Distribuic¸a˜o Marshall-Olkin Normal e Aplicac¸o˜es
Gabriela Oliveira
Orientador: Prof. Fredy Walther Castellares Ca´ceres
Coorientador: Profa. Lourdes Coral Contreras Montenegro
A´rea de Concentrac¸a˜o: Estat´ıstica Matema´tica
Dissertac¸a˜o apresentada para a obtenc¸a˜o do grau de mestre
em estat´ıstica pela Universidade Federal de Minas Gerais
Belo Horizonte, fevereiro de 2014
Distribuic¸a˜o Marshall-Olkin Normal e Aplicac¸o˜es
Esta versa˜o da dissertac¸a˜o conte´m as correc¸o˜es e alterac¸o˜es sugeridas
pela Comissa˜o Julgadora durante a defesa da versa˜o original do trabalho,
realizada em 27/02/2014. Uma co´pia da versa˜o original esta´ dispon´ıvel no
Departamento de Estat´ıstica da Universidade Federal de Minas Gerais.
Comissa˜o Julgadora:
• Prof. Fredy Walther Castellares Ca´ceres (orientador) - UFMG
• Profa. Lourdes Coral Contreras Montenegro (coorientadora)- UFMG
• Prof. Marcos Antonio da Cunha Santos - UFMG
• Prof. Artur Jose´ Lemonte - UFPE
Agradecimentos
Ao longo desses sete anos que se passaram desde a graduac¸a˜o na matema´tica ate´ a con-
clusa˜o dessa dissertac¸a˜o, diversas pessoas me guiaram direta e indiretamente nessa jornada pela
UFMG.
Agradec¸o a toda a minha famı´lia, em especial a` tia Lilian, minha maior influeˆncia pela
escolha da matema´tica.
Aos meus amigos e aos colegas da matema´tica, pelas conversas, cafe´s, risadas e pelos brin-
des a` passagem. Em especial, quero agradecer de corac¸a˜o ao meu namorado Bruno e a`s minhas
queridas amigas Denise, Giovanna, Lorena, Luciana e Marina por estarem sempre comigo, na
alegria e na tristeza, escutando minhas lamentac¸o˜es e e´ claro por toda amizade e companhei-
rismo. Com voceˆs tudo foi mais feliz!
Ao meu orientador Fredy Walther Castellares Ca´ceres e a` minha coorientadora Lourdes
Coral Contreras Montenegro, por confiarem no meu trabalho e pelo aprendizado ao longo do
mestrado.
Aos membros da banca examinadora, professores Marcos Antonio da Cunha Santos (UFMG)
e Artur Jose´ Lemonte (UFPE), pela participac¸a˜o e sugesto˜es.
Aos professores do departamento de matema´tica da UFMG, pelos conhecimentos transmi-
tidos, em especial ao professor mais bem humorado da universidade, Fabio Enrique Brochero
Martinez, pelas inu´meras du´vidas esclarecidas, conversas e risadas.
Aos professores, colegas e funciona´rios do departamento de estat´ıstica da UFMG, pelo apoio
e conhecimentos compartilhados.
Por fim, quero agradecer a` FAPEMIG pela bolsa de mestrado.
A` todos voceˆs, meu MUITO OBRIGADA!
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ii
Resumo
OLIVEIRA, G. Distribuic¸a˜o Marshall-Olkin Normal. 2014. Dissertac¸a˜o (Mestrado) - Ins-
tituto de Cieˆncias Exatas, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2014.
Marshall e Olkin em 1997 introduziram uma nova famı´lia de distribuic¸o˜es adicionando um
novo paraˆmetro em uma distribuic¸a˜o primitiva ja´ existente. Entretanto, os autores na˜o estu-
daram as propriedades gerais desta nova famı´lia de distribuic¸o˜es. Neste trabalho, foi estudada
uma generalizac¸a˜o da famı´lia normal utilizando o mecanismo de Marshall-Olkin, denominada
de distribuic¸a˜o Marshall-Olkin normal (MON). Para esta distribuic¸a˜o obteve-se as principais
propriedades matema´ticas, como expanso˜es gerais para as func¸o˜es de densidade de probabili-
dade e de distribuic¸a˜o acumulada. Expresso˜es dos estimadores de ma´xima verossimilhanc¸a dos
paraˆmetros, matriz de informac¸a˜o esperada e identificabilidade do modelo foram apresentadas.
A utilidade dessa distribuic¸a˜o e´ ilustrada atrave´s de um conjunto de dados, mostrando que a
distribuic¸a˜o MON e´ mais flex´ıvel do que outras distribuic¸o˜es existentes na literatura como as
distribuic¸o˜es log´ıstica, t-Student e Cauchy.
iii
iv
Abstract
OLIVEIRA, G. Marshall-Olkin Normal Distribution. 2014. Dissertac¸a˜o (Mestrado) - Ins-
tituto de Cieˆncias Exatas, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2014.
Marshall and Olkin in 1997 introduced a new family of distributions by adding a new
parameter in a primitive distribution G(x). However, the authors did not study the general
properties of this new family of distributions. In this work, a generalization of the normal fa-
mily using the mechanism of Marshall-Olkin called normal Marshall-Olkin (MON) distribution
was studied. For this distribution we obtained the mathematical properties, such as general
expansions for the probability density functions and cumulative distribution, expressions of
the maximum likelihood estimators of the parameters, the expected information matrix and
identifiability. The usefulness of this distribution is illustrated by a set of data showing that
the MON distribution is more flexible than other existing distributions in the literature as the
logistic, Student t and Cauchy distributions.
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vi
Suma´rio
Lista de Figuras ix
Lista de Tabelas xi
1 Introduc¸a˜o 1
2 Distribuic¸a˜o Marshall-Olkin 3
2.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Func¸a˜o densidade de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Expanso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Sobreviveˆncia e risco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6 Func¸a˜o Quant´ılica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Distribuic¸a˜o Marshall-Olkin Normal 13
3.1 Func¸o˜es de distribuic¸a˜o acumulada e de densidade de probabilidade . . . . . . . 13
3.2 Func¸a˜o de sobreviveˆncia e func¸a˜o de risco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Propriedades da distribuic¸a˜o MON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.1 Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.2 Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.5 Variaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.6 Assimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.7 Curtose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.8 Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.9 Identificabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 Infereˆncia 41
4.1 Estimac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
vii
viii SUMA´RIO
4.1.1 Estimac¸a˜o pontual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1.2 Algoritmo de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.1.3 Func¸a˜o escore e informac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1.4 Estimac¸a˜o intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Testes de hipo´teses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.1 Teste da raza˜o verossimilhanc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.2 Teste da raza˜o de verossimilhanc¸a generalizada . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.3 Teste bondade do ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Crite´rios de selec¸a˜o de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3.1 Crite´rio de informac¸a˜o de Akaike - AIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3.2 Crite´rio de informac¸a˜o de Akaike corrigido - AICc . . . . . . . . . . . . . 50
4.3.3 Crite´rio Bayesiano de Schwarz - BIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5 Simulac¸a˜o e Aplicac¸a˜o 51
5.1 Simulac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6 Concluso˜es e discusso˜es 57
A 63
Apeˆndice 63
A.1 Terceiro momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
A.2 Quarto momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
B 69
Apeˆndice 69
C 71
Apeˆndice 71
Lista de Figuras
3.1 Gra´fico da func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada da distribuic¸a˜o MON para alguns
valores de p, µ e σ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Gra´fico da func¸a˜o densidade de probabilidade da distribuic¸a˜o MON para alguns
valores de p, µ e σ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Gra´fico da func¸a˜o de risco da distribuic¸a˜o MON para alguns valores de p, µ e σ. 16
3.4 Derivada segunda da func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de uma varia´vel aleato´ria
com distribuic¸a˜o MON para alguns valores dos paraˆmetros. . . . . . . . . . . . . 18
3.5 Gra´fico da moda e mediana de X ∼MON(p, 0, 1) para diferentes valores de p. . 19
3.6 Variaˆncia de uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o MON padra˜o para diferentes
valores de p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.7 Medidas de assimetria da distribuic¸a˜o MON: (a) terceiro momento padronizado;
(b) medida de assimetria de Pearson; (c) medida de assimetria AG . . . . . . . . 32
3.8 Curtose da distribuic¸a˜o MON padra˜o para determinados valores de p. . . . . . . 32
4.1 Superf´ıcie da func¸a˜o de verossimilhanc¸a fixando p = 0, 5 e p = 2 . . . . . . . . . 43
4.2 Superf´ıcie da func¸a˜o de verossimilhanc¸a fixando µ = −2 e µ = 2. . . . . . . . . . 43
4.3 Superf´ıcie da func¸a˜o de verossimilhanc¸a fixando σ = 2. . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1 Gra´ficos da func¸a˜o densidade exata da distribuic¸a˜o MON com histogramas para
dados simulados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2 Histograma do conjunto de dados de fibras de carbono com as func¸o˜es de densi-
dades de probabilidades dos modelos MON, normal, log´ıstica, t-Student e Cauchy. 54
C.1 Histograma dos dados de fibras de carbono com as func¸o˜es de densidades de
probabilidades substituindo-se as EMVs dos modelos MON, normal, skew-normal
e normal-poteˆncia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
ix
x LISTA DE FIGURAS
Lista de Tabelas
3.1 Primeiro momento da distribuic¸a˜o MON padra˜o para alguns valores de p. . . . . 26
5.1 EMVs dos paraˆmetros dos modelos MON, normal, log´ıstica, t-Student e Cauchy
para dados de fibras de carbono, correspondentes erros-padra˜o (entre pareˆnteses),
log-verossimilhanc¸a e valores dos AIC, BIC, AICc. . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2 Teste bondade do ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3 Teste de Kolmogorov-Smirnov para as distribuic¸o˜es testadas . . . . . . . . . . . 55
C.1 EMVs dos paraˆmetros dos modelos MON, normal, NP, SN e SNB para dados de
IQ Scores OITS, correspondentes erros-padra˜o (entre pareˆnteses) e valores dos
AIC, BIC e CAIC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
C.2 Teste de Hipo´teses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
C.3 Teste de Kolmogorov-Smirnov para as distribuic¸o˜es testadas. . . . . . . . . . . . 72
xi
xii LISTA DE TABELAS
Cap´ıtulo 1
Introduc¸a˜o
Modelos probabil´ısticos utilizando distribuic¸o˜es generalizadas de probabilidade surgiram na
literatura pela primeira vez em 1895 com Karl Pearson quando ele propoˆs uma famı´lia de
distribuic¸o˜es a qual inclu´ıa diversas distribuic¸o˜es de probabilidade. No se´culo passado, apo´s a
formalizac¸a˜o das te´cnicas da estat´ıstica matema´tica foram definidas e estudadas va´rias famı´lias
de distribuic¸o˜es de probabilidade. Entre as principais refereˆncias podem ser consultados Ord
(1972), Mardia (1972, 2000), Patil (1975, 1981), Johnson et al. (1994, 2000, 2005). Atualmente
tem sido publicados artigos em revistas especializadas propondo famı´lias de distribuic¸o˜es de
probabilidade generalizadas e que ainda na˜o foram publicadas em livros texto ou manuais de
distribuic¸o˜es. Este cont´ınuo interesse em definir novas distribuic¸o˜es de probabilidade mostra que
este e´ um tema atual e que o estudo sistema´tico das propriedades e infereˆncia destas famı´lias
merece atenc¸a˜o.
Marshall e Olkin (1997) propuseram um me´todo para adicionar um novo paraˆmetro com
valor positivo em uma distribuic¸a˜o primitiva G(x) ja´ existente cuja distribuic¸a˜o resultante sera´
denominada de distribuic¸a˜o Marshall-Olkin generalizada (MO). Alguns casos particulares desta
distribuic¸a˜o teˆm sido discutidos na literatura tomando G(x) como as distribuic¸o˜es Pareto (Alice
et al. 2003-2004, Ghitany 2005), Weibull (Jose et al. 2001, Alice et al. 2005, Ghitany et al. 2005,
Jose et al. 2009-2010), gamma (Ristic´ et al. 2007), Lomax (Ghitany et al. 2007), exponencial
(Alice et al. 2004) e a distribuic¸a˜o de taxa de falha linear (Ghitany e Kotz 2007). Outras
extenso˜es e generalizac¸o˜es da famı´lia de distribuic¸o˜es Marshall-Olkin foram apresentadas por
Lam e Leung (2001), Economou e Caroni (2007), Gupta e Peng (2009), Go´mez- De´niz (2010),
Caroni (2010), Gupta et al. (2010), Nanda e Das (2012). Mais recentemente Barreto-Souza et
al. (2013) derivam propriedades gerais desta distribuic¸a˜o.
