) narra a epopeia de Ene´as de Tro´ia. De acordo com esta lenda,
Dido era uma princesa fen´ıcia do se´culo IX a.C., da cidade de Tiro, localizada a`s
margens do Mediterraˆneo, onde hoje e´ o L´ıbano, e, conforme esta lenda, seu irma˜o,
o rei Pigmalia˜o, assassinou seu marido, o grande sacerdote Arquebas, para subtrair-
lhe seus tesouros, e temendo sua pro´pria morte, Dido enta˜o fugiu em um navio com
um grande nu´mero de seguidores dispostos a fundar uma nova cidade (Cartago).
No lugar escolhido para ser Cartago, Dido tentou comprar terras do rei local para
que pudessem se estabelecer, mas o acordo feito com o rei foi que ela so´ teria em
terras o que pudesse abranger com o couro de um boi. Dido e seu grupo decidiram
enta˜o cortar o couro em tiras ta˜o finas quanto poss´ıvel e emendar todas essas tiras
de couro para englobar a maior a´rea no formato de um semic´ırculo que tivesse o seu
diaˆmetro a`s margens do oceano. O surpreendente procedimento de Dido demonstra
o conhecimento sobre a soluc¸a˜o do Problema Isoperime´trico, o qual questiona sobre
qual deve ser a disposic¸a˜o geome´trica de um fio de comprimento determinado para
que o mesmo delimite a maior a´rea poss´ıvel.
A soluc¸a˜o do Problema Isoperime´trico teria sido dada inicialmente pelo ma-
tema´tico grego Zenodoro (200-140 a.C.), mas a sua demonstrac¸a˜o completa so´ teria
sido conhecida em 1880, quando foi apresentada pelo matema´tico Karl Weierstrass
(1815− 1897) em seus semina´rios na Universidade de Berlim.
Ate´ hoje, a soluc¸a˜o do Problema Isoperime´trico e´ considerada por muitos como
algo especial, pois, se demonstra que o fio abrangera´ a maior a´rea poss´ıvel quando
o mesmo for disposto na forma de uma circunfereˆncia.
A otimizac¸a˜o dos resultados sempre interessou a` humanidade por motivos o´bvios
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e, naturalmente, continua a fazer parte dos seus anseios. Desde a antiguidade, va´rios
matema´ticos e estudiosos se mostraram influenciados por um princ´ıpio metaf´ısico:
o de que a natureza segue sempre os caminhos mais simples e fa´ceis, evitando des-
perd´ıcios ou a inutilidade, e essa ideia ja´ estava presente nas obras do nota´vel sa´bio
grego, Aristo´teles (384 - 322 a.C.), que afirmava que a natureza na˜o faz nada em
va˜o. Essa visa˜o se justificava pelo fato de que a` e´poca muitos estudiosos acreditavam
que o mundo teria sido criado por um Deus perfeito, criador das leis que regeriam
os fenoˆmenos naturais da forma mais simples e perfeita poss´ıvel.
Va´rios matema´ticos e f´ısicos contribu´ıram para o desenvolvimento de conheci-
mentos relativos a` otimizac¸a˜o matema´tica nos se´culos XV I e XV II, e um destes
grandes cientistas foi Galileu Galilei (1564−1643), o qual desempenhou um papel es-
sencial na Revoluc¸a˜o Cient´ıfica ao contribuir para o desenvolvimento de va´rias a´reas
da Matema´tica, F´ısica e Astronomia, introduzindo o me´todo cient´ıfico e tentando
descrever os fenoˆmenos da F´ısica atrave´s da linguagem matema´tica, sendo atribu´ıda
a Galileu a seguinte frase: ”A Matema´tica e´ o alfabeto com que Deus escreveu o
Universo”.
Em relac¸a˜o a Galileu, ha´ relatos histo´ricos que evidenciam a sua mente genial e
demonstram que ele era capaz de observar detalhes e de elaborar teorias cient´ıficas
sobre os mais variados campos relativos aos fenoˆmenos naturais. Em relac¸a˜o ao
movimento pendular, por exemplo, contam que certa vez Galileu teria observado as
oscilac¸o˜es de um lustre da Catedral de Pisa e teria efetuado medidas do tempo das
suas oscilac¸o˜es e comparado com a contagem das suas pulsac¸o˜es, e, dessa forma, ele
teria verificado que mesmo quando as amplitudes das oscilac¸o˜es do lustre diminu´ıam,
os per´ıodos destas eram iguais entre si (para pequenas oscilac¸o˜es).
Galileu apresentou suas concluso˜es a` respeito do isocronismo de peˆndulos com
base em suas experieˆncias e concluiu que o per´ıodo de oscilac¸a˜o de um peˆndulo
depende do seu comprimento, mas independe da sua massa e da sua amplitude
(para pequenas oscilac¸o˜es).
Por volta de 1630 Galileu fazia experieˆncias sobre o tempo de queda de objetos
e comparou o tempo de descida de uma esfera por um segmento circular com os
tempos correspondentes a`s descidas da mesma esfera atrave´s de pol´ıgonos inscritos
e de diversos arcos que uniam os pontos dados, e nestas experieˆncias Galileu tinha o
objetivo de determinar qual seria a curva plana que ligaria dois pontos A e B, com
B em n´ıvel inferior, de tal forma que, apenas sob a ac¸a˜o da forc¸a da gravidade, esta
esfera deveria percorrer a curva de A ate´ B no menor intervalo de tempo poss´ıvel.
Na e´poca, Galileu teria chegado a` conclusa˜o (incorreta) de que esta curva seria um
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arco de uma circunfereˆncia.
Em 1641, quando Galileu ja´ estava cego, ocorreu-lhe que fosse poss´ıvel adaptar
o peˆndulo a relo´gios, utilizando pesos ou molas, mas ele nunca teria concretizado
esta ideia.
Outro grande cientista que se dedicou ao estudo sobre os fenoˆmenos naturais e as
leis que os governam foi o franceˆs Pierre de Fermat (1601−1665), que, em agosto de
1657, enunciou o famoso “Princ´ıpio do Tempo Mı´nimo”, o qual afirma o seguinte:“A
luz, para ir de um ponto A ate´ outro ponto B, o fara´ pela trajeto´ria cujo tempo
de traˆnsito seja o menor poss´ıvel”, e este princ´ıpio pode ser constatado atrave´s do
processo da incideˆncia e reflexa˜o da luz em espelhos planos, onde os aˆngulos de
incideˆncia e de reflexa˜o possuem a mesma medida, de forma que a luz percorra a
distaˆncia entre dois pontos do espac¸o no menor intervalo de tempo poss´ıvel.
Figura 1: Reflexa˜o no espelho plano
Um dos grandes cientistas que tambe´m muito contribuiu com estudos relativos
ao movimento pendular foi o matema´tico, f´ısico e astroˆnomo holandeˆs, Christian
Huygens (1629− 1695), que, em 1673, publicou a sua obra intitulada “Horologium
Oscillatorium”(Relo´gio Pendular), e foi quando formulou o interessante problema
intitulado: “Problema da Tauto´crona”(Tauto=mesmo + Chrone=tempo), o qual
indagava: Qual e´ a curva descrita em um plano vertical que, independentemente da
posic¸a˜o inicial em que se coloque um objeto sobre a mesma, o tempo que o objeto
leva para atingir o ponto mais baixo da curva seja sempre o mesmo? (Considerando
que este objeto esteja sujeito apenas a` forc¸a gravitacional e na˜o sofra a ac¸a˜o da forc¸a
de atrito).
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Figura 2: Peˆndulo
E´ poss´ıvel pensar que durante o per´ıodo que Huygens pensava sobre a soluc¸a˜o
do “Problema da Tauto´crona”, ele buscava uma relac¸a˜o com o fato do movimento
pendular apresentar o seu per´ıodo invaria´vel para pequenos aˆngulos, ou seja, o
peˆndulo levava tempos iguais para percorrer distaˆncias distintas, considerando ape-
nas aˆngulos com pequenas amplitudes.