O objetivo do presente trabalho e´ estudar a distribuic¸a˜o Marshall-Olkin normal (denotada
por MON), a qual e´ definida aplicando-se a transformac¸a˜o Marshall-Olkin com G(x) sendo a
distribuic¸a˜o normal. Esta distribuic¸a˜o foi proposta inicialmente por Garc´ıa et al. (2010) onde
eles investigaram o comportamento do paraˆmetro adicional como um paraˆmetro de assimetria.
Garc´ıa et al. (2010) afirmaram que a distribuic¸a˜o MON compete com distribuic¸o˜es assime´tricas
tais como skew-normal e skew-normal Balakrishnan. Posteriormente, Maiti e Dey (2012) propu-
seram a mesma distribuic¸a˜o que Garc´ıa et al. (2010) (curiosamente sem cita´-los) e a chamaram
de distribuic¸a˜o tilted normal com o objetivo de modelar dados de sobreviveˆncia. No mesmo ano,
Rubio e Stell (2012) analisaram o uso da transformac¸a˜o Marshall-Olkin como um mecanismo
de introduzir assimetria. Estes autores mostraram que se esse mecanismo e´ aplicado em distri-
1
2 INTRODUC¸A˜O 1.0
buic¸o˜es primitivas sime´tricas a distribuic¸a˜o resultante na˜o e´ flex´ıvel para modelar dados com
assimetria moderada ou alta, contradizendo assim Garc´ıa et al. (2010) e Maiti e Dey (2012).
A principal motivac¸a˜o para escrever esta dissertac¸a˜o deve-se as afirmac¸o˜es contradito´rias
sobre o paraˆmetro adicional da nova distribuic¸a˜o Marshall-Olkin normal como mecanismo de
produzir assimetria. Uma outra motivac¸a˜o foi encontrar de forma rigorosa algumas propriedades
matema´ticas da nova distribuic¸a˜o incluindo a infereˆncia e a identificabilidade do modelo que
na˜o foram apresentadas por Garc´ıa et al. (2010), Maiti e Dey (2012) e Rubio e Stell (2012).
Neste trabalho, algumas contribuic¸o˜es para a distribuic¸a˜o Marshall-Olkin normal foram fei-
tas. A distribuic¸a˜o MON foi caracterizada como uma mistura de ma´ximos e mı´nimos aleato´rios
em que os coeficientes dessa mistura sa˜o as probabilidades de uma varia´vel aleato´ria com distri-
buic¸a˜o geome´trica. Os quatro primeiros momentos da distribuic¸a˜o MON foram representados
como combinac¸o˜es infinitas dos momentos do ma´ximo e mı´nimo da distribuic¸a˜o normal. Ex-
presso˜es para as entropias de Re´nyi e de Shannon foram apresentadas. Provou-se tambe´m que
o modelo MON e´ identifica´vel. Como ilustrac¸a˜o, foram feitas simulac¸o˜es e uma ana´lise de um
conjunto de dados real que mostrou que o modelo MON compete com as distribuic¸o˜es log´ıstica,
Cauchy e t-Student. Desta forma, a distribuic¸a˜o em estudo compete com distribuic¸o˜es com
caudas pesadas e curtose maior do que a distribuic¸a˜o normal.
O conteu´do da dissertac¸a˜o esta´ organizado em 6 cap´ıtulos e 3 apeˆndices. No Cap´ıtulo 2
e´ apresentado a distribuic¸a˜o Marshall-Olkin generalizada destacando-se as expanso˜es gerais
para as func¸o˜es de distribuic¸a˜o acumulada e de densidade de probabilidade. O Cap´ıtulo 3
introduz a distribuic¸a˜o Marshall-Olkin normal exibindo-se suas principais propriedades, entre
elas os momentos, entropia e a idenficabilidade do modelo. O Cap´ıtulo 4 aborda resultados de
infereˆncia tais como os estimadores de ma´xima verossimilhanc¸a, matriz de informac¸a˜o esperada,
testes de hipo´teses e alguns crite´rios de selec¸a˜o de modelos. O Cap´ıtulo 5 mostra simulac¸o˜es e
a ana´lise de um conjunto de dados reais para verificar a flexibilidade do modelo. As concluso˜es
sa˜o apresentadas no Cap´ıtulo 7. Nos apeˆndices A e B encontram-se as demonstrac¸o˜es de alguns
resultados mostrados neste trabalho. Por fim, no Apeˆndice C uma ana´lise do banco de dados
apresentado no artigo de Garc´ıa et al. (2010) e´ realizada.
Cap´ıtulo 2
Distribuic¸a˜o Marshall-Olkin
Existem diversos me´todos de introduzir um novo paraˆmetro para expandir famı´lias de distri-
buic¸o˜es para ter mais flexibilidade em um determinado modelo. Este cap´ıtulo mostra o me´todo
usado por Marshall e Olkin (1997) que acrescenta um novo paraˆmetro em uma distribuic¸a˜o
primitiva G definindo assim a distribuic¸a˜o Marshall-Olkin (MO). Algumas propriedades dessa
nova famı´lia de distribuic¸o˜es sera˜o apresentadas baseando-se nos artigos de Marshall e Olkin
(1997), Rubio e Stell (2012) e Castellares e Lemonte (2013). Dentre elas destaca-se a carac-
terizac¸a˜o da distribuic¸a˜o Marshall-Olkin como uma mistura de ma´ximos e mı´nimos de uma
quantidade aleato´ria da distribuic¸a˜o primitiva G.
2.1 Definic¸a˜o
Sejam G(x) a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada (fda) de uma varia´vel aleato´ria cont´ınua X e
S(x) = 1−G(x) sua func¸a˜o de sobreviveˆncia. Adicionando um novo paraˆmetro p > 0, Marshall
e Olkin (1997) introduziram uma nova famı´lia de distribuic¸o˜es generalizadas com func¸a˜o de
distribuic¸a˜o acumulada expressa por
F (x) =
G(x)
1− (1− p)S(x) =
p−1G(x)
1− (1− p−1)G(x) , x ∈ R, p > 0. (2.1)
A distribuic¸a˜o com func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada G(x) sera´ nomeada de distribuic¸a˜o primi-
tiva. A nova famı´lia de distribuic¸o˜es Marshall-Olkin, denotada por MO, generaliza a distribuic¸a˜o
primitiva G. De fato, a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada da distribuic¸a˜o MO coincide com G(x)
quando p = 1.
Para expresso˜es futuras sera´ utilizada a reparametrizac¸a˜o q = p−1, assim a func¸a˜o de dis-
tribuic¸a˜o acumulada F (x) pode ser reescrita como
F (x) =
qG(x)
1− (1− q)G(x) , x ∈ R, q > 0. (2.2)
3
4 DISTRIBUIC¸A˜O MARSHALL-OLKIN 2.3
2.2 Func¸a˜o densidade de probabilidade
As func¸o˜es de densidades de probabilidades correspondentes as func¸o˜es de distribuic¸o˜es
acumuladas F (x) definidas em (2.1) e (2.2) sa˜o representadas, respectivamente, por
f(x) =
pg(x)
[1− (1− p)S(x)]2 , x ∈ R, p > 0, (2.3)
f(x) =
qg(x)
[1− (1− q)G(x)]2 , x ∈ R, q > 0, (2.4)
em que g(x) e´ a func¸a˜o densidade de probabilidade (fdp) primitiva, isto e´, g(x) = dG(x)/dx.
2.3 Expanso˜es para as func¸o˜es de distribuic¸a˜o acumu-
lada e de densidade de probabilidade
Castellares e Lemonte (2013) propuseram expanso˜es para as func¸o˜es de distribuic¸a˜o acumulada
e de densidade de probabilidade da distribuic¸a˜o MO caracterizando-a como uma mistura de
ma´ximos e mı´nimos aleato´rios de uma quantidade aleato´ria da distribuic¸a˜o primitiva G. Para
essa caracterizac¸a˜o eles utilizaram lemas, proposic¸o˜es e teoremas que sera˜o apresentados nesta
sec¸a˜o com demonstrac¸o˜es detalhadas.
Seja {Xn, n ∈ N} uma sequeˆncia de varia´veis aleato´rias independentes e identicamente dis-
tribu´ıdas (i.i.d) em que cada varia´vel aleato´ria Xn tem como func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada
primitiva G. Denotando por N e M varia´veis aleato´rias independentes de {Xn, n ∈ N}, ambas
com distribuic¸o˜es geome´tricas de paraˆmetros p ∈ (0, 1] e q = p−1 (p > 1), respectivamente,
tem-se
P (N = n) = p(1− p)n−1, P (M = n) = q(1− q)n−1,
com n ∈ N.
Para a caracterizac¸a˜o proposta por eles e´ necessa´rio definir YN e ZM da forma
YN = min{X1, X2, ..., XN} e ZM = max{X1, X2, ..., XM}.
O Lema 1 mostra uma expressa˜o para a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada do mı´nimo de n
varia´veis aleato´rias com distribuic¸a˜o geome´trica de paraˆmetro p, em que 0 < p ≤ 1.
Lema 1. A func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de YN e´ dada por
FN(x) =
G(x)
1− (1− p)S(x) , x ∈ R, 0 < p ≤ 1.
Demonstrac¸a˜o.
2.3 EXPANSO˜ES 5
A func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de YN(x) e´ definida por
FN(x) = P (YN ≤ x) = 1− P (YN > x)
= 1−
∞∑
n=1
P (N = n)P (YN > x|N = n)
= 1−
∞∑
n=1
P (N = n)P (Yn > x)
= 1−
∞∑
n=1
p(1− p)n−1P (min{X1, X2, ..., Xn} > x)
= 1−
∞∑
n=1
p(1− p)n−1P (X1 > x,X2 > x, · · · , Xn > x)
= 1−
∞∑
n=1
p(1− p)n−1P (X1 > x)P (X2 > x) · · ·P (Xn > x)
= 1−
∞∑
n=1
p(1− p)n−1P (X1 > x)n
= 1−
∞∑
n=1
p(1− p)n−1S(x)n,
pois as varia´veis aleato´rias X ′is sa˜o independentes e a func¸a˜o de sobreviveˆncia S(x) e´ igual a
1−G(x). Como 0 < p ≤ 1 e 0 ≤ S(X) ≤ 1, a se´rie geome´trica converge e, desta forma,
FN(x) = 1− pS(x)
∞∑
n=1
(1− p)n−1S(x)n−1
= 1− pS(x)
∞∑
n=0
(1− p)nS(x)n
= 1− pS(x) 1
1− (1− p)S(x)
=
1− S(x)
1− (1− p)S(x) =
G(x)
1− (1− p)S(x) .
Analogamente, o Lema 2 mostra uma expressa˜o para a distribuic¸a˜o acumulada do ma´ximo
de n varia´veis aleato´rias com distribuic¸a˜o geome´trica com paraˆmetro 0 < q < 1, em que foi
utilizada a reparametrizac¸a˜o q = p−1 (quando p > 1).
Lema 2. A func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de ZM e´ dada por
FM(x) =
qG(x)
1− (1− q)G(x) , x ∈ R, 0 < q < 1.
6 DISTRIBUIC¸A˜O MARSHALL-OLKIN 2.3
Demonstrac¸a˜o.
A func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de ZM(x) e´ definida por
FM(x) = P (YM ≤ x) =
∞∑
n=1
P (M = n)P (YM ≤ x|M = n)
=
∞∑
n=1
P (M = n)P (Yn ≤ x)
=
∞∑
n=1
q(1− q)n−1P (max{X1, X2, ..., Xn} ≤ x)
=
∞∑
n=1
q(1− q)n−1P (X1 ≤ x)P (X2 ≤ x) · · ·P (Xn ≤ x)
=
∞∑
n=1
q(1− q)n−1P (X1 ≤ x)n
=
∞∑
n=1
q(1− q)n−1G(x)n,
pois as varia´veis aleato´rias Xi’s sa˜o ideˆnticas e independentes. Como 0 < q < 1 e 0 ≤ G(x) ≤ 1,
a se´rie geome´trica e´ convergente e, portanto,
FM(x) = qG(x)
∞∑
n=1
(1− q)n−1G(x)n−1
= qG(x)
∞∑
n=0
(1− q)nG(x)n
= qG(x)
1
1− (1− q)G(x)
=
qG(x)
1− (1− q)G(x) .
Utilizando o Lema 1 e o Lema 2, pode ser definida uma nova func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada
na qual e´ poss´ıvel observar uma semelhanc¸a com a distribuic¸a˜o MO, como mostra o Lema 3 a
seguir.
Lema 3. Sob as definic¸o˜es anteriores, existe a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada representada
por
F (x;α) =

G(x)
1− (1− α)S(x) , se 0 < α ≤ 1,
α−1G(x)
1− (1− α−1)G(x) =
G(x)
1− (1− α)S(x) , se α > 1.
(2.5)
Demonstrac¸a˜o.
2.3 EXPANSO˜ES 7
Escrevendo α = p e F (x;α) = FN(x) quando 0 < p ≤ 1, pelo Lema 1 tem-se
F (x;α) = FN(x) =
G(x)
1− (1− α)S(x) .
Se p > 1 considere a reparametrizac¸a˜o q = p−1. Desta forma, escrevendo α = q−1 > 1 e
substituindo FM(x) por F (x;α) no Lema 2, a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de M pode ser
expressa como
F (x;α) = FM(x) =
α−1G(x)
1− (1− α−1)G(x) =
G(x)
1− (1− α)S(x) .
A proposic¸a˜o a seguir mostra que se uma varia´vel aleato´ria tem func¸a˜o de distribuic¸a˜o
acumulada representada por (2.5) enta˜o X tem distribuic¸a˜o MO.
Proposic¸a˜o 1. Se X e´ uma varia´vel aleato´ria com func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada da forma
(2.5), enta˜o, X segue uma distribuic¸a˜o MO.
Demonstrac¸a˜o.
Para 0 < α ≤ 1 defina α = p e quando α > 1, α = q−1 (0 < q < 1). Pelo Lema (3),
com essas mudanc¸as de paraˆmetros obteˆm-se exatamente a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada
definida por Marshall e Olkin (1997). Assim, a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada representada
em (2.5) pode ser reescrita como
F (x;α) =
G(x)
1− (1− α)S(x) , x ∈ R, α > 0.
Castellares e Lemonte (2013) caracterizaram a distribuic¸a˜o MO como uma mistura de
ma´ximos e mı´nimos aleato´rios de uma quantidade aleato´ria da distribuic¸a˜o primitiva G,em que
os coeficientes dessa mistura sa˜o as probabilidades de varia´veis aleato´rias independentes com
distribuic¸a˜o geome´trica, como sera´ apresentado a seguir. O Teorema 1 mostra uma expansa˜o
em se´rie para a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada da distribuic¸a˜o MO, quando o paraˆmetro p
assume valores entre 0 e 1.
Teorema 1. Se X tem distribuic¸a˜o MO, enta˜o a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada pode ser
representada como a mistura
F (x) =
∞∑
n=1
p(1− p)n−1{1− [1−G(x)]n}, x ∈ R, 0 < p ≤ 1,
em que os seus coeficientes sa˜o as probabilidades de N , ou seja, X e´ uma mistura de distri-
buic¸o˜es do mı´nimo.
Demonstrac¸a˜o.
Utilizando o Lema 1 e a Proposic¸a˜o 1 tem-se
8 DISTRIBUIC¸A˜O MARSHALL-OLKIN 2.3
F (x) = F (x, α) =
G(x)
1− (1− α)S(x)
= 1− pS(x)
∞∑
n=1
(1− p)n−1S(x)n−1
=
∞∑
n=1
p(1− p)n−1{1− [1−G(x)]n}.
Analogamente quando p > 1, utilizando a reparametrizac¸a˜o q = p−1, a func¸a˜o de distribuic¸a˜o
acumulada da distribuic¸a˜o MO pode ser representada como uma se´rie absolutamente conver-
gente como pode ser constatado no Teorema 2.
Teorema 2. Se X tem distribuic¸a˜o MO, enta˜o a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada pode ser
representada como a mistura
F (x) =
∞∑
n=1
q(1− q)n−1G(x)n, x ∈ R, 0 < q < 1,
em que os seus coeficientes sa˜o as probabilidades de M , ou seja, X e´ uma mistura de distri-
buic¸o˜es do ma´ximo.
Demonstrac¸a˜o.
Utilizando o Lema 2 e a Proposic¸a˜o 1 tem-se
F (x) = F (x;α) = FM(x) =
∞∑
n=1
q(1− q)n−1G(x)n.
O Teorema 1 e o Teorema 2 podem ser resumidos no Corola´rio 1, desta forma, tem-se uma
representac¸a˜o para a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada da distribuic¸a˜o MO como expanso˜es em
se´ries infinitas.
Corola´rio 1. Se X tem uma distribuic¸a˜o MO, enta˜o sua func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada
pode ser representada pelas se´ries
F (x) =
{
1−∑∞n=1 p(1− p)n−1S(x)n, se 0 < p ≤ 1,∑∞
n=1 q(1− q)n−1G(x)n, se q−1 = p > 1.
(2.6)
Derivando a expansa˜o em se´rie da func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada tem-se uma expansa˜o
para a func¸a˜o densidade de probabilidade de uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o MO, como
mostra o Teorema 3.
2.4 EXPANSO˜ES 9
Teorema 3. Se X segue uma distribuic¸a˜o MO com func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada (2.6),
enta˜o sua func¸a˜o densidade de probabilidade e´ representada por uma se´rie absolutamente con-
vergente da forma
f(x) =
{ ∑∞
n=0 p(1− p)n(n+ 1)g(x)S(x)n, se 0 < p ≤ 1,∑∞
n=0 q(1− q)n(n+ 1)g(x)G(x)n, se q−1 = p > 1.
(2.7)
Demonstrac¸a˜o.
Por (2.6) a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de X e´ representada por uma se´rie absoluta-
mente convergente, uma vez que a func¸a˜o de sobreviveˆncia S(x) e´ limitada (menor ou igual a
um) e a se´rie geome´trica converge (a se´rie da func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada e´ cotada por
um nu´mero real e desta forma e´ absolutamente convergente). Para obter a func¸a˜o densidade
de probabilidade e´ suficiente derivar (2.6) com respeito a x. Para 0 < p ≤ 1, fazendo-se uma
mudanc¸a no ı´ndice do somato´rio, a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada e´ expressa como
F (x; p) = 1−
∞∑
n=0
p(1− p)nS(x)n+1.
Calculando a derivada em relac¸a˜o a x tem-se que
f(x; p) =
∞∑
n=0
p(1− p)n(n+ 1)g(x)S(x)n.
Para q−1 = p > 1 a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de X e´ representada por
F (x; q) =
∞∑
n=0
q(1− q)nG(x)n+1.
Derivando tem-se
f(x; q) =
∞∑
n=0
q(1− q)n(n+ 1)g(x)G(x)n.
As expanso˜es (2.7) para a func¸a˜o densidade de probabilidade, apresentadas por Castellares e
Lemonte (2013), sa˜o fundamentais para se obter algumas propriedades matema´ticas da famı´lia
de distribuic¸o˜es MO. No Cap´ıtulo 3 essas expanso˜es sera˜o utilizadas para caracterizar a func¸a˜o
de distribuic¸a˜o Marshall-Olkin normal como uma mistura de ma´ximos e mı´nimos aleato´rios de
uma quantidade aleato´ria da distribuic¸a˜o normal.
10 DISTRIBUIC¸A˜O MARSHALL-OLKIN 2.4
2.4 Func¸a˜o de Sobreviveˆncia e func¸a˜o de risco
A func¸a˜o de sobreviveˆncia da famı´lia de distribuic¸a˜o MO com func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada
(2.1) e´ definida como
1− F (x) = F (x) = p[1−G(x)]
1− (1− p)[1−G(x)] =
pS(x)
1− (1− p)S(x) , x ∈ R, p > 0, (2.8)
em que S(x) = 1−G(x) denota a func¸a˜o de sobreviveˆncia da distribuic¸a˜o primitiva G.
A func¸a˜o de risco da famı´lia de distribuic¸a˜o MO para −∞ < x <∞ e´ expressa como
r(x; p) =
f(x)
F (x)
=
1
[1− (1− p)S(x)]
g(x)
S(x)
=
rG(x)
1− (1− p)S(x) , (2.9)
em que rG(x) =
g(x)
S(x)
e´ a func¸a˜o de risco da distribuic¸a˜o primitiva G.
A func¸a˜o de risco da nova distribuic¸a˜o possui algumas propriedades que foram apresentadas
por Marshall e Olkin (1997) que sera˜o dadas a seguir.
Seja R(x) a raza˜o r(x; p)/rG(x). Calculando a derivada R
′(x) tem-se que
R′(x) =
(p− 1)g(x)
[p+ (1− p)G(x)]2 ,
em que g(x) e´ a func¸a˜o densidade de probabilidade correspondente a` func¸a˜o de distribuic¸a˜o
acumulada primitiva G(x). Portando, a raza˜o r(x; p)/rG(x) e´ crescente em x para p > 1 e
decrescente quando 0 < p < 1, e para p = 1 e´ igual a zero.
Os limites infinitos da func¸a˜o de sobreviveˆncia S(x) sa˜o dados por
lim
x→−∞
S(x) = 1− lim
x→−∞
G(x) = 1
lim
x→∞
S(x) = 1− lim
x→∞
G(x) = 0.
Pelas propriedades de limites quando n vai para menos infinito, o limite para a func¸a˜o de risco
r(x; p) da distribuic¸a˜o MO e´ dado por
lim
x→−∞
r(x; p) =
lim
x→−∞
rG(x)
1− (1− p) lim
x→−∞
S(x)
= lim
x→−∞
rG(x)
p
.
Analogamente,
lim
x→+∞
r(x; p) =
lim
x→+∞
rG(x)
1− (1− p) lim
x→+∞
S(x)
= lim
x→+∞
rG(x).
2.5 MOMENTOS 11
No artigo de Marshall e Olkin (1997) sa˜o apresentadas as seguintes desigualdades que com-
param as func¸o˜es de risco e de sobreviveˆncia da distribuic¸a˜o primitiva G com as func¸o˜es de
risco e de sobreviveˆncia da distribuic¸a˜o MO.
rG(x)/p ≤ r(x; p) ≤ rG(x), (−∞ < x <∞, p ≥ 1), (2.10)
rG(x) ≤ r(x; p) ≤ rG(x)/p, (−∞ < x <∞, 0 < p ≤ 1). (2.11)
2.5 Momentos
Utilizando a representac¸a˜o em se´rie da func¸a˜o densidade de probabilidade mostrada na ex-
pressa˜o (2.7), tem-se que o s-e´simo momento da distribuic¸a˜o MO pode ser expresso como
E(Xs) =
{ ∑∞
n=0 p(1− p)n(n+ 1)
∫∞
−∞ x
sg(x)S(x)ndx, se 0 < p ≤ 1,∑∞
n=0 q(1− q)n(n+ 1)
∫∞
−∞ x
sg(x)G(x)ndx, se q−1 = p > 1.
. (2.12)
Rubio e Stell (2012) mostraram que a transformac¸a˜o na func¸a˜o de distribuic¸a˜o primitiva
preserva a existeˆncia dos momentos, como e´ apresentado no Teorema 4. A demonstrac¸a˜o e´
completada com detalhes.
Teorema 4. Os momentos da func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada da distribuic¸a˜o MO existem
exatamente para as mesmas ordens que os momentos da distribuic¸a˜o primitiva G.
Demonstrac¸a˜o. Se p < 1 segue que p[1−G(x)] < [1−G(x)] e enta˜o G(x) + p[1−G(x)] < 1.