Huygens havia inventado o relo´gio de peˆndulo cuja extremidade inferior descreve
um arco de circunfereˆncia, e, a partir de suas experieˆncias, sabia que, para pequenos
aˆngulos de abertura, o per´ıodo de um peˆndulo simples na˜o depende da sua amplitude
e nem da sua massa. De forma comparativa, Huygens verificou que se abandonasse
uma esfera em uma rampa na forma de uma semicircunfereˆncia, o tempo que a
esfera levava para atingir o ponto mais baixo da trajeto´ria dependia da altura em
que a mesma era abandonada sobre a curva, e ,nesta e´poca, ocorreu-lhe considerar
o que aconteceria se a superf´ıcie hemisfe´rica fosse substitu´ıda por outra, cuja secc¸a˜o
fosse um arco de Cicloide invertido, e foi quando Huygens ficou surpreso ao observar
que em tal caso a esfera chegava ao ponto mais baixo da curva levando sempre o
mesmo tempo, independentemente da altura em que a esfera fosse colocada sobre a
Cicloide.
Huygens provou, geometricamente, que a Cicloide e´ tauto´crona, ou seja, apre-
senta a propriedade de que quando um objeto se desloca sobre a mesma, desprezando-
se o atrito e somente sob a ac¸a˜o da gravidade, o tempo que este objeto leva para
atingir o ponto mais baixo da curva (ponto de mı´nimo) sera´ sempre o mesmo, in-
dependentemente da posic¸a˜o inicial na qual ele e´ colocado na curva.Ale´m disso,
Huygens verificou tambe´m que se um peˆndulo constru´ıdo na forma de uma esfera
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presa por um fio deforma´vel se movimentar entre dois arcos cicloidais fixos de mesmo
comprimento que o peˆndulo, a trajeto´ria descrita pela esfera sera´ um arco cicloidal.
De posse desses conhecimentos, Huygens construiu um relo´gio cujo peˆndulo era
limitado por dois anteparos na forma de Cicloides, procurando assim construir um
relo´gio cujo per´ıodo de oscilac¸a˜o na˜o se alterasse com a variac¸a˜o da amplitude de
seus movimentos.
A seguir, podemos observar a representac¸a˜o gra´fica de um Peˆndulo Cicloidal,
onde PQ e PR sa˜o anteparos fixos na forma de arcos cicloidais, os quais limitam
o movimento do peˆndulo PS, o qual e´ constru´ıdo com uma esfera na extremidade
de um fio deforma´vel, de forma que, a` medida que o peˆndulo se movimenta entre os
anteparos fixos, a esfera ira´ descrever um arco de Cicloide, portanto, apresentara´ a
propriedade tauto´crona.
Figura 3: Peˆndulo cicloidal
Neste contexto histo´rico, estavam germinando as ideias de uma importante a´rea
da Matema´tica que ficou conhecida como Ca´lculo Variacional.
Em se tratando do Ca´lculo Variacional, podemos considerar tambe´m o grande
matema´tico e f´ısico Isaac Newton (1643 − 1727) como um dos seus precursores,
considerando que Newton propoˆs, no segundo volume da sua ce´lebre obra “Prin-
cipia Mathematica”, publicada em 1687, o problema de se determinar a forma da
superf´ıcie de revoluc¸a˜o de um so´lido que apresentasse a menor resisteˆncia poss´ıvel
quando o mesmo atravessasse um fluido, e este e´ um problema sobre otimizac¸a˜o,
t´ıpico do Ca´lculo Variacional.
A Matema´tica vem sendo constru´ıda e desenvolvida desde a mais remota antigui-
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dade, e o seu desenvolvimento se deve muito a` busca de soluc¸o˜es de problemas que
desafiaram as mentes mais brilhantes de cada e´poca. No se´c. XVII, o Ca´lculo Vari-
acional foi criado para solucionar problemas a`s otimizac¸o˜es de resultados, e grac¸as
ao seu desenvolvimento, hoje e´ poss´ıvel obter soluc¸o˜es otimizadas para inu´meros
problemas, nas mais variadas a´reas do conhecimento.
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Cap´ıtulo 2
O Ca´lculo Variacional
2.1 Func¸o˜es e funcionais
Partindo de uma ana´lise ba´sica e simplificada, pode-se considerar que o Ca´lculo
Variacional e´ uma a´rea da Matema´tica que foi criada para se determinar as func¸o˜es
que extremizam os seus respectivos funcionais. Mas afinal, o que vem a ser um
funcional?
Com o objetivo de ser dida´tico em relac¸a˜o a` ide´ia intuitiva do que vem a ser um
funcional, pode-se fazer uma comparac¸a˜o entre uma func¸a˜o com o domı´nio definido
no conjunto dos nu´meros reais e um funcional cujo domı´nio e´ um espac¸o definido de
func¸o˜es.
Toda func¸a˜o cont´ınua, com domı´nio no conjunto dos nu´meros reais, possui, para
cada elemento do seu domı´nio, um elemento correspondente que pertence ao seu
conjunto imagem. Por exemplo, a func¸a˜o quadra´tica y(x) = x2, com x ∈ R, pos-
sui um elemento em seu conjunto imagem correspondente a cada elemento de seu
domı´nio, como se observa a seguir:
para x = 0 temos y = 0,
para x = 1 temos y = 1,
para x = 2 temos y = 4,
ou seja, para cada valor de x, a func¸a˜o retornara´ apenas um determinado valor da
func¸a˜o y(x).
Ha´ uma semelhanc¸a entre os conceitos de func¸a˜o e funcional, no entanto, o
domı´nio de um funcional na˜o e´ formado por nu´meros reais, mas sim por func¸o˜es, e
para cada func¸a˜o substitu´ıda no funcional dado o resultado sera´ um nu´mero real.
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Para se compreender melhor o conceito de funcional, vejamos a soluc¸a˜o do pro-
blema a seguir. Seja o funcional
I(y) =
∫ 4
0
y(x) dx,
onde y(x) representa uma func¸a˜o deriva´vel qualquer em relac¸a˜o a` varia´vel x, sendo
que este funcional fornece como resultado o valor da a´rea sob a curva representada
pela func¸a˜o y(x), a qual e´ limitada no intervalo 0 ≤ x ≤ 4, com x ∈ R. A partir
deste funcional dado, qual das func¸o˜es a seguir abrange a maior a´rea entre o seu
gra´fico e o eixo das abscissas no intervalo dado?
a) y = x2
b) y = ex
c) y =
√
x+ 1
d) y = 2x
Apo´s os devidos ca´lculos, os resultados das respectivas a´reas sa˜o:
a) I(y) =
∫ 4
0
x2 dx = x
3
3
∣∣∣4
0
= 64.
b) I(y) =
∫ 4
0
ex dx = ex|40 ≈ 53, 6
c) I(y) =
∫ 4
0
√
x+ 1 dx = 3
2
(x+ 1)
3
2
∣∣∣4
0
≈ 6, 78
d) I(y) =
∫ 4
0
2x dx = x2|40 = 16
Portanto, dentre as func¸o˜es dadas, aquela que determina a maior a´rea sob o seu
gra´fico e´ a func¸a˜o quadra´tica y = x2.
No caso acima, para solucionar o problema bastou substituir cada uma das
func¸o˜es no funcional dado e calcular os respectivos resultados, mas, no Ca´lculo
Variacional, o objetivo e´ determinar, dentre infinitas func¸o˜es, aquela que devera´
extremizar o funcional dado, ou seja, determinar a func¸a˜o que, se substitu´ıda no
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funcional devera´ gerar o valor extremo (ma´ximo ou um mı´nimo) deste.
O processo para se determinar a func¸a˜o que extremiza o funcional, em parte, e´
semelhante a`quele em que se determina o ponto extremo de uma func¸a˜o cont´ınua e
diferencia´vel em determinado intervalo, onde a derivada da func¸a˜o se anula.