Como G(x) + p[1−G(x)] e´ maior que zero, pode-se elevar ambos os lados da desigualdade ao
quadrado obtendo-se
{G(x) + p[1−G(x)]}2 < 1.
Multiplicando a desigualdade anterior por p e reorganizando os termos, tem-se que
p <
p
{G(x) + p[1−G(x)]}2 . (2.13)
Com efeito, G(x) > pG(x) e desta forma p < p + G(x) − pG(x). Sendo assim, p2 < {G(x) +
p[1−G(x)]}2 e portanto
p
{G(x) + p[1−G(x)]}2 <
1
p
. (2.14)
Reunindo as desigualdades (2.13) e (2.14) tem-se que
p <
p
{G(x) + p[1−G(x)]}2 <
1
p
.
Por outro lado, quando p > 1 segue que G(x)[1 − p] + p < p. Elevando ao quadrado os dois
membros desta u´ltima desigualdade o sinal se mante´m e desta forma
1
p
<
p
{G(x) + p[1−G(x)]}2 . (2.15)
12 DISTRIBUIC¸A˜O MARSHALL-OLKIN 2.6
Como p > 1 a desigualdade p[1−G(x)] > [1−G(x)] e´ verdadeira. Portanto, G(x)+p[1−G(x)] >
1 e a desigualdade e´ mantida quando eleva-se os dois lados da inequac¸a˜o ao quadrado, ou seja,
{G(x) + p[1−G(x)]}2 > 1 . Multiplicando ambos os lados por p resulta que
p
{G(x) + p[1−G(x)]}2 < p. (2.16)
Pelas desigualdades (2.15) e (2.16) segue que
1
p
<
p
{G(x) + p[1−G(x)]}2 < p.
Relembrando que a func¸a˜o densidade de probabilidade da distribuic¸a˜o MO e´ representada
por
f(x) =
pg(x)
{G(x) + p[1−G(x)]}2 ,
tem-se que
f(x) = K(x)g(x),
em que K(x) toma valores entre min{p, 1/p} e max{p, 1/p}. Desta forma, a transformac¸a˜o
MO preserva a existeˆncia dos momentos em relac¸a˜o a distribuic¸a˜o primitiva G, ou seja, possui
momentos de mesma ordem que os da distribuic¸a˜o G.
2.6 Func¸a˜o Quant´ılica
Castellares e Lemonte (2013) apresentam tambe´m a func¸a˜o quant´ılica para a distribuic¸a˜o MO,
representada pelas expresso˜es:
x = Q(u) = G−1
(
up
1− (1− p)u
)
, se u ∈ (0, 1), p > 0, (2.17)
ou
x = Q(u) = G−1
(
u
q + (1− q)u
)
, se u ∈ (0, 1), q > 0. (2.18)
No pro´ximo cap´ıtulo sera´ definida a distribuic¸a˜o MO normal em que os resultados apre-
sentados neste cap´ıtulo sera˜o utilizados para encontrar suas principais propriedades tais como
fo´rmulas expl´ıcitas para os momentos, entropia e identificabilidade, ate´ enta˜o na˜o presentes na
literatura.
Cap´ıtulo 3
Distribuic¸a˜o Marshall-Olkin Normal
Neste cap´ıtulo apresenta-se o modelo Marshall-Olkin normal (MON), em que sua func¸a˜o de dis-
tribuic¸a˜o acumulada sera´ caracterizada como uma mistura de ma´ximos e mı´nimos aleato´rios,
em que os coeficientes dessa mistura sa˜o as probabilidades de uma varia´vel aleato´ria com dis-
tribuic¸a˜o geome´trica. Destaca-se que esta representac¸a˜o e´ mais simples para encontrar propri-
edades anal´ıticas para esta distribuic¸a˜o do que as expanso˜es que foram obtidas por Garc´ıa et
al. (2010). Os quatro primeiros momentos da distribuic¸a˜o MON sa˜o representados como com-
binac¸o˜es infinitas dos momentos do ma´ximo e mı´nimo da distribuic¸a˜o normal e expresso˜es para
as entropias de Re´nyi e de Shannon tambe´m sa˜o obtidas. Vale a pena ressaltar a prova de
identificabilidade do modelo em estudo, o que na˜o e´ natural encontrar em diversas bibliografias
que trabalham com novas distribuic¸o˜es.
3.1 Func¸o˜es de distribuic¸a˜o acumulada e de densidade
de probabilidade
Uma varia´vel aleato´ria X tem distribuic¸a˜o Marshall-Olkin normal (MON) quando, nas de-
finic¸o˜es do cap´ıtulo anterior, tem-se G(x) = Φ(x;µ, σ), ou seja, a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acu-
mulada primitiva e´ a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada da distribuic¸a˜o normal. Se G(x) =
Φ(x; 0, 1), a distribuic¸a˜o sera´ nomeada de distribuic¸a˜o MON padra˜o.
A func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada e a func¸a˜o densidade de probabilidade da distribuic¸a˜o
MON sa˜o dadas, respectivamente, por
F (x; p, µ, σ) =
Φ(x−µ
σ
)
{1− (1− p)[1− Φ(x−µ
σ
)]} (3.1)
f(x; p, µ, σ) =
pφ(x−µ
σ
)
σ{1− (1− p)[1− Φ(x−µ
σ
)]}2 , (3.2)
com x ∈ R, µ ∈ R, p > 0 e σ > 0.
Utilizando as expanso˜es para as func¸o˜es de distribuic¸a˜o acumulada (2.6) e de densidade
de probabilidade (2.7) dadas no Cap´ıtulo 2 tem-se para a distribuic¸a˜o MON padra˜o as repre-
13
14 DISTRIBUIC¸A˜O MARSHALL-OLKIN NORMAL 3.1
sentac¸o˜es:
F (x; p, 0, 1) =
{
1−∑∞n=1 p(1− p)n−1[1− Φ(x)]n, se 0 < p ≤ 1,∑∞
n=1 q(1− q)n−1Φ(x)n, se q−1 = p > 1,
(3.3)
f(x; p, 0, 1) =
{ ∑∞
n=0 p(1− p)n(n+ 1)φ(x)[1− Φ(x)]n, se 0 < p ≤ 1,∑∞
n=0 q(1− q)n(n+ 1)φ(x)Φ(x)n, se q−1 = p > 1.
(3.4)
Essas representac¸o˜es para as func¸o˜es de distribuic¸a˜o acumulada (fda) e de densidade de pro-
babilidade (fdp) sera˜o utilizadas para o desenvolvimento dos momentos da distribuic¸a˜o MON
padra˜o em sec¸o˜es posteriores.
As Figuras 3.1 e 3.2 ilustram, respectivamente, algumas poss´ıveis formas da fda e da fdp
de uma varia´vel aleato´ria X com distribuic¸a˜o MON para determinados valores dos paraˆmetros,
incluindo a distribuic¸a˜o normal que e´ um caso particular da distribuic¸a˜o MON quando p = 1.
Observa-se que o gra´fico da func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada da distribuic¸a˜o MON e´ semelhante
a` curva da func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada da normal, pore´m, para 0 < p < 1, tem-se um
deslocamento para a esquerda, e, para p > 1, o deslocamento e´ para direita. Outra caracter´ıstica
da distribuic¸a˜o MON e´ que ela e´ mais alta (afunilada) e concentrada que a distribuic¸a˜o normal,
ou seja, uma simulac¸a˜o da distribuic¸a˜o MON pode gerar valores maiores que uma simulac¸a˜o
da distribuic¸a˜o normal.
−6 −4 −2 0 2 4 6
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
µ = 0 , σ = 1
x
F(
x)
p= 0.1
p= 0.5
p= 1
p= 2
p= 5
−10 −5 0 5 10
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
µ = − 3 , σ = 2
x
F(
x)
p= 0.1
p= 0.5
p= 1
p= 2
p= 5
Figura 3.1: Gra´fico da func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada da distribuic¸a˜o MON para alguns
valores de p, µ e σ.
3.2 FUNC¸A˜O DE SOBREVIVEˆNCIA E FUNC¸A˜O DE RISCO 15
−6 −4 −2 0 2 4 6
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
µ = 0 , σ = 1
x
f(x
)
p= 0.1
p= 0.5
p= 1
p= 2
p= 5
−15 −10 −5 0 5 10 15
0.
00
0.
02
0.
04
0.
06
0.
08
0.
10
0.
12
0.
14
µ = − 3 , σ = 2
x
f(x
)
p= 0.1
p= 0.5
p= 1
p= 2
p= 5
Figura 3.2: Gra´fico da func¸a˜o densidade de probabilidade da distribuic¸a˜o MON para alguns
valores de p, µ e σ.
3.2 Func¸a˜o de sobreviveˆncia e func¸a˜o de risco
As func¸o˜es de sobreviveˆncia e de risco sa˜o importantes func¸o˜es utilizadas para descrever estudos
em ana´lise de sobreviveˆncia e em confiabilidade. As func¸o˜es de sobreviveˆncia e de risco para
varia´vel aleato´ria X com distribuic¸a˜o MON podem ser escritas, respectivamente, como
F (x; p, µ, σ) =
p[1− Φ(x−µ
σ
)]
1− (1− p)[1− Φ(x−µ
σ
)]
,
r(x; p, µ, σ) =
φ
(
x−µ
σ
)
σ
[
1− Φ (x−µ
σ
)] {
1− (1− p)(1− Φ (x−µ
σ
)
]
} . (3.5)
A Figura 3.3 ilustra a func¸a˜o de risco para uma varia´vel aleato´ria X com distribuic¸a˜o MON
para alguns valores de p, µ e σ.
16 DISTRIBUIC¸A˜O MARSHALL-OLKIN NORMAL 3.3
−15 −10 −5 0 5 10 15
0
2
4
6
8
µ = − 5 , σ = 3
x
r(x
)
p= 0.1
p= 0.2
p= 0.3
p= 1
p= 2
p= 10
−20 −10 0 10 20
0
2
4
6
8
µ = − 1 , σ = 7
x
r(x
)
p= 0.1
p= 0.2
p= 0.3
p= 1
p= 2
p= 10
−6 −4 −2 0 2 4 6
0
2
4
6
8
µ = 0 , σ = 1
x
r(x
)
p= 0.1
p= 0.2
p= 0.3
p= 1
p= 2
p= 10
0 2 4 6
0
2
4
6
8
µ = 4 , σ = 0.5
x
r(x
)
p= 0.1
p= 0.2
p= 0.3
p= 1
p= 2
p= 10
Figura 3.3: Gra´fico da func¸a˜o de risco da distribuic¸a˜o MON para alguns valores de p, µ e σ.
3.3 PROPRIEDADES DA DISTRIBUIC¸A˜O MON 17
3.3 Propriedades da distribuic¸a˜o MON
3.3.1 Moda
A moda da distribuic¸a˜o MON pode ser obtida por meio da maximizac¸a˜o do logaritmo da func¸a˜o
densidade de probabilidade dada na expressa˜o (3.2), isto e´,
d
dx
[log f(x; p, µ, σ)] = −x− µ
σ2
− 2(1− p)φ(
x−µ
σ
)
1− (1− p)[1− Φ(x−µ
σ
)]
. (3.6)
Igualando a equac¸a˜o (3.6) a zero, pode-se encontrar o maior valor ou os valores mais frequentes
da varia´vel aleato´ria que representa a moda. Portanto, a moda da distribuic¸a˜o MON e´ dada
pela soluc¸a˜o da equac¸a˜o na˜o linear
x = − 2σ(1− p)φ(
x−µ
σ
)
1− (1− p)[1− Φ(x−µ
σ
)]
+ µ.