Para melhor compreensa˜o do significado de um funcional, pode-se analisar o
problema proposto a seguir, o qual tem como objetivo determinar a expressa˜o ma-
tema´tica (funcional) para se calcular o comprimento da curva representada pela
func¸a˜o dada em um determinado intervalo:
Problema resolvido: Dados dois pontos distintos A(x1; y1) e B(x2; y2) perten-
centes ao plano cartesiano xy, determinar o funcional que possibilite calcular o
comprimento de uma curva qualquer, representada por y(x), a qual interliga tais
pontos.
Soluc¸a˜o: Considerando uma curva C que seja definida pela equac¸a˜o y = y(x), a qual
representa a func¸a˜o procurada, sendo y(x) cont´ınua no intervalo a ≤ x ≤ b, e com
x ∈ R, tal que a sua derivada tambe´m seja cont´ınua neste intervalo. Para melhor
descrever a situac¸a˜o analisada, obtemos uma poligonal de aproximac¸a˜o para a curva
C a ser definida, dividindo o intervalo [a, b] do seu domı´nio em n subintervalos com
extremidades x0, x1, ..., xn e com larguras iguais a ∆xi. Se yi = y(xi), enta˜o o ponto
Pi(xi, yi) esta´ em C, e a poligonal com ve´rtices P0, P1, ..., Pn, ilustrada na figura
abaixo e´ uma aproximac¸a˜o para C.
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Figura 4: Comprimento do arco por aproximac¸a˜o de linhas poligonais.
O comprimento L da curva C e´ aproximadamente o mesmo dessa poligonal e a
aproximac¸a˜o fica melhor quando n aumenta. Portanto, definimos o comprimento L
da curva C com a equac¸a˜o representada por y(x), no intervalo a ≤ x ≤ b, como
sendo o limite dos comprimentos dessas poligonais inscritas (se o limite existir),
conforme [2, p. 488]:
L = lim
n→∞
n∑
i=1
|Pi−1 − Pi|
Se tomarmos ∆xi = xi − xi−1 e ∆yi = yi − yi−1, enta˜o:
|Pi−1 − Pi| =
√
(xi − xi−1)2 + (yi − yi−1)2 =
√
(∆xi)2 + (∆yi)2.
Aplicando-se o Teorema do Valor Me´dio para a func¸a˜o f , no intervalo [xi−1, xi],
conclu´ımos que existe um nu´mero x∗i entre xi−1 e xi, tal que:
y(xi)− y(xi−1) = y′(x∗i )(xi − xi−1)
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isto e´,
∆yi = y
′(x∗i )∆xi.
Enta˜o, temos:
|Pi−1Pi| =
√
(∆xi)2 + (∆yi)2
=
√
(∆xi)2 + (y′(x∗i )∆xi)2
=
√
1 + [y′(x∗i )]2
√
(∆xi)2
=
√
1 + [y′(x∗i )]2∆xi.
Logo, o comprimento do arco de uma curva suave representada pela func¸a˜o y(x)
e´ dado pela expressa˜o:
L(y) = lim
n→∞
n∑
i=1
|Pi−1Pi| = lim
n→∞
n∑
i=1
√
1 + [y′(x∗i )]2∆xi.
L[y] =
∫ b
a
√
1 + y′(x)2 dx (2.1)
com y′(x) cont´ınua no intervalo [a, b].
Portanto, apo´s os devidos ca´lculos, tem-se a expressa˜o matema´tica (2.1) como
exemplo de um funcional, cujo domı´nio na˜o e´ composto por nu´meros reais, mas por
func¸o˜es deriva´reis, e atrave´s deste funcional e´ poss´ıvel calcular o comprimento da
curva determinada pela func¸a˜o y(x) no intervalo a ≤ x ≤ b.
2.2 Equac¸a˜o de Euler-Lagrange
O Lema Fundamental do Ca´lculo Variacional, que e´ ba´sico para o desenvolvimento
da teoria do Ca´lculo Variacional, e´ demonstrado a seguir:
Lema 1. Se G : [x1, x2]→ R e´ uma func¸a˜o cont´ınua e se e´ va´lida a condic¸a˜o:∫ x2
x1
η(x)G(x) dx = 0 (2.2)
para toda func¸a˜o diferencia´vel η(x) : [x1, x2] → R tal que η(x1) = η(x2) = 0 enta˜o
G(x) = 0, para todo x ∈ (x1, x2).
Demonstrac¸a˜o. Suponha, por absurdo, que G(x′) 6= 0 para algum x′ ∈ (x1, x2), e,
16
sem perda de generalidade, que G(x′) > 0. Pela continuidade de G, existe uma
vizinhanc¸a de x′, digamos, c ≤ x′ ≤ d na qual G(x′) > 0, ∀x ∈ [c, d]. Mas com isso
a igualdade (2.2) na˜o se verifica para toda func¸a˜o diferencia´vel η(x).
Por exemplo, considerando-se a func¸a˜o η(x) a seguir:
η(x) =

0 se x1 ≤ x ≤ c
(x− c)2(x− d)2 se c ≤ x ≤ d
0 se d ≤ x ≤ x2
obte´m-se: ∫ x2
x1
η(x)G(x)dx =
∫ d
c
[(x− c)2(x− d)2]G(x) dx
e como G(x) > 0 para c ≤ x ≤ d tem-se que:∫ x2
x1
η(x)G(x) dx 6= 0
o que contradiz a hipo´tese. O caso G(x1) < 0 e´ ana´logo e assim o lema acima esta´
provado.
O objetivo ba´sico do Ca´lculo Variacional e´ determinar a func¸a˜o diferencia´vel,
y(x), com y : [x1;x2] → R, a qual tenha a sua derivada primeira y′(x) cont´ınua no
intervalo considerado, de modo que satisfac¸a a`s condic¸o˜es de fronteira dadas: y(x1) =
y1 e y(x2) = y2, e, dependendo do problema, minimize ou maximize o funcional I(y),
o qual e´ representado genericamente pela expressa˜o a seguir, conforme [3, p. 292] e
[4, p. 93]:
I(y) =
∫ x2
x1
F (x, y, z) dx (2.3)
sendo x = x; y = y(x) e z = y′(x).
Analisando a integral acima, e´ importante que se compreenda que a func¸a˜o
F (x, y, z) e´ uma func¸a˜o composta por x, y e y′, e, apo´s a sua integrac¸a˜o em relac¸a˜o
a dx, o funcional I(y) dependera´ apenas da func¸a˜o y e/ou da sua derivada y′ e sera´
independente da varia´vel x.
A ideia ba´sica inicial do Ca´lculo Variacional e´ admitir que haja uma func¸a˜o y(x)
que extremiza o funcional dado, e, a partir desta func¸a˜o y(x), cria-se uma nova
17
func¸a˜o parametrizada y, a qual representara´ as func¸o˜es vizinhas a` func¸a˜o y(x) que
estara˜o sujeitas a`s mesmas condic¸o˜es de fronteira da func¸a˜o y(x).
Com o objetivo de representar uma famı´lia de func¸o˜es que possui os mesmos
extremos da func¸a˜o o´tima y(x), a qual extremiza o funcional dado, define-se uma
nova func¸a˜o y(x, ) da seguinte forma:
y(x, ) = y(x) + η(x), (2.4)
tal que a func¸a˜o y(x, ) seja parametrizada pelo fator  ∈ R e a func¸a˜o η(x) seja
uma func¸a˜o arbitra´ria deriva´vel, tal que η(x) : [x1, x2] → R obedec¸a a`s seguintes
condic¸o˜es de fronteira:
η(x1) = η(x2) = 0.
Dessa forma, assegura-se que a famı´lia de func¸o˜es representadas por y(x, ) obedec¸a,
para qualquer valor de , as condic¸o˜es de fronteira:
y(x1, ) = y(x1) e y(x2, ) = y(x2).
ou seja, determina-se que as func¸o˜es y(x, ) e y(x) sejam coincidentes nos extremos
do intervalo definido pelos limites de integrac¸a˜o x1 e x2 apresentados.
Figura 5: Curvas vizinhas a` func¸a˜o o´tima representada por y
18
Tomando o funcional (2.3) e substituindo a func¸a˜o y(x) pela func¸a˜o y(x, ) defi-
nida em (2.4), chegaremos a` expressa˜o:
I() =
∫ x2
x1
F (x, y(x, ), y′(x, ))dx (2.5)
e neste ponto e´ importante que se compreenda que em (2.3) tem-se um funcional
I(y) cujo domı´nio e´ um conjunto de func¸o˜es e, apo´s a substituic¸a˜o que gerou (2.5),
na˜o se tera´ mais um funcional, mas sim uma func¸a˜o, I(), cujo domı´nio e´ definido
pelos poss´ıveis valores de  ∈ R, pois, para cada func¸a˜o cont´ınua e diferencia´vel η(x)
dada, apenas o valor de  devera´ variar, gerando os correspondentes valores de y(x, ).
A partir de (2.4), se tomarmos  = 0, teremos que y(x, 0) = y(x) + 0, ou seja,
y(x, 0) = y(x), e, conforme a hipo´tese inicial de que y(x) extremiza o funcional (2.3),
enta˜o, para  = 0, tem-se que y(x, 0) representara´ a func¸a˜o que extremiza (2.5).
Portanto, adotando-se  = 0, pode-se concluir que o valor correspondente da
func¸a˜o I() relativa a` equac¸a˜o (2.5), a qual foi criada a partir do funcional (2.3),
sera´ um extremo, e, baseando-se no fato de que no ponto extremo (ma´ximo ou
mı´nimo) de uma func¸a˜o a derivada e´ nula, e pode-se tambe´m afirmar que para o
valor de  = 0 a derivada da func¸a˜o I(), em relac¸a˜o a , devera´ ser nula, ou seja:
dI()
d
∣∣∣∣
=0
= 0
d
d
(∫ x2
x1
F (x, y(x, ), y′(x, ))dx
)∣∣∣∣
=0
= 0 (2.6)
Com a finalidade de se prosseguir nos ca´lculos da equac¸a˜o anterior, e´ necessa´rio que
se calcule a derivada de uma integral definida de uma func¸a˜o composta, fazendo-se
necessa´rio, nesta etapa, o emprego do importante lema conhecido como Regra de
Leibniz, veja [5, Teorema 3, p. 66].
Lema 2 (Regra de Leibniz). Sejam f (x, t) uma func¸a˜o real definida num retaˆngulo
R = [a, b] × [c, d] ∈ R2 integra´vel em x para cada valor real de t e ∂f (x, t)
∂t
a sua
derivada parcial cont´ınua em x e t no mesmo retaˆngulo.
19
Seja o integral, func¸a˜o do paraˆmetro t, dada por:
I(t) =
∫ b
a
f(x, t) dt.
A derivada de I(t) e´ dada por:
I ′(t) =
∫ b
a
∂f(x, t)
∂t
dx.
Na sequeˆncia, de acordo o Lema 2, podemos dar continuidade a (2.6):∫ x2
x1
(
∂F (x, y(x, ), y′(x, ))
∂
)∣∣∣∣
=0
dx = 0.
Na sequeˆncia, usando a “Regra da Cadeia”, temos:∫ x2
x1
(
∂F
∂x
∂x
∂
+
∂F
∂y
∂y(x, )
∂
+
∂F
∂y′(x, )
∂y′(x, )
∂
)∣∣∣∣
=0
dx = 0 (2.7)
De acordo com a parametrizac¸a˜o definida: y(x, ) = y(x) + η(x), pode-se deter-
minar as seguintes equac¸o˜es:
∂y(x, )
∂
= η(x) (2.8)
∂y′(x, )
∂
= η′(x). (2.9)
A partir da equac¸a˜o (2.4) e adotando-se  = 0, tem-se que y(x, ) = y(x), enta˜o
pode-se substituir y(x, ) por y(x) em (2.8) e (2.9) e se obter as seguintes equac¸o˜es:
∂y(x, 0)
∂
=
∂y(x)
∂
= η(x)
∂y′(x, 0)
∂
=
∂y′(x)
∂
= η′(x),
e apo´s algumas substituic¸o˜es na equac¸a˜o (2.7), aliado ao fato de que a varia´vel x
na˜o depende de , o que faz com que ∂x
∂
= 0, chegaremos ao seguinte resultado:∫ x2
x1
(
∂F
∂y
η(x) +
∂F
∂y′
η′(x)
)
dx = 0. (2.10)
A segunda parcela de (2.10) pode ser integrada por partes, como e´ visto a seguir:
20
∫ x2
x1
∂F
∂y′
η′(x) dx =
[
∂F
∂y′
η(x)
]x2
x1
−
∫ x2
x1
d
dx
(
∂F
∂y′
)
η(x) dx (2.11)
e, devido a`s condic¸o˜es de fronteira η(x1) = η(x2) = 0 tem-se que a primeira parcela
do segundo membro da expressa˜o acima se anula, conforme se representa a seguir:[
∂F
∂y′
η(x)
]x2
x1
= 0.
Portanto, apo´s os ca´lculos descritos, tem-se que (2.10) foi reduzida a` seguinte ex-
pressa˜o: ∫ x2
x1
(
∂F
∂y
η(x)− d
dx
(
∂F
∂y′
)
η(x)
)
dx = 0
e, colocando η(x) em evideˆncia, tem-se:∫ x2
x1
(
∂F
∂y
− d
dt
(
∂F
∂y′
))
η(x) dx = 0, (2.12)
sendo η(x) uma func¸a˜o arbitra´ria, requerendo-se apenas que a mesma seja deriva´vel
e obedec¸a a`s condic¸o˜es de fronteira ja´ definidas em (2.2).
De acordo com o Lema 1, a partir de equac¸a˜o anterior podemos chegar a` seguinte
equac¸a˜o:
∂F
∂y
− d
dx
(
∂F
∂y′
)
= 0 (2.13)
a qual e´ denominada Equac¸a˜o de Euler-Lagrange.
Atrave´s da Equac¸a˜o de Euler-Lagrange podemos determinar a func¸a˜o y(x) que
extremiza um determinado funcional I[y(x)], e e´ importante salientar que satisfazer
esta equac¸a˜o e´ uma condic¸a˜o necessa´ria para tal, pore´m na˜o suficiente, pois, para
se verificar se a referida func¸a˜o y(x) corresponde a um ma´ximo, um mı´nimo ou a
um ponto de inflexa˜o sa˜o necessa´rios outros ca´lculos mais complexos que na˜o sa˜o
abordados nesta monografia, mas podem ser verificados em [3].
Com o objetivo de se mostrar uma aplicac¸a˜o da Equac¸a˜o de Euler-Lagrange,
vejamos a soluc¸a˜o do problema a seguir:
Problema: Dados dois pontos distintos A(x1; y1) e B(x2; y2), localizados no plano
cartesiano xy, determinar, atrave´s da Equac¸a˜o de Euler-Lagrange, qual e´ a func¸a˜o
que representa o menor caminho a ser percorrido entre A e B.
21
Soluc¸a˜o: Inicialmente, admite-se que existe uma func¸a˜o y = y(x) que extremiza
o funcional que representa o comprimento total de uma curva suave descrita atrave´s
de uma func¸a˜o deriva´vel y = y(x) em um intervalo que pertenc¸a ao seu domı´nio,
sendo que, conforme (2.1), o referido funcional e´ representado pela expressa˜o:
L =
∫ x2
x1
√
1 + [y′(x)]2 dx
sendo que o objetivo, neste caso, e´ determinar a func¸a˜o que extremiza este funcional,
minimizando-o.
Conforme a definic¸a˜o de funcional dada em (2.3), temos:
I(y) =
∫ x2
x1
F (x, y, z) dx
com x = x; y = y(x) e z = y′(x).
Neste problema, a func¸a˜o F (x, y, y′) e´ representada por
√
1 + [y′(x)]2 e na˜o de-
pende explicitamente de x.