Em distribuic¸o˜es cont´ınuas a unimodalidade pode ser definida pelo comportamento da func¸a˜o de
distribuic¸a˜o acumulada. Se existe um M tal que a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada e´ convexa
para x < M e coˆncava se x > M enta˜o a distribuic¸a˜o e´ unimodal sendo M a moda. Para
determinar a concavidade de uma func¸a˜o e´ necessa´rio fazer a derivada segunda da func¸a˜o de
distribuic¸a˜o acumulada que sera´ denotada por F ′′(x; p, µ, σ). A derivada segunda da func¸a˜o de
distribuic¸a˜o acumulada de um varia´vel aleato´ria X com distribuic¸a˜o MON e´ dada por
F ′′(x; p, µ, σ) =
−pφ(x−µ
σ
)
[
(x− µ){1− (1− p)[1− Φ(x−µ
σ
)]}+ 2σ(1− p)φ(x−µ
σ
)
]
σ3{1− (1− p)[1− Φ(x−µ
σ
)]}3 . (3.7)
Nota-se que na˜o e´ poss´ıvel resolver analiticamente para que valores de x a derivada segunda
(3.7) e´ positiva ou negativa. Desta forma, alguns gra´ficos para F ′′(x; p, µ, σ) foram constru´ıdos
pelos quais tem-se evideˆncias nume´ricas que a distribuic¸a˜o MON e´ unimodal uma vez que
F ′′(x; p, µ, σ) muda de sinal (e´ coˆncava e convexa) apenas uma vez (um u´nico ponto cr´ıtico)
como mostra a Figura 3.4.
3.3.2 Mediana
A mediana e´ uma medida de tendeˆncia central que separa a metade inferior de uma amostra, de
uma populac¸a˜o, ou de uma distribuic¸a˜o de probabilidade, da outra metade superior. Denota-se
m como a mediana de uma distribuic¸a˜o de probabilidade se ela satisfaz
P (X ≤ m) ≥ 1
2
e P (X ≥ m) ≥ 1
2
. (3.8)
18 DISTRIBUIC¸A˜O MARSHALL-OLKIN NORMAL 3.3
−20 −10 0 10 20
−
0.
03
−
0.
02
−
0.
01
0.
00
0.
01
0.
02
0.
03
x
F''
(x)
p=0.2
µ=0
σ= 1
−20 −10 0 10 20
−
0.
03
−
0.
02
−
0.
01
0.
00
0.
01
0.
02
0.
03
x
F''
(x)
p=0.5
µ=2
σ= 2
−20 −10 0 10 20
−
0.
01
0
−
0.
00
5
0.
00
0
0.
00
5
x
F''
(x)
p=3
µ=−4
σ= 3
−30 −20 −10 0 10 20 30
−
0.
00
6
−
0.
00
4
−
0.
00
2
0.
00
0
0.
00
2
0.
00
4
x
F''
(x)
p=3
µ=−4
σ= 3
Figura 3.4: Derivada segunda da func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de uma varia´vel aleato´ria
com distribuic¸a˜o MON para alguns valores dos paraˆmetros.
Considerando X uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o MON padra˜o e resolvendo o sistema
de inequac¸o˜es (3.8), tem-se
P (X ≤ m) = Φ(x)
Φ(x) + p[1− Φ(x)] ≥
1
2
2Φ(x) ≥ Φ(x) + p[1− Φ(x)]
Φ(x) ≥ p
p+ 1
, (3.9)
pois Φ(x) + p[1− Φ(x)] e´ positivo para todo p. Por outro lado,
P (X ≥ m) = 1− Φ(x)
Φ(x) + p[1− Φ(x)] ≥
1
2
2[Φ(x) + p[1− Φ(x)]− Φ(x)] ≥ Φ(x) + p[1− Φ(x)]
Φ(x) ≤ p
p+ 1
. (3.10)
Enta˜o, pelas desigualdades (3.9) e (3.10), a mediana da distribuic¸a˜o MON padra˜o e´ dada por
Φ(m) =
p
1 + p
,
3.4 MOMENTOS 19
ou seja,
m = Φ−1
(
p
1 + p
)
.
Em outras palavras, a mediana m de uma distribuic¸a˜o MON padra˜o e´ o
p
1 + p
-e´simo quantil
de uma distribuic¸a˜o normal padra˜o. A Figura 3.5 mostra o gra´fico para a moda e mediana
de X com distribuic¸a˜o MON padra˜o para alguns valores de p. Pode-se observar que a medida
que o valor de p aumenta a distaˆncia entre a moda e a mediana fica maior, indicando que a
distribuic¸a˜o se afasta um pouco da simetria.
0 5 10 15
−
2
−
1
0
1
2
p
Va
lo
re
s
mediana
moda
Figura 3.5: Gra´fico da moda e mediana de X ∼MON(p, 0, 1) para diferentes valores de p.
3.4 Momentos
Nesta sec¸a˜o uma expressa˜o geral para calcular os momentos de primeira, segunda, terceira
e quarta ordens da distribuic¸a˜o MON padra˜o, como uma combinac¸a˜o infinita dos momentos
da distribuic¸a˜o normal, e´ apresentada. Ale´m disso, os primeiros termos dessas expanso˜es foram
calculados explicitamente. Estes resultados, ate´ o presente trabalho, na˜o estavam dispon´ıveis na
literatura. Para o desenvolvimento desses momentos utilizou-se alguns resultados apresentados
no artigo de Bose e Gupta (1959). Para o caso geral, os ca´lculos podem ser feitos de maneira
ana´loga fazendo-se a transformac¸a˜o X = σZ + µ, com X sendo uma varia´vel aleato´ria com
distribuic¸a˜o MON.
20 DISTRIBUIC¸A˜O MARSHALL-OLKIN NORMAL 3.4
Primeiro momento
O primeiro momento de uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o MON padra˜o utilizando a
expressa˜o (2.12) e´ dado por
E(X) =
{ ∑∞
n=0 p(1− p)n(n+ 1)
∫∞
−∞ xφ(x)[1− Φ(x)]ndx, se 0 < p ≤ 1,∑∞
n=0 q(1− q)n(n+ 1)
∫∞
−∞ xφ(x)Φ(x)
ndx, se q−1 = p > 1.
(3.11)
Para q−1 = p > 1 tem-se que
E(X) =
∞∑
n=0
q(1− q)n(n+ 1)
∫ ∞
−∞
xφ(x)[Φ(x)]ndx
= q
∫ ∞
−∞
xφ(x)dx+
∞∑
n=1
q(1− q)n(n+ 1)
∫ ∞
−∞
xφ(x)[Φ(x)]ndx
= 0 +
∞∑
n=1
q(1− q)n(n+ 1)
∫ ∞
−∞
xφ(x)[Φ(x)]ndx
=
∞∑
n=1
q(1− q)nµ′1(n+ 1, n+ 1), (3.12)
com µ′1(n + 1, n + 1) = (n + 1)
∫∞
−∞ xφ(x)[Φ(x)]
ndx representando o primeiro momento do
ma´ximo de n+ 1 varia´veis com distribuic¸a˜o normal padra˜o.
Bose e Gupta (1959) mostraram que µ′1(n+ 1, n+ 1) pode ser representado como
µ′1(n+ 1, n+ 1) =
(
n+1
2
)
pi
∫ ∞
−∞
[Φ(x)]n−1e−x
2
dx (3.13)
=
n(n+ 1)
2pi
∫ ∞
−∞
[Φ(x)]n−1e−x
2
dx,
e denotaram
In(a) =
∫ ∞
−∞
[Φ(ax)]ne−x
2
dx. (3.14)
Desta forma, o primeiro momento representado na expressa˜o (3.12) pode ser escrito como
E(X) =
∞∑
n=1
q(1− q)nn(n+ 1)
2pi
In−1(1). (3.15)
Para encontrar explicitamente os valores do primeiro momento do ma´ximo de n + 1 varia´veis
com distribuic¸a˜o normal padra˜o, os mesmos autores apresentaram uma fo´rmula de recorreˆncia
para os I ′ns dada na expressa˜o (3.16), a qual sera´ provada com detalhes.
Sabe-se que a func¸a˜o h(x) = Φ(ax) − 1
2
e´ uma func¸a˜o ı´mpar, enquanto que q(x) = e−x
2
e´ uma func¸a˜o par. Por sua vez, o produto dessas func¸o˜es e´ uma func¸a˜o ı´mpar e portanto sua
3.4 MOMENTOS 21
integral e´ zero. Desta forma, ∫ ∞
−∞
[
Φ(ax)− 1
2
]2m+1
e−x
2
dx = 0
Utilizando a expansa˜o do binoˆmio de Newton para
[
Φ(ax)− 1
2
]2m+1
, tem-se que∫ ∞
−∞
2m+1∑
r=0
(
2m+ 1
r
)
(−1)r
(
1
2
)r
Φ(ax)2m+1−re−x
2
dx = 0
∫ ∞
−∞
Φ(ax)2m+1e−x
2
dx+
∫ ∞
−∞
2m+1∑
r=1
(
2m+ 1
r
)
(−1)r
(
1
2
)r
Φ(ax)2m+1−re−x
2
dx = 0
I2m+1(a) +
∫ ∞
−∞
2m+1∑
r=1
(
2m+ 1
r
)
(−1)r
(
1
2
)r
Φ(ax)2m+1−re−x
2
dx = 0
I2m+1(a) = −
2m+1∑
r=1
(
2m+ 1
r
)
(−1)r
(
1
2
)r ∫ ∞
−∞
Φ(ax)2m+1−re−x
2
dx
I2m+1(a) =
2m+1∑
r=1
(
2m+ 1
r
)
(−1)r+1
(
1
2
)r
I2m+1−r(a). (3.16)
Fazendo n = 0 na expressa˜o (3.14) e substituindo m = 0 em (3.16), respectivamente, encontra-
se
I0(a) =
∫ ∞
−∞
e−x
2
dx =
√
pi
∫ ∞
−∞
e−x
2
√
pi
dx =
√
pi,
I1(a) =
1
2
I0(a) =
√
pi
2
.
pois e
−x2√
pi
e´ a func¸a˜o densidade de probabilidade de uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o
N(0, 1/2).
Derivando a expressa˜o (3.14) com respeito a a pode-se obter I2(a). Sabendo que a integral
(3.14) converge uniformemente e o integrando e´ cont´ınuo, a troca da integral com a derivada
pode ser realizada. Assim,
d
da
I2(a) =
∫ ∞
−∞
d
da
[Φ(ax)]2e−x
2
dx
=
∫ ∞
−∞
2Φ(ax)φ(ax)xe−x
2
dx
= 2
∫ ∞
−∞
Φ(ax)
1√
2pi
e−
x2
2
(a2+2)xdx. (3.17)
22 DISTRIBUIC¸A˜O MARSHALL-OLKIN NORMAL 3.4
Utilizando a integrac¸a˜o por partes com a mudanc¸a de varia´veis u = Φ(ax) e dv = e−
x2
2
(a2+2)xdx,
a expressa˜o (3.17) pode ser escrita por
d
da
I2(a) =
2√
2pi
(
a
a2 + 2
)
1√
2a2 + 1
∫ ∞
−∞
1√
2pi
√
2(a2 + 1)e−
x2
2
(2a2+2)dx
=
2√
2pi
(
a
a2 + 2
)
1√
2(a2 + 1)
=
1√
pi
a
(a2 + 2)
√
(a2 + 1)
.
Para recuperar I2(a) e´ suficiente integrar com respeito a a ambos os lados da igualdade anterior
obtendo
I2(a) =
1√
pi
arctan (
√
a2 + 1).
Novamente pela fo´rmula de recorreˆncia (3.16), agora com m = 1, tem-se que I3(a) e´ dado por
I3(a) =
3
2
√
pi
arctan (
√
a2 + 1)−
√
pi
4
.
Bose e Gupta (1959) afirmaram que os termos de ordem ı´mpar I2m+1 podem ser expressos
como combinac¸a˜o linear de I2m(a), I2m−2(a), · · · , I0(a) e para encontrar os termos de ordem
par e´ suficiente derivar a equac¸a˜o (3.14) com respeito a a, como foi mostrado para o ca´lculo
de I2(a). Desta forma, os termos da expansa˜o do primeiro momento para a distribuic¸a˜o MON
padra˜o podem ser encontrados.