Fazendo a substituic¸a˜o dos termos do funcional na Equac¸a˜o de Euler-Lagrange,
a qual e´ dada a seguir, teremos:
∂F
∂y
− d
dx
∂F
∂y′
= 0
sendo que
∂F
∂y
= 0
e
d
dx
∂
∂y′
(√
1 + (y′(x))2
)
= 0
d
dx
y′(x)√
1 + (y′(x))2
= 0
como a derivada do termo acima em relac¸a˜o a x e´ igual a zero, pode-se concluir que
este termo e´ uma constante, conforme explicitado a seguir:
y′(x)√
1 + (y′(x))2
= c (constante),
22
logo
y′(x) = c
√
1 + (y′(x))2
e, fazendo os ca´lculos para explicitar y′(x), temos:
(y′(x))2 =
(
c.
√
1 + (y′(x))2
)2
= c2(1 + (y′(x))2).
Portanto
(1− c2)(y′(x))2 = c2,
de onde
(y′(x))2 =
c2
1− c2 ,
e assim
y′(x) = ±
√
c2
1− c2 = a,
onde a e´ constante. Considerando-se a > 0 para fins de simplificac¸a˜o, a equac¸a˜o
diferencial y′(x) =
dy
dx
= a e´ elementar e tem a soluc¸a˜o geral do tipo y(x) = ax+ b,
onde b e´ uma constante de integrac¸a˜o, e como a curva y(x) deve passar pelos pontos
(x1, y1) e (x2, y2), as constantes a e b sa˜o determinadas pela reduc¸a˜o do seguinte
sistema de equac¸o˜es lineares: ax1 + b = y1ax2 + b = y2
isto e´,
a =
y1 − y2
x1 − x2 e b =
y2x1 − y1x2
x1 − x2 .
Portanto, atrave´s da Equac¸a˜o de Euler-Lagrange foi poss´ıvel determinar que o
menor caminho entre dois pontos localizados em um plano corresponde a um seg-
mento de reta representada pela func¸a˜o linear y(x) = ax + b, conforme ja´ se sabia
pelo senso comum.
Atrave´s do Ca´lculo Variacional, mais precisamente, da aplicac¸a˜o da Equac¸a˜o
de Euler-Lagrange, foi poss´ıvel determinar a func¸a˜o que extremiza o funcional em
questa˜o, ou seja, obtivemos uma func¸a˜o que representa a soluc¸a˜o o´tima para o pro-
23
blema, e, no caso em pauta, a soluc¸a˜o encontrada representa um ponto de mı´nimo.
Conve´m reiterar que e´ necessa´rio que se fac¸a uma ana´lise para se determinar se a
soluc¸a˜o encontrada atrave´s da Equac¸a˜o de Euler Lagrange, a qual extremiza o fun-
cional, corresponde a um ponto de mı´nimo, de ma´ximo ou a um ponto de inflexa˜o.
O leitor interessado em se aprofundar no assunto podera´ consultar [3].
2.3 Problema da Braquisto´crona
Em 1696, o matema´tico Johann Bernoulli (1667−1748) propoˆs o Problema da
Braquisto´crona, palavra que tem origem grega: “brachisto”significa mais curto e
“chronos” significa tempo, ou seja, o tempo mais curto. Na e´poca, este problema foi
enviado a va´rios matema´ticos e alguns como Isaac Newton, Gottfried W. Leibniz,
L’Hospital e Jakob Bernoulli apresentaram as suas soluc¸o˜es.
O Problema da Braquisto´crona pode ser descrito da seguinte forma: Sejam A e B
dois pontos distintos, posicionados no plano vertical xy, com o ponto A posicionado
em um n´ıvel superior ao de B e sem pertencer a` reta vertical que passa pelo ponto B.
O problema consiste em se determinar qual deve ser a trajeto´ria, no plano vertical,
que interligue os pontos A e B, de tal forma que uma pequena esfera possa deslizar,
a partir do repouso, de A ate´ B, no menor intervalo de tempo poss´ıvel, considerando-
se que esta esfera sofra apenas a ac¸a˜o da forc¸a da gravidade, sem a ac¸a˜o da forc¸a de
atrito.
A soluc¸a˜o do Problema da Braquisto´crona consiste em se determinar a func¸a˜o
que representa a curva de descida mais ra´pida entre os pontos A e B nas condic¸o˜es
supracitadas. Sabemos que ha´ infinitas formas de trajeto´rias poss´ıveis entre os
pontos A e B, tais como uma reta, uma para´bola, um ramo de hipe´rbole, etc, mas
como determinar qual e´ a forma da trajeto´ria na qual a esfera se deslocara´ de A ate´
B no menor intervalo de tempo poss´ıvel?
A seguir temos a representac¸a˜o gra´fica de uma curva qualquer que representa a
trajeto´ria de uma esfera de massa m entre os pontos A e B.
24
Figura 6: Deslocamento da esfera de massa m
Com o objetivo de simplificar o problema proposto, evitando-se ca´lculos com
nu´meros negativos relativos ao eixo y, considera-se que os pontosA(x1, y1) eB(x2, y2)
estejam no plano cartesiano xy, com o eixo y posicionado com sentido positivo para
baixo e com o eixo horizontal x mantendo-se com o sentido positivo para a direita.
Admitindo-se que a esfera parta do repouso do ponto A(0,0), que a trajeto´ria
descrita pela esfera ate´ o ponto B no intervalo de tempo mais curto poss´ıvel seja
representada pela func¸a˜o y = y(x), e denominando por s(x) o comprimento de arco
descrito pela esfera ao descer pela referida curva, conforme (2.1), temos que:
s(x) =
∫ x
x1
√
1 + y′(h)2 dh
e, de acordo com o Teorema Fundamental do Ca´lculo (ver [2, p. 350]) temos:
ds
dx
=
√
1 + y′2, (2.14)
Agora, sabemos que
v =
ds
dt
.
Logo, pela regra da cadeia temos
25
v =
ds
dt
=
ds
dx
dx
dt
=
√
1 + y′2
dx
dt
,
reescrevendo esta equac¸a˜o, temos:
dx
dt
=
v√
1 + y′2
,
e pela derivada da func¸a˜o inversa, conclui-se que
dt
dx
=
√
1 + y′2
v
.
Integrando a equac¸a˜o acima em relac¸a˜o a x no intervalo [0, x], obtemos:
T =
∫ x
0
√
1 + y′2
v
dx (2.15)
Para o ca´lculo da velocidade da esfera que se desloca pela curva entre os pontos A
e B usamos a Lei da Conservac¸a˜o da Energia e o fato de na˜o estarmos considerando
a presenc¸a de forc¸as dissipativas no problema. Assim, o decre´scimo de energia
potencial Ep e´ acompanhado por um igual acre´scimo da energia cine´tica Ec, ou seja:
∆Ec = ∆Ep
sendo que a Energia Cine´tica da esfera e´ dada por:
Ec =
mv2
2
onde m representa a massa da esfera e v representa a velocidade da mesma. A
Energia Potencial Gravitacional da esfera e´ dada por:
Ep = m.g.y,
onde m representa a massa da esfera; g representa a acelerac¸a˜o da gravidade e y
representa a altura da esfera em relac¸a˜o ao solo. De acordo com (2.3), temos:
26
12
mv2 − 1
2
mv1
2 = mg(y − y1)
Portanto, a partir da equac¸a˜o acima e considerando que a esfera parte do repouso,
temos que v =
√
2g(y − y1), e desde que estamos considerando as coordenadas do
ponto inicial da esfera como sendo A(0, 0), a expressa˜o da velocidade em func¸a˜o da
coordenada y que representa a altura em relac¸a˜o a` posic¸a˜o final da esfera sera´ dada
por v =
√
2gy, e o tempo gasto para percorrer a trajeto´ria entre os pontos A(x1, y1)
e B(x2, y2) podera´ ser determinado atrave´s do seguinte funcional:
T (y) =
1√
2g
∫ x2
x1
√
1 + y′2√
y
dx. (2.16)
A qual foi obtida substituindo v =
√
2gy na equac¸a˜o (2.15).