Atribuindo alguns valores para n na se´rie (3.12) tem-se que o primeiro momento, E(X),
da distribuic¸a˜o MON padra˜o para p > 1, utilizando a reparametrizac¸a˜o q = p−1 pode ser
representado como
E(X) =
∞∑
n=1
q(1− q)nn(n+ 1)
2pi
In−1(1)
=
q(1− q)
pi
I0(1) +
3q(1− q)2
pi
I1(1) +
6q(1− q)3
pi
I2(1) +
10q(1− q)4
pi
I3(1)
+
∞∑
n=5
q(1− q)nn(n+ 1)
2pi
In−1(1)
=
q(1− q)√
pi
+
3q(1− q)2
2
√
pi
+ 6q(1− q)3arctan
√
2√
pi3
+
5q(1− q)4
pi
(
3√
pi
arctan
√
2−
√
pi
2
)
+
∞∑
n=5
q(1− q)nn(n+ 1)
2pi
In−1(1).
Para se obter a expansa˜o do primeiro momento da distribuic¸a˜o MON padra˜o quando 0 <
3.4 MOMENTOS 23
p ≤ 1, pode-se definir
Jn(a) =
∫ +∞
−∞
[1− Φ(ax)]ne−x2dx, (3.18)
em que a relac¸a˜o de recorreˆncia entre os J ′n(a)s sera´ encontrada de forma similar ao desenvol-
vimento dos I ′ns apresentado anteriormente. Sabe-se que∫ +∞
−∞
[
Φ(ax)− 1
2
]2m+1
e−x
2
dx = 0∫ +∞
−∞
[
1− Φ(ax)− 1
2
]2m+1
e−x
2
dx = 0
∫ +∞
−∞
2m+1∑
r=0
(
2m+ 1
r
)(
−1
2
)r
[1− Φ(ax)]2m−r+1e−x2dx = 0
∫ +∞
−∞
2m+1∑
r=0
(
2m+ 1
r
)(
1
2r
)
[1− Φ(ax)]2m−r+1(−1)re−x2dx = 0
2m+1∑
r=0
(
2m+ 1
r
)(
1
2r
)
(−1)r
∫ +∞
−∞
[1− Φ(ax)]2m−r+1e−x2dx = 0
2m+1∑
r=0
(
2m+ 1
r
)(
1
2r
)
(−1)rJ2m−r+1(a) = 0
J2m+1(a) +
2m+1∑
r=1
(
2m+ 1
r
)(
1
2r
)
(−1)rJ2m−r+1(a) = 0
Portanto,
J2m+1(a) =
2m+1∑
r=1
(
2m+ 1
r
)(
1
2r
)
(−1)r+1J2m−r+1(a). (3.19)
Substituindo, respectivamente, n = 0 em (3.18) e m = 0 na equac¸a˜o (3.19), obte´m-se
J0(a) =
√
pi,
J1(a) =
1
2
J0(a) =
√
pi
2
.
De forma similar, como foram calculados anteriormente para os I ′ns, os termos ı´mpares
J2m+1(a) podem ser expressos como func¸a˜o linear dos J2m(a), J2m−2(a), · · · , J0(a). Para encon-
trar os termos de ordem par, deriva-se a equac¸a˜o (3.18) com respeito a a. Neste caso, a troca
da integral com a derivada e´ poss´ıvel pois a integral converge uniformemente e o integrando e´
24 DISTRIBUIC¸A˜O MARSHALL-OLKIN NORMAL 3.4
cont´ınuo. Derivando J2(a) com respeito a a tem-se que
d
da
J2(a) =
∫ +∞
−∞
d
da
[1− Φ(ax)]2e−x2dx
=
∫ +∞
−∞
2xe−x
2
Φ(ax)φ(ax)dx−
∫ +∞
−∞
2xe−x
2
φ(ax)dx
=
d
da
I2(a)− 2
∫ +∞
−∞
xe−x
2
φ(ax)dx
=
1√
pi
a
(a2 + 2)(
√
a2 + 1)
− 2
∫ +∞
−∞
x
e
−x2
2
(a2+2)
√
2pi
dx
=
1√
pi
a
(a2 + 2)(
√
a2 + 1)
− 2√
a2 + 2
E(Y ) onde Y ∼ N
(
0,
1
a2 + 2
)
=
1√
pi
a
(a2 + 2)(
√
a2 + 1)
. (3.20)
Integrando a equac¸a˜o (3.20) com respeito a a, pode-se obter o termo J2(a), resultando em
J2(a) =
arctan (
√
a2 + 1)√
pi
.
Fazendo m = 1 em (3.19), o termo J3(a) e´ dado por
J3(a) =
3
2
J2(a)− 3
4
J1(a) +
1
8
J0(a)
=
3
2
J2(a)− 1
4
J0(a)
=
3 arctan (
√
a2 + 1)
2
√
pi
−
√
pi
4
.
Considerando 0 < p ≤ 1, o primeiro momento da distribuic¸a˜o MON padra˜o pode ser escrito
como
E(X) =
∞∑
n=0
(n+ 1)p(1− p)n
∫ +∞
−∞
xφ(x)[1− Φ(x)]ndx
= p
∫ +∞
−∞
xφ(x)dx+
∞∑
n=1
(n+ 1)p(1− p)n
∫ +∞
−∞
xφ(x)[1− Φ(x)]ndx
= 0 +
∞∑
n=1
(n+ 1)p(1− p)n
∫ +∞
−∞
xφ(x)[1− Φ(x)]ndx
3.4 MOMENTOS 25
=
∞∑
n=1
p(1− p)n
∫ +∞
−∞
(n+ 1)xφ(x)[1− Φ(x)]ndx
=
∞∑
n=1
p(1− p)nµ′1(n+ 1, 1),
com µ′1(n + 1, 1) representando o primeiro momento do mı´nimo de n + 1 varia´veis com distri-
buic¸a˜o normal padra˜o. Por Bose e Gupta (1959), µ′1(n+ 1, 1) pode ser escrito como
µ′1(n+ 1, 1) = −
1
2pi
∫ +∞
−∞
n(n+ 1)[1− Φ(x)]n−1e−x2dx
= −n(n+ 1)
2pi
Jn−1(1).
Portanto, o primeiro momento da distribuic¸a˜o MON padra˜o, quando 0 < p ≤ 1, e´ dado por
E(X) = −
∞∑
n=1
p(1− p)nn(n+ 1)
2pi
Jn−1(1)
= −p(1− p)J0(1)
pi
− 3p(1− p)
2J1(1)
pi
− 6p(1− p)
3J2(1)
pi
− 10p(1− p)
4J3(1)
pi
−
∞∑
n=5
p(1− p)nn(n+ 1)
2pi
Jn−1(1)
= −p(1− p)√
pi
− 3p(1− p)
2
2
√
pi
− 6p(1− p)
3 arctan
√
2
pi
√
pi
−10p(1− p)
4
pi
[
3 arctan
√
2
2
√
pi
−
√
pi
4
]
−
∞∑
n=5
p(1− p)nn(n+ 1)
2pi
Jn−1(1).
A Tabela 3.1, apresenta resultados nume´ricos para o primeiro momento da distribuic¸a˜o MON,
para alguns valores de p, calculados de duas formas. A primeira delas, denotada por E(X), e´
feita utilizando-se a expressa˜o
E(X) =
∫ ∞
−∞
x
pφ(x)
{1− (1− p)[1− Φ(x)]}2dx. (3.21)
Ja´ a esperanc¸a de X aproximada, E(X) foi calculada pelas se´ries (3.18) e (3.21) somadas ate´ os
menores valores de n onde se observou uma boa aproximac¸a˜o quando comparado com o ca´lculo
direto de E(X) pela expressa˜o (3.21). A aproximac¸a˜o foi feita com treˆs casas decimais. Observa-
se que para alguns valores de p a aproximac¸a˜o foi satisfato´ria utilizando apenas alguns termos
da se´rie que representa o primeiro momento, quando comparados com os valores calculados
diretamente pela expressa˜o (3.21).
26 DISTRIBUIC¸A˜O MARSHALL-OLKIN NORMAL 3.4
Tabela 3.1: Primeiro momento da distribuic¸a˜o MON padra˜o para alguns valores de p.
p n E(X) E(X) aprox.
0.1 60 -1.244 -1.241
0.4 15 -0.513 -0.513
0.6 5 -0.287 -0.282
0.7 10 -0.201 -0.201
0.9 4 -0.059 -0.059
3 15 0.613 0.610
5 25 0.882 0.882
8 52 1.132 1.130
12 72 1.334 1.330
15 102 1.442 1.440
Segundo momento
De forma similar como foi calculado para o primeiro momento da distribuic¸a˜o MON padra˜o,
nesta subsec¸a˜o calcula-se os primeiros termos da expansa˜o em se´rie do segundo momento para
uma amostra de n+ 1 observac¸o˜es da distribuic¸a˜o MON padra˜o.
Substituindo s = 2 na expressa˜o dos momentos (2.12), apresentada no Cap´ıtulo 2, o segundo
momento da distribuic¸a˜o MON padra˜o pode ser escrito como
E(X2) =
{ ∑∞
n=0 p(1− p)n(n+ 1)
∫∞
−∞ x
2φ(x)[1− Φ(x)]ndx, se 0 < p ≤ 1,∑∞
n=0 q(1− q)n(n+ 1)
∫∞
−∞ x
2φ(x)[Φ(x)]ndx, se q−1 = p > 1.
(3.22)
Desenvolvendo a expansa˜o do segundo momento quando q−1 = p > 1 tem-se que
E(X2) =
∞∑
n=0
q(1− q)n(n+ 1)
∫ ∞
−∞
x2φ(x)[Φ(x)]ndx (3.23)
= q
∫ ∞
−∞
x2φ(x)dx+
∞∑
n=1
q(1− q)n(n+ 1)
∫ ∞
−∞
x2φ(x)[Φ(x)]ndx
= q +
∞∑
n=1
q(1− q)nµ′2(n+ 1, n+ 1), (3.24)
em que µ′2(n + 1, n + 1) = (n + 1)
∫∞
−∞ x
2φ(x)[Φ(x)]ndx representa o segundo momento do
ma´ximo de n+ 1 varia´veis com distribuic¸a˜o normal padra˜o. A integral
∫∞
−∞ x
2φ(x)dx = 1, pois
denota o segundo momento da distribuic¸a˜o normal padra˜o, a variaˆncia.
Por Bose e Gupta (1959), tem-se que o segundo momento do ma´ximo de n + 1 varia´veis
com distribuic¸a˜o normal padra˜o, µ′2(n+ 1, n+ 1), pode ser expresso por
µ′2(n+ 1, n+ 1) = 1 +
n(n− 1)(n+ 1)
4pi
∫ ∞
−∞
[Φ(x)]n−2e−
3
2
x2
√
2pi
dx. (3.25)
3.4 MOMENTOS 27
Substituindo, respectivamente, n = 1 e n = 2 em (3.25), tem-se
µ′2(2, 2) = 1,
µ′2(3, 3) = 1 +
3
2pi
√
3
∫ ∞
−∞
√
3e−
3
2
x2
√
2pi
dx =
2pi +
√
3
2pi
.
Segundo Jones (1948), o segundo momento do ma´ximo de quatro varia´veis aleato´rias normal-
mente distribu´ıdas, com me´dia 0 e variaˆncia 1, e´ dado por
µ′2(4, 4) =
pi +
√
3
pi
.
Substituindo os valores encontrados para µ′2(2, 2), µ
′
2(3, 3) e µ
′
2(4, 4) na expressa˜o (3.24), o
segundo momento da distribuic¸a˜o MON padra˜o para p > 1 pode ser representado como
E(X2) = q +
∞∑
n=1
q(1− q)nµ′2(n+ 1, n+ 1)
= q + q(1− q)µ′2(2, 2) + q(1− q)2µ′2(3, 3) + q(1− q)3µ′2(4, 4)
+
∞∑
n=4
q(1− q)nµ′2(n+ 1, n+ 1)
= q + q(1− q) + q(1− q)2
(
2pi +
√
3
2pi
)
+ q(1− q)3
(
pi +
√
3
pi
)
+
∞∑
n=4
q(1− q)nµ′2(n+ 1, n+ 1).
Analogamente, para 0 < p ≤ 1 tem-se que
E(X2) =
∞∑
n=0
p(1− p)n(n+ 1)
∫ ∞
−∞
x2φ(x)[1− Φ(x)]ndx
= p
∫ ∞
−∞
x2φ(x)dx+
∞∑
n=1
p(1− p)n(n+ 1)
∫ ∞
−∞
x2φ(x)[1− Φ(x)]ndx
= p+
∞∑
n=1
p(1− p)nµ′2(n+ 1, 1),
em que µ′2(n+ 1, 1) =
∫∞
−∞ x
2φ(x)[1−Φ(x)]ndx denota o segundo momento do mı´nimo de n+ 1
varia´veis aleato´rias com distribuic¸a˜o normal padra˜o. Novamente por Bose e Gupta (1959) o
segundo momento do mı´nimo entre n + 1 varia´veis aleato´rias com distribuic¸a˜o normal padra˜o
pode ser escrito como
µ′2(n+ 1, 1) = 1 +
n(n− 1)(n+ 1)
4pi
∫ ∞
−∞
[1− Φ(x)]n−2e− 32x2√
2pi
dx. (3.26)
28 DISTRIBUIC¸A˜O MARSHALL-OLKIN NORMAL 3.4
Substituindo n = 1, n = 2, n = 3 em (3.26), respectivamente, tem-se que
µ′2(2, 1) = 1,
µ′2(3, 1) = µ
′
2(3, 3) =
2pi +
√
3
2pi
µ′2(4, 1) = 1 +
6
pi
∫ ∞
−∞
e−
3
2
x2
√
2pi
dx− 6
pi
∫ ∞
−∞
Φ(x)e−
3
2
x2
√
2pi
dx
= 1 +
2
√
3
pi
− [µ′2(4, 4)− 1]
=
√
3 + pi
pi
.
Portanto, o segundo momento para a distribuic¸a˜o MON padra˜o, para 0 < p ≤ 1, e´ dado pela
expressa˜o
E(X2) = p+
∞∑
n=1
p(1− p)nµ′2(n+ 1, 1)
= p+ p(1− p)µ′2(2, 1) + p(1− p)2µ′2(3, 1) + p(1− p)3µ′2(4, 1)
+
∞∑
n=4
p(1− p)nµ′2(n+ 1, 1)
= p+ p(1− p) + p(1− p)2
(2pi +√3
2pi
)
+ p(1− p)3
(pi +√3
pi
)
+
∞∑
n=4
p(1− p)nµ′2(n+ 1, 1).
Terceiro e quarto momentos
Seguindo o mesmo procedimento das subsec¸o˜es anteriores, obteve-se os primeiros termos das
expanso˜es para o terceiro e quarto momentos da distribuic¸a˜o MON padra˜o. As demonstrac¸o˜es
sa˜o apresentadas no Apeˆndice A.
O terceiro momento para a distribuic¸a˜o MON padra˜o, para 0 < p ≤ 1, pode ser representado
como
E(X3) = −p(1− p)5
√
pi
2pi
− p(1− p)215
√
pi
4
− p(1− p)3
[
15 arctan
√
2
pi
√
pi
+
√
2pi
2pi2
]
+
∞∑
n=4
p(1− p)nµ′3(n+ 1, 1),
3.5 VARIAˆNCIA 29
e para p > 1, usando a reparametrizac¸a˜o q = p−1, pode ser escrito como
E(X3) =
5
√
piq(1− q)
2
+
15q(1− q)2
4
√
pi
+ q(1− q)3
[
15 arctan
√
2
pi
√
pi
+
√
2pi
2pi2
]
+
+q(1− q)4
[
75 arctan
√
2 + 5√
(2pi)3
− 25
4
√
pi
]
+
∞∑
n=5
q(1− q)nµ′3(n+ 1, n+ 1).
O quarto momento para a distribuic¸a˜o MON padra˜o para 0 < p ≤ 1 pode ser expresso por
E(X4) = 3p+ 3p(1− p) + p(1− p)2
[
−4
3
+
13
3
(
2pi +
√
3
2pi
)]
+ p(1− p)3
[
−4
3
+
13
3
(
pi +
√
3
pi
)]
+p(1− p)4
[
−4
3
+
13
3
µ′2(5, 1) +
√
5
4pi2
]
+
∞∑
n=5
p(1− p)nµ′4(n+ 1, 1).
Para p > 1 utilizando a reparametrizac¸a˜o q = p−1, o quarto momento pode ser representado
como
E(X4) = 3q + 3q(1− q) + q(1− q)2
[
−4
3
+
13
3
(
2pi +
√
3
2pi
)]
+ q(1− q)3
[
−4
3
+
13
3
(
pi +
√
3
pi
)]
+q(1− q)4
(
−4
3
+
13
3
µ′2(5, 5) +
√
5
4pi2
)
+
∞∑
n=5
q(1− q)nµ′4(n+ 1, n+ 1).
3.5 Variaˆncia
A variaˆncia de uma varia´vel aleato´ria e´ uma medida de dispersa˜o que indica o qua˜o distante
os seus valores esta˜o afastados do valor esperado. Utilizando a expressa˜o da variaˆncia como
func¸a˜o dos dois primeiros momentos centrais, se X e´ uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o
MON padra˜o, enta˜o sua variaˆncia para 0 < p ≤ 1 e´ expressa por
Var(X) = E(X2)− [E(X)]2
= p+
∞∑
n=1
p(1− p)nµ′2(n+ 1, 1)−
[ ∞∑
n=1
p(1− p)nµ′1(n+ 1, 1)
]2
,
em que µ′2(n+ 1, 1) e µ
′
1(n+ 1, 1) denotam, respectivamente, o segundo e o primeiro momento
do mı´nimo de n+ 1 varia´veis com distribuic¸a˜o normal padra˜o. Analogamente, se p > 1, consi-
derando a reparametrizac¸a˜o q = p−1, tem-se que
Var(X) = q +
∞∑
n=1
q(1− q)nµ′2(n+ 1, n+ 1)−
[ ∞∑
n=1
q(1− q)nµ′1(n+ 1, n+ 1)
]2
,
com µ′2(n+ 1, n+ 1) e µ
′
1(n+ 1, n+ 1) representando, respectivamente, o segundo e o primeiro
30 DISTRIBUIC¸A˜O MARSHALL-OLKIN NORMAL 3.6
momento do ma´ximo de n+ 1 varia´veis com distribuic¸a˜o normal padra˜o.
A Figura 3.6 ilustra a variaˆncia da distribuic¸a˜o MON padra˜o para alguns valores de p
calculada numericamente pela expressa˜o
Var(X) =
∫ ∞
−∞
x2
pφ(x)
{1− (1− p)[1− Φ(x)]}2dx−
(∫ ∞
−∞
x
pφ(x)
{1− (1− p)[1− Φ(x)]}2dx
)2
.
Observa-se que a variaˆncia e´ crescente para 0 < p < 1 e decrescente para p > 1.
0 5 10 15 20 25 30
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
1.
2
p
Va
riâ
nc
ia
Figura 3.6: Variaˆncia de uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o MON padra˜o para diferentes
valores de p.
3.6 Assimetria
As medidas de assimetria possibilitam analisar uma distribuic¸a˜o de acordo com as relac¸o˜es
entre suas medidas de tendeˆncia central, tais como moda, me´dia e mediana. Seguindo o artigo
de Rubio e Stell (2012), para avaliar o comportamento do paraˆmetro p como mecanismo de
introduzir assimetria na distribuic¸a˜o MON, foram consideradas treˆs medidas de assimetria: o
terceiro momento padronizado (EM), a medida de assimetria de Pearson (PM) e a medida de
assimetria Arnold-Groeneveld (AG) introduzida por Arnold e Groeneveld (1995).
Conceitualmente, a assimetria descreve qual lado de uma distribuic¸a˜o tem uma cauda mais
longa. Se a cauda longa esta´ a` direita, a assimetria e´ para a direita ou positiva, e se a cauda e´
mais longa do lado esquerdo, enta˜o a assimetria e´ a` esquerda ou negativa.
A assimetria e´ usualmente medida pelo terceiro momento padronizado definido por
EM =
µ3
µ
3/2
2
,
em que µ2 e µ3 sa˜o, respectivamente, o segundo e o terceiro momentos centrais. Essa medida de
assimetria pode ser enganadora, uma vez que pode ser dominada pelo comportamento no ex-
3.7 CURTOSE 31
tremo das caudas. Ale´m disso, na˜o e´ sempre que esta´ definida e pode ser de dif´ıcil interpretac¸a˜o
pois na˜o e´ limitada.
Uma outra medida de assimetria e´ a medida de assimetria de Pearson (PM) (Pearson, 1895),
definida por
PM =
Me−Mo
µ
1/2
2
,
com Me e Mo representando, respectivamente, a me´dia e a moda da distribuic¸a˜o. Essa me-
dida permite calcular o grau de assimetria de uma distribuic¸a˜o. Segundo Ferreira (2005), se
|PM | < 0.15 a assimetria da distribuic¸a˜o e´ considerada fraca. A distribuic¸a˜o sera´ considerada
moderadamente assime´trica se 0.15 ≤ |PM | < 1, e para |PM | ≥ 1 a assimetria e´ considerada
forte.
Outra medida de verificac¸a˜o de assimetria em termos da moda foi introduzida por Arnold e
Groeneveld (1995). Os autores assumem nessa medida que a moda existe e e´ u´nica, e a definem
como
AG = [1− F (Mo)]− F (Mo)
= 1− 2F (Mo),
com F sendo a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada e Mo denotando a moda. A medida AG calcula
a diferenc¸a entre as massas alocadas em ambos os lados da moda. Ela satisfaz −1 < AG < 1,
em que AG = 0 significa que a distribuic¸a˜o e´ sime´trica. Valores negativos de AG sa˜o associados
com assimetria a` esquerda e positivos refletem assimetria a` direita. Ale´m de ser limitada, uma
das vantagens desta medida e´ que ela na˜o requer a existeˆncia de qualquer momento.
A Figura 3.7 ilustra numericamente as medidas de assimetria EM, PM e AG para a dis-
tribuic¸a˜o MON padra˜o. O valor ma´ximo, em mo´dulo, assumido pela medida de assimetria de
Pearson foi de 0.2606, o que indica que a distribuic¸a˜o MON, de acordo com essa medida, pode ser
considerada moderadamente assime´trica. Ja´ para a medida de assimetria AG, o valor ma´ximo
em mo´dulo encontrado foi 0.1445, o que sugere que a distribuic¸a˜o MON na˜o possui assimetria
significativa. Pelos gra´ficos tem-se que o terceiro momento padronizado, a medida de assimetria
de Pearson e medida Arnold-Groeneveld, atribuem a` distribuic¸a˜o MON, respectivamente, uma
assimetria forte, moderada e fraca. Como a medida AG e´ limitada e de fa´cil interpretac¸a˜o,
utilizando essa medida para medir o grau de assimetria, conclui-se que a distribuic¸a˜o MON
na˜o e´ recomendada para modelar dados com assimetria alta ou mesmo moderada. Portanto, a
distribuic¸a˜o MON na˜o compete com distribuic¸o˜es assime´tricas como afirmaram Garc´ıa et al.
(2010).
3.7 Curtose
A curtose e´ uma medida de dispersa˜o que caracteriza o pico ou achatamento da curva da func¸a˜o
de distribuic¸a˜o de probabilidade. Essa medida pode ser definida como a raza˜o entre o quarto
32 DISTRIBUIC¸A˜O MARSHALL-OLKIN NORMAL 3.8
0 5 10 15
−
1.
0
−
0.
5
0.
0
0.
5
1.
0
(a)
p
Te
rc
e
iro
 m
om
en
to
 p
ad
ro
ni
za
do
0 5 10 15
−
1.
0
−
0.
5
0.
0
0.
5
1.
0
(b)
p
M
ed
id
a 
de
 a
ss
im
et
ria
 d
e 
Pe
a
rs
o
n
0 5 10 15
−
1.
0
−
0.
5
0.
0
0.
5
1.
0
(c)
p
M
ed
id
a 
de
 a
ss
im
et
ria
 A
G
Figura 3.7: Medidas de assimetria da distribuic¸a˜o MON: (a) terceiro momento padronizado;
(b) medida de assimetria de Pearson; (c) medida de assimetria AG .
momento central e o quadrado do segundo momento central (variaˆncia), ou seja,
Curtose(X) =
E(X − E(X))4
{E[X − E(X)]2}2
=
E(X4)− 4E(X3)E(X) + 6E(X2)E2(X)− 3E4(X)
[Var(X)]2
.