Considerando a func¸a˜o
F (x, y, y′) =
√
1 + y′2√
y
relativa ao funcional (2.16), vamos usar a Equac¸a˜o de Euler-Lagrange para deter-
minarmos a func¸a˜o que extremiza este funcional, no caso, a func¸a˜o que o minimiza,
pois, se trata do deslocamento da esfera no menor tempo poss´ıvel. Seja a Equac¸a˜o
de Euler-Lagrange:
∂F
∂y
− d
dx
(
∂F
∂y′
)
= 0
Desenvolvendo o seu primeiro termo, temos:
∂F
∂y
=
∂
∂y
(√
1 + (y′)2√
y
)
=
√
1 + (y′)2
∂
∂y
y−
1
2
=
√
1 + (y′)2
(
−1
2
y−
3
2
)
= −1
2
√
1 + (y′)2
y
3
2
.
(2.17)
27
Desenvolvendo o termo ∂F/∂y′ temos:
∂F
∂y′
=
∂
∂y′
(√
1 + (y′)2√
y
)
=
1√
y
∂
∂y′
(
1 + (y′)2
) 1
2
=
1√
y
1
2
(1 + (y′)2)−
1
2 .2(y′)
Com isto calculemos agora
d
dx
[
∂F
∂y′
]
=
d
dx
(
y′√
y(1 + (y′)2)
)
=
y′′(
√
y(1 + y′2))− (y′(√y(1 + y′2))′
(
√
y.(1 + y′2))2
=
y′′(
√
y.(1 + y′2))−
(
y′ (y(1 + y′2))
1
2
)′
y(1 + y′2)
=
y′′(
√
y(1 + y′2))−
(
y′
(
1
2
(y(1 + y′2))
)− 1
2
)
(y′ (1 + y′2) + y2y′y′′)
y(1 + y′2)
=
y′′
√
y(1 + y′2)
y(1 + y′2)
− 1
2
y′2(1 + y′2)− 2yy′y′′√
y(1 + y′2)3
Substituindo esta equac¸a˜o e a equac¸a˜o (2.17) na Equac¸a˜o de Euler Lagrange, tere-
mos:
−1
2
√
1 + (y′)2
y
3
2
− y”
√
y(1 + y′2)
y(1 + y′2)
+
1
2
y′2(1 + y′2) + 2yy′y′′√
y(1 + y′2)3
= 0
de onde
−(1 + 2y′2 + y′4)− 2y′′y − 2y′′yy′2 + y′2 + y′4 + 2yy′2y′′
2
√
y3(1 + y′2)3
= 0
Apo´s simplificac¸a˜o chegaremos a` seguinte equac¸a˜o diferencial:
−1− y′2 − 2yy′′
2
√
y3(1 + y′2)3
= 0
o que implica que −1− y′2− 2yy′′ = 0, ou seja 2yy′′+ y′2 + 1 = 0. Se multiplicarmos
ambos os membros desta equac¸a˜o por y′, chegaremos a` equac¸a˜o diferencial:
28
2yy′y′′ + y′3 + y′ = 0. (2.18)
No pro´ximo passo, observemos que:
d
dx
[y + yy′2] = 2yy′y′′ + y′3 + y′
que e´ a mesma equac¸a˜o (2.18). Portanto, se forem integrados ambos os lados da
equac¸a˜o (2.18) com relac¸a˜o a` varia´vel independente x, se chegara´ a` seguinte equac¸a˜o:∫
(2yy′y′′ + y′3 + y′) dx =
∫
0 dx
ou equivalentemente ∫
d
dx
[y + yy′2] dx = C
onde C representa uma constante. Portanto, temos que
y + yy′2 = C
e, obte´m-se a equac¸a˜o:
y′ =
√
C − y
y
,
onde a raiz sera´ positiva devido ao eixo y ser orientado positivamente para baixo e
a func¸a˜o ser crescente. Logo,
dy
dx
=
√
C − y
y
ou equivalentemente
dx
dy
=
√
y
C − y (2.19)
A partir deste ponto vamos introduzir a varia´vel φ, a qual representara´ o aˆngulo
formado entre a reta tangente a` curva no ponto P (x, y), onde a esfera se encontra
em cada instante t, e o eixo y, sendo que o aˆngulo φ varia a` medida que a esfera se
desloca pela referida curva, conforme mostra o esboc¸o a seguir:
29
Figura 7: Representac¸a˜o da curva y
Em seguida, podemos determinar a relac¸a˜o:
tanφ =
dx
dy
=
√
y
C − y
elevando ao quadrado os extremos desta equac¸a˜o temos que:
sin2 φ
cos2 φ
=
y
C − y
assim
C sin2 φ− y sin2 φ = y cos2 φ
de onde
y = C sin2 φ (2.20)
ou equivalentemente
y =
C
2
(1− cos 2φ).
Derivando y = C sin2 φ, temos
dy
dφ
= 2C sinφ cosφ
30
e, conforme (2.19), temos:
dx
dy
=
√
y
C − y
logo, aplicando a regra da cadeia
dx
dφ
=
dx
dy
dy
dφ
=
√
y
C − y 2C sinφ cosφ
substituindo y = C sin2 φ, temos:
dx
dφ
=
√
C sin2 φ
C − C sin2 φ2C sinφ cosφ
= C
√
sin2 φ
1− sin2 φ2 sinφ cosφ
= C
sinφ
cosφ
2 sinφ cosφ
= C(1− (1− 2 sin2 φ))
= C(1− cos 2φ)
Logo, dx = C(1− cos 2φ)dφ, e integrando esta equac¸a˜o temos que
x = C
∫
1 dφ−
∫
cos 2φ dφ
= C
(
φ− 1
2
sin 2φ
)
=
C
2
(2φ− sin 2φ)
Portanto, para que a esfera se desloque do ponto A ate´ o ponto B no menor inter-
valo de tempo poss´ıvel, sob a ac¸a˜o apenas da forc¸a da gravidade, e sem a ac¸a˜o da
forc¸a de atrito, ela devera´ se deslocar atrave´s da curva representada pelas equac¸o˜es
parame´tricas deduzidas anteriormente e mostradas a seguir:
x =
C
2
(2φ− sin 2φ)
y =
C
2
(1− cos 2φ)
(2.21)
31
Tais equac¸o˜es parame´tricas representam uma curva especial denominada Cicloide,
sobre a qual se tratara´ no pro´ximo cap´ıtulo.
32
Cap´ıtulo 3
Cicloide
3.1 A geometria da curva Cicloide
A curva Cicloide e´ uma curva especial e pode ser constru´ıda da seguinte forma:
Seja um c´ırculo de raio r posicionado sobre o eixo x, com um ponto P fixo em sua
borda. Considerando que o ponto fixo P esteja inicialmente sobre a origem dos eixos
do plano cartesiano xy, e que este c´ırculo role, sem deslizar, no sentido positivo do
eixo x, a curva descrita pelo ponto P durante a rolagem do c´ırculo e´ denominada
Cicloide.
A Cicloide e´ uma curva que foi estudada inicialmente no se´culo XV por Nicholas
Cusa (1401-1464) quando ele buscava determinar a a´rea de um c´ırculo atrave´s da
integrac¸a˜o. Outro matema´tico, Charles de Bovelles (1475-1566), foi um dos que
avanc¸ou no estudo da Cicloide, e em um trabalho de geometria publicado em Paris
em 1501, se referiu a essa curva relacionando-a com o “Problema da Quadratura do
C´ırculo”. Os primeiros estudos rigorosos sobre a Cicloide que se tem conhecimento
sa˜o devidos aos matema´ticos Giles Person de Roberval (1602-1675), a Blaise Pascal
(1623-1662) e a Evangelista Torricelli (1608-1647), um disc´ıpulo de Galileu Galilei
(1564-1642). O pro´prio Galileu tambe´m estudou a curva Cicloide, sendo inclusive o
primeiro a denomina´-la de Cicloide em 1599, quando referiu-se a sua forma graciosa,
sugerindo-a para compor o perfil dos arcos de construc¸o˜es em arquitetura.
33
Figura 8: Formac¸a˜o da curva cicloide a partir da rolagem do c´ırculo.