Sob essa definic¸a˜o, a curtose da distribuic¸a˜o normal e´ igual a 3. Como a curtose da dis-
tribuic¸a˜o MON padra˜o e´ uma expressa˜o longa e complicada, ela foi calculada numericamente
diretamente pelas integrais para alguns valores de p, representada na Figura 3.8. Observa-se
que os valores para a curtose sa˜o maiores do que 3 e, portanto, a distribuic¸a˜o MON padra˜o e´
mais alta (afunilada) e concentrada que a distribuic¸a˜o normal. Diz-se enta˜o que a distribuic¸a˜o
MON padra˜o e´ leptocu´rtica e desta forma possui caudas pesadas. Isso implica que a MON pode
compete com a t-Student.
0 10 20 30 40 50
0
1
2
3
4
5
6
7
p
Cu
rto
se
Figura 3.8: Curtose da distribuic¸a˜o MON padra˜o para determinados valores de p.
3.8 ENTROPIA 33
3.8 Entropia
A entropia de uma varia´vel aleato´ria X com func¸a˜o densidade de probabilidade f(x) e´ uma
medida que quantifica a incerteza ou aleatoriedade de um sistema. Essa medida e´ muito utilizada
nas a´reas de engenharia e cieˆncias em geral. Nesta sec¸a˜o encontra-se duas medidas de entropia
para a distribuic¸a˜o MON padra˜o, as entropias de Shannon e de Re´nyi , as quais ate´ o presente
trabalho na˜o estavam dispon´ıveis na literatura.
A entropia de Shannon, e´ definida por
Hx = −
∫
T (x)
f(x) ln f(x)dx,
em que T (x) e´ o suporte de X e f(x) e´ func¸a˜o de densidade de probabilidade. Considerando a
distribuic¸a˜o MON padra˜o, a entropia de Shannon pode ser escrita como
Hx = −
∫ ∞
−∞
pφ(x)
{1− (1− p)[1− Φ(x)]}2 ln
(
pφ(x)
{1− (1− p)[1− Φ(x)]}2
)
dx. (3.27)
Utilizando a expansa˜o do binoˆmio de Newton para expoentes negativos, o denominador da
expressa˜o (3.27) pode ser reescrito como
{1− (1− p)[1− Φ(x)]}−2 =
∞∑
m=0
(−2
m
)
(−1)m(1− p)m[1− Φ(x)]m
=
∞∑
m=0
(m+ 1)(1− p)m[1− Φ(x)]m.
Para 0 < p < 1, tem-se que
∣∣∣(1− p)[1− Φ(x)]∣∣∣ < 1 e, portanto, a expansa˜o do logaritmo pode
ser expressa como
− 2 ln {1− (1− p)[1− Φ(x)]} = 2
∞∑
n=1
(1− p)n[1− Φ(x)]n
n
.
Portanto, a entropia de Shannon para a distribuic¸a˜o MON padra˜o pode ser representada por
Hx = −
∫ ∞
−∞
pφ(x)
∞∑
m=0
(m+ 1)(1− p)m[1− Φ(x)]m
{
ln [pφ(x)]− 2 ln {1− (1− p)[1− Φ(x)]}
}
dx
= −
∫ ∞
−∞
pφ(x)
∞∑
m=0
(m+ 1)(1− p)m[1− Φ(x)]m
{
ln [pφ(x)] + 2
∞∑
n=1
(1− p)n[1− Φ(x)]n
n
}
dx.
Para p ≥ 1 considerando a reparametrizac¸a˜o p = q−1 tem-se que a entropia de Shannon para a
distribuic¸a˜o MON e´ expressa por
Hx = −
∫ ∞
−∞
qφ(x)
{1− (1− q)Φ(x)}2 ln
(
qφ(x)
{1− (1− q)Φ(x)}2
)
dx. (3.28)
34 DISTRIBUIC¸A˜O MARSHALL-OLKIN NORMAL 3.8
Pela expansa˜o do binoˆmio de Newton para expoentes negativos, o denominador da expressa˜o
(3.28) pode ser reescrito como
{1− (1− q)Φ(x)}−2 =
∞∑
m=0
(m+ 1)(1− q)mΦm(x).
Para p > 1 tem-se que 0 < q < 1, e desta forma
∣∣∣(1− q)Φ(x)∣∣∣ < 1. Sendo assim, a expansa˜o do
logaritmo pode ser feita obtendo-se
− 2 ln {1− (1− q)Φ(x)} = 2
∞∑
n=1
(1− q)nΦn(x)
n
.
Desta forma, quando p > 1, a entropia de Shannon para a distribuic¸a˜o MON padra˜o pode ser
representada por
Hx = −
∫ ∞
−∞
qφ(x)
∞∑
m=0
(m+ 1)(1− q)mΦm(x)
{
ln [qφ(x)] + 2
∞∑
n=1
(1− q)nΦn(x)
n
}
dx.
Uma outra medida de entropia chamada de entropia de Re´nyi e´ definida por
IR(γ) =
1
1− γ log
[∫
fγ(x)dx
]
, com γ > 0, γ 6= 1.
Quando γ → 1, a entropia de Re´nyi converge para a entropia de Shannon.
Considerando a func¸a˜o densidade de probabilidade apresentada na expressa˜o (3.2) da dis-
tribuic¸a˜o MON padra˜o, tem-se que a entropia de Re´nyi para essa distribuic¸a˜o pode ser escrita
por
IR =
1
1− γ log
[∫ ∞
−∞
(
pφ(x)
{1− (1− p)[1− Φ(x)]}2
)γ
dx
]
=
1
1− γ log
[∫ ∞
−∞
pγφγ(x){1− (1− p)[1− Φ(x)]}−2γdx
]
.
Utilizando a expansa˜o do binoˆmio de Newton para expoentes negativos tem-se que a entropia
de Re´nyi para a distribuic¸a˜o MON padra˜o pode ser expressa como
IR =
1
1− γ log
[∫ ∞
−∞
pγφγ(x)
∞∑
m=0
(−2γ
m
)
(−1)m(1− p)m[1− Φ(x)]mdx
]
=
1
1− γ log
[ ∞∑
m=0
(−2γ
m
)
pγ(−1)m(1− p−1)m
∫ ∞
−∞
[1− Φ(x)]mφγ(x)dx
]
.
3.9 IDENTIFICABILIDADE 35
Fazendo a substituic¸a˜o x =
√
2
γ
y a entropia de Re´nyi pode ser reescrita como
IR =
1
1− γ log
 ∞∑
m=0
(−2γ
m
)
pγ(−1)m(1− p−1)m
∫ ∞
−∞
[
1− Φ
(√
2
γ
y
)]m
e−y
2
dx
√
γpi

=
1√
γpi(1− γ) log
[ ∞∑
m=0
(−2γ
m
)
pγ(−1)m(1− p−1)mJm
(√
2
γ
)]
, (3.29)
em que Jm(
√
2
γ
) foi dado anteriormente em (3.18).
3.9 Identificabilidade
A suposic¸a˜o de identificabilidade e´ fundamental quando se considera a teoria da estat´ıstica
cla´ssica. Uma famı´lia de distribuic¸a˜o de probabilidade parame´trica e´ dita ser na˜o identifica´vel
se existem dois paraˆmetros diferentes que determinam a mesma distribuic¸a˜o de probabilidade.
Famı´lias na˜o identifica´veis aparecem em muitos modelos estat´ısticos tais como misturas de
distribuic¸o˜es, distribuic¸o˜es generalizadas, ana´lise de variaˆncia, modelos de sobreviveˆncia entre
outros. Nesta sec¸a˜o mostra-se que o modelo MON e´ identifica´vel, o que ate´ o presente trabalho
na˜o estava dispon´ıvel na literatura.
A Definic¸a˜o 1 apresenta o conceito de paraˆmetro identifica´vel.
Definic¸a˜o 1. O paraˆmetro θ1 pertencente ao espac¸o parame´trico Θ e´ globalmente identifica´vel
se na˜o existe um outro valor θ2 em Θ tal que Pθ1 = Pθ2.
O paraˆmetro θ1 sera´ chamado de localmente identifica´vel se existe uma vizinhanc¸a V de θ1
tal que
∀ θ2 6= θ1, θ2 ∈ V⇒ Pθ1 6= Pθ2 .
Ou seja, um paraˆmetro θ1 no espac¸o parame´trico e´ dito identifica´vel quando na˜o existe outro
paraˆmetro θ2 tal que quando aplicados na func¸a˜o de distribuic¸a˜o tenham o mesmo valor. A
Definic¸a˜o 2 estende o conceito de identificabilidade de um paraˆmetro para identificabilidade de
um modelo.
Definic¸a˜o 2. Dados θ1, θ2 ∈ Θ, um modelo e´ na˜o identifica´vel se
θ1 6= θ2 ⇒ f(x, θ1) = f(x, θ2), ∀ x ∈ Ω,
com Ω denotando o espac¸o amostral.
Em outras palavras, um modelo e´ dito na˜o identifica´vel se existem dois paraˆmetros diferentes
que determinam o mesmo valor da func¸a˜o de densidade de probabilidade. Quando se tem um
problema de identificabilidade na˜o e´ poss´ıvel encontrar qual dos paraˆmetros realmente gerou a
amostra.
36 DISTRIBUIC¸A˜O MARSHALL-OLKIN NORMAL 3.9
Existe na literatura um crite´rio geral para identificabilidade de um paraˆmetro proposto por
Bowden (1973). Para isso, e´ necessa´rio a definic¸a˜o da informac¸a˜o de Kullback-Leibler dada por
H(θ, θ0) = Eθ0
{
ln
[
f(x, θ0)
f(x, θ)
]}
=
∫ ∞
−∞
ln
[
f(x, θ0)
f(x, θ)
]
f(x, θ0)dx. (3.30)
A informac¸a˜o de Kullback-Libler mede a informac¸a˜o perdida quando o modelo f(x, θ) e´ aproxi-
mado por f(x, θ0). O Teorema 5 a seguir mostra duas propriedades muito u´teis da informac¸a˜o
de Kullback-Leibler.
Teorema 5. A informac¸a˜o de Kullback-Leibler H satisfaz
H(θ1, θ2) ≥ 0,
H(θ1, θ2) = 0⇔ Pθ1 = Pθ2 .
O crite´rio geral de identificabilidade proposto por Bowden (1973) e´ apresentado no Teo-
rema 6 o qual utiliza a informac¸a˜o de Kullback-Leibler para provar a identificabilidade de um
paraˆmetro.
Teorema 6. Seja Pθ uma distribuic¸a˜o absolutamente cont´ınua para todo θ ∈ Θ. O paraˆmetro
θ0 e´ globalmente identifica´vel se, e somente se, a equac¸a˜o
H(θ, θ0) = 0
tem como soluc¸a˜o u´nica θ0 em todo Θ. O paraˆmetro sera´ dito localmente identifica´vel se, so-
mente se, θ0 e´ u´nica soluc¸a˜o em alguma vizinhanc¸a de θ0.
As demonstrac¸o˜es dos teoremas 5 e 6 podem ser encontradas em Bowden (1973). As de-
finic¸o˜es e os teoremas apresentados sera˜o utilizados para mostrar que a distribuic¸a˜o MON
padra˜o e´ identifica´vel no ponto p = 1. Utilizando a expressa˜o (3.2) para a func¸a˜o densidade
de probabilidade quando 0 < p ≤ 1, tem-se que a informac¸a˜o de Kullback-Leibler para a
distribuic¸a˜o MON padra˜o no ponto p = 1 e´ expressa por
H(p, 1) =
∫ ∞
−∞
ln
({1− (1− p)[1− Φ(x)]}2
p
)
φ(x)dx
= − ln p+ 2
∫ ∞
−∞
ln {1− (1− p)[1− Φ(x)]}φ(x)dx.
Como |(1− p)[1− Φ(x)]| < 1 a expansa˜o do logaritmo pode ser feita obtendo-se
H(p, 1) = − ln p+ 2
∫ ∞
−∞
(
−
∞∑
n=1
(1− p)n[1− Φ(x)]n
n
)
φ(x)dx
= − ln p− 2
∞∑
n=1
(1− p)n
n
∫ ∞