Com o objetivo de se deduzir as equac¸o˜es parame´tricas da curva Cicloide, vamos
considerar um c´ırculo de raio r posicionado sobre o eixo x, de forma que na borda
deste c´ırculo tenha um ponto fixo denominado P (x, y), o qual se encontra posici-
onado inicialmente sobre a origem dos eixos. Considerando que este c´ırculo role,
sem deslizar, ao longo do eixo x, no sentido positivo, deduz-se, a seguir, as equac¸o˜es
parame´tricas da curva descrita pelo ponto P (x, y).
Figura 9: Rolagem do c´ırculo gerando a curva Cicloide
Determinando-se como paraˆmetro o aˆngulo central α, o qual e´ varia´vel e e´ for-
mado entre o segmento de reta vertical que possui como extremidades o centro do
c´ırculo e o eixo x e o segundo segmento de reta que possui como extremidades o
34
centro do c´ırculo e o ponto P que e´ fixo na borda do c´ırculo e muda de posic¸a˜o a`
medida que o c´ırculo rola. Considerando inicialmente que o ponto P esteja sobre a
origem dos eixos, com o aˆngulo α nulo, a partir da figura anterior percebe-se que
apo´s o c´ırculo ter girado α radianos ao rolar no sentido hora´rio ao longo do eixo x,
a distaˆncia que o c´ırculo rolou, a partir da origem, e´: |OT | = arcPT = rα e, dessa
forma, o centro do c´ırculo, durante a sua rolagem, tera´ como coordenadas, o ponto
C(rα, r).
Sejam (x, y) as coordenadas cartesianas do ponto P na borda do c´ırculo de raio
r. As equac¸o˜es parame´tricas da curva Cicloide, as quais possuem o aˆngulo central
α como paraˆmetro, sa˜o:
x = |OT | − |PQ|
= rα− r sinα
= r(α− sinα)
(3.1)
y = |TC| − |QC|
= r − r cosα
= r(1− cosα)
(3.2)
Na figura 10 podemos observar a formac¸a˜o da curva Cicloide invertida, a qual e´
gerada a partir do movimento de um ponto fixo posicionado na borda de um c´ırculo
que rola sob o eixo horizontal.
Figura 10: A curva Cicloide invertida
35
Retornando a`s equac¸o˜es parame´tricas da Cicloide que foram representadas em (3.1)
e (3.2), as mesmas tambe´m podem ser parametrizadas pelo aˆngulo φ que e´ formado
pela reta tangente a` curva Cicloide no ponto P , o qual que muda de posic¸a˜o a cada
instante durante a rolagem do c´ırculo e o eixo vertical y. Pode-se observar na figura
a seguir que o triaˆngulo CPG e´ iso´sceles, pois, os aˆngulos relativos aos ve´rtices P e
G sa˜o congruentes, portanto, em relac¸a˜o aos aˆngulos α e φ temos que:
α = 2φ (3.3)
Figura 11: Evidenciando a relac¸a˜o entre os aˆngulos φ e α
E, a partir da relac¸a˜o (3.3), as equac¸o˜es parame´tricas (3.1) e (3.2) tambe´m podem
ser parametrizadas pelo aˆngulo φ, conforme segue:
x = r(2φ− sin 2φ) e y = r(1− cos 2φ).
3.2 A Cicloide e´ tauto´crona
Tauto´crona, do grego “tautos”que significa mesmo e “chronos”que significa tempo,
e´ a propriedade da curva que, independentemente da posic¸a˜o em que se coloque uma
esfera sobre ela, por exemplo, o tempo que esta esfera, partindo do repouso, leva
36
para se deslocar ate´ o ponto mı´nimo da curva sera´ sempre o mesmo, ou seja, o
tempo de deslocamento da esfera ate´ o ponto mais baixo da curva na˜o dependera´
da posic¸a˜o na qual a esfera ira´ iniciar o seu deslocamento, considerando que a esfera
esteja sujeita apenas a` forc¸a da gravidade e sem a interfereˆncia do atrito.
O “Problema da Tauto´crona”surgiu em 1673 quando Christian Huygens (1629−
1695) se dedicava a construc¸a˜o de um relo´gio de peˆndulo, e a soluc¸a˜o deste pro-
blema foi dada pelo pro´prio Huygens quando demonstrou, geometricamente, que a
curva que possu´ıa a propriedade tauto´crona era a Cicloide, e, portanto, ale´m de
ser a soluc¸a˜o do Problema da Braquisto´crona, a curva Cicloide tambe´m apresenta a
propriedade tauto´crona, como sera´ demonstrado nesta monografia. Considerando-se
uma situac¸a˜o, representada pela figura 11, onde uma esfera de massa m, inicialmente
em repouso e partindo de um ponto inicial A(x(αA), y(αA)), com αA ∈ [0, pi], se des-
loque sobre uma curva Cicloide invertida, tal que A(x(αA), y(αA)) corresponda a`
posic¸a˜o inicial da esfera, e tomando como refereˆncia o aˆngulo central α do c´ırculo
gerador da respectiva curva, e considerando que, posteriormente, essa esfera venha
a atingir o ponto mı´nimo da curva, onde α = pi.
Para fins de simplificac¸a˜o, considera-se que a esfera se desloca no plano vertical,
sem a ac¸a˜o do atrito, com o eixo y direcionado com o sentido positivo verticalmente
para baixo. Inicialmente, calcula-se o tempo que a esfera demora para efetuar o
movimento que inicia-se em um ponto qualquer da curva e finaliza no ponto mı´nimo
desta, onde α = pi.
Recorrendo ao “Princ´ıpio da Conservac¸a˜o da Energia”, sabemos que ao longo da
trajeto´ria a energia mecaˆnica da esfera se conserva, tendo-se:
Emecaˆnica = EPotencial + ECine´tica.
No ponto A a energia cine´tica da esfera de massa m e´ nula, pois, considera-se que a
mesma esta´ inicialmente em repouso.
Sendo v a velocidade da esfera num ponto gene´rico P (x(α), y(α)) da curva de
paraˆmetro α, com α ∈ [αA, pi] e h = y(α) − y(αA), onde α representa o aˆngulo
central varia´vel, conforme mostra a figura 3.1 temos v2(t) =
2mgh
m
= 2gh. Logo
37
v =
√
2gh
=
√
2g(y(α)− y(αA))
=
√
2g(R−R cosα−R +R cosα)
=
√
2gR(cosαA − cosα).
(3.4)
Substituindo a relac¸a˜o trigonome´trica:
2 cos2
α
2
− 1 = cosα,
na equac¸a˜o (3.4), obtemos:
v =
√
2gR
(
2 cos2
αA
2
− 1− 2 cos2 α
2
+ 1
)
=
√
4gR
(
cos2
αA
2
− cos2 α
2
)
= 2
√
gR
(
cos2
αA
2
− cos2 α
2
)
.
(3.5)
Por outro lado, sendo s a func¸a˜o comprimento do arco percorrido pela esfera do
ponto A ate´ o ponto mais baixo da curva, temos que sendo que
v(t) =
ds
dt
(t).
Derivando as equac¸o˜es (3.1) e (3.2) em relac¸a˜o a` α, temos que
dx
dα
= r(1− cosα) (3.6)
dy
dα
= r sinα (3.7)
Agora, pela definic¸a˜o de comprimento do arco de uma curva parametrizada
(veja [6, p. 602]) e por (3.6) e (3.7), temos que
38
s =
∫ α
0
√(
dx
dα
)2
+
(
dy
dα
)2
dα
=
∫ α
0
√
[r(1− cosα)]2 + (r sinα)2dα
=
∫ α
0
√
r2(2− 2 cosα)dθ
=
√
2r
∫ α
0
√
1− cosαdα.
(3.8)
Recordemos que
sin
α
2
=
√
1− cosα
2
,
de onde √
1− cosα =
√
2 sin
α
2
.
Enta˜o, substituindo esta expressa˜o em (3.8), temos
s = 2r
∫ α
0
sin
α
2
dα,
e derivando respeito de α
ds
dα
= 2r sin
α
2
de onde segue
ds = 2r sin
α
2
dα. (3.9)
Como v(t) =
ds
dt
, segue que dt =
ds
v(t)
enta˜o, substituindo (3.9) e (3.5) nesta equac¸a˜o
teremos
dt =
2r sin
α
2
dα
2
√
gr
(
cos2
αA
2
− cos2 α
2
) (3.10)
39
integrando ambos os membros de (3.10), temos
t =
√
r
g
pi∫
αA
sin
α
2√
cos2
αA
2
− cos2 α
2
dα
=
√
r
g
pi∫
αA
sin
α
2
cos
αA
2
√√√√√1− cos2 α2
cos2
αA
2
dα
= 2
√
r
g
−arcsin cos α2
cos
αA
2
pi
αA
= pi
√
r
g
.
Podemos enta˜o concluir que o tempo que a esfera leva para deslocar-se do ponto de
partida A(x(αA), y(αA)), seja ele onde for, com αA ∈ [0, pi], ate´ o ponto mais baixo
da curva, sera´ sempre o mesmo, na˜o dependendo do ponto de partida da esfera, de
forma que se conclui que a Cicloide possui a propriedade tauto´crona.
Figura 12: Esferas que partem do repouso sobre a curva Cicloide.
40
A partir da propriedade tauto´crona da Cicloide podemos construir um interes-
sante so´lido e denomina´-lo de Cuba Tauto´crona, a qual sera´ gerada atrave´s da rotac¸a˜o
completa de uma curva Cicloide invertida em torno de um eixo vertical que passa
pelo seu ponto mı´nimo. Apo´s a gerac¸a˜o deste so´lido, representado pela figura 13,
pode-se verificar que o mesmo tera´ forma de uma cuba e apresentara´ a interessante
propriedade tauto´crona, de forma que, colocando-se esferas no interior da referida
cuba, em qualquer posic¸a˜o, pode-se verificar que, apo´s abandona´-las simultanea-
mente do repouso, de forma que se desloquem em direc¸a˜o ao ponto inferior da cuba,
sujeitas apenas a` forc¸a gravitacional, todas elas atingira˜o o ponto mais baixo da
cuba no mesmo instante, independentemente das posic¸o˜es iniciais nas quais estas
esferas foram colocadas dentro da cuba, pois, ao se deslocarem em direc¸a˜o ao ponto
inferior da cuba, as esferas estara˜o se deslocando sobre curvas Cicloides ideˆnticas e,
portanto, estara˜o sujeitas a` propriedade tauto´crona descrita anteriormente.
Figura 13: Cuba Tauto´crona
3.3 O uso do aplicativo Geogebra
Como podemos determinar, atrave´s do aplicativo Geogebra, a medida do raio de
um c´ırculo que devera´ gerar uma curva Cicloide que venha a interceptar um ponto
pre´-determinado no plano vertical?
Considera-se que o c´ırculo gerador da Cicloide encontra-se inicialmente posici-
onado sobre a origem dos eixos do plano cartesiano, e que, ao rolar sobre o eixo
41
horizontal, no sentido hora´rio, o mesmo gere uma curva Cicloide constru´ıda atrave´s
do deslocamento de um ponto fixo K de sua extremidade.
Com o objetivo de que a curva Cicloide gerada deva interceptar o ponto gene´rico
T (a; b), o qual, para efeito de simplificac¸a˜o, e´ localizado no primeiro quadrante do
plano vertical xy, e admitindo-se que existe um ponto fixo K sobre a borda de um
c´ırculo de raio desconhecido e que durante o seu movimento de rolagem no sentido
hora´rio sobre o eixo x, este ponto K ira´ gerar a Cicloide que devera´ interceptar o
referido ponto T (a; b). Admite-se tambe´m que o c´ırculo esteja com o seu ponto fixo
K posicionado inicialmente sobre a origem dos eixos cartesianos xy.
Soluc¸a˜o: Sendo as equac¸o˜es parame´tricas da Cicloide:
x = r(α− sinα)
y = r(1− cosα)
e substituindo as coordenadas do ponto T (a, b) nas mesmas, teremos:
a = r(α− sinα) e b = r(1− cosα).
De onde teremos:
r =
a
α− sinα e r =
b
1− cosα,
e, enta˜o, temos:
a
α− sinα =
b
1− cosα,
ou seja:
a(1− cosα) = b(α− sinα). (3.11)
Atrave´s do aplicativo Geogebra e´ poss´ıvel resolver esta equac¸a˜o determinando-se
inicialmente a medida do aˆngulo α em radianos e, em seguida, basta substituir o
valor do aˆngulo α em qualquer das equac¸o˜es anteriores para se determinar o valor
correspondente do raio do c´ırculo procurado.
Com o objetivo de se dar um exemplo desta aplicac¸a˜o, vamos determinar a
medida do raio do c´ırculo que, durante a sua rolagem, um ponto fixo K de sua
extremidade, e que se encontra posicionado inicialmente na origem do plano cartesi-
ano, devera´ gerar uma curva Cicloide que devera´ interceptar o ponto N(3; 3). Sendo
42
as equac¸o˜es parame´tricas da Cicloide:
x = r(α− sinα)
y = r(1− cosα)
e substituindo as coordenadas do ponto N(3, 3) nas mesmas, teremos:
3 = r(α− sinα) e 3 = r(1− cosα).
Assim
r =
3
α− sinα e r =
3
1− cosα,
enta˜o:
3
α− sinα =
3
1− cosα,
ou seja:
α− sinα = 1− cosα (3.12)
Nesta etapa, vamos usar o aplicativo Geogebra para determinar o valor do aˆngulo
α (em radianos) que soluciona a equac¸a˜o (3.12), sendo que o resultado sera´ eviden-
ciado graficamente atrave´s das coordenadas do ponto de intersec¸a˜o entre as func¸o˜es
f(α) = α− sinα e g(α) = 1− cosα.
Na figura 14 podemos verificar a plotagem dos gra´ficos das func¸o˜es f(α) e g(α)
e as coordenadas dos pontos A e P onde os gra´ficos destas func¸o˜es se interceptam.
43
Figura 14: Intersec¸a˜o dos gra´ficos das func¸o˜es f(α) e g(α)
Atrave´s da ana´lise gra´fica citada, determinou-se que a soluc¸a˜o da equac¸a˜o se
verifica para α=0 e α=2,41 radianos, conforme e´ evidenciado pelas intersec¸o˜es nos
pontos A(0, 0) e P (2, 41; 1, 75).Em seguida, substituindo o valor de α = 2, 41 em
alguma das equac¸o˜es para r determinamos o valor do raio do c´ırculo gerador desta
Cicloide, que neste caso devera´ medir r = 1, 72.
Com o objetivo de se fazer a verificac¸a˜o, utilizou-se novamente o aplicativo Geo-
gebra na construc¸a˜o de um c´ırculo com o raio r = 1, 72 e com o ponto fixo K de sua
borda posicionado inicialmente na origem dos eixos cartesianos, e, na sequeˆncia, efe-
tuando a rolagem deste c´ırculo, ficou constatado que a curva Cicloide gerada passa
pelo ponto N(3, 3), conforme se evidencia na figura 15.
44
Figura 15: Gra´fico da curva Cicloide
45
Refereˆncias Bibliogra´ficas
[1] G. G. Garbi, “A Rainha das Cieˆncias,” 2006.
[2] J. STEWART, “Ca´lculo, vol. 1, 7a edic¸a˜o,” CENGAGE Learning, 2013.
[3] L. ELSGOLTZ, “Ecuaciones diferenciales y ca´lculo variacional,” 1975.
[4] J. M. B. FILARDO and M. S. D. CATTANI, “Elementos de f´ısica e matema´tica
1a edic¸a˜o,” vol. 2, 2011.
[5] E. L. Lima, Ana´lise Real, vol. 2. IMPA, 1997.
[6] J. STEWART, “Ca´lculo-vol. ii. 6a edic¸a˜o,” Sa˜o Paulo: Thomson, vol. 2, 2013.
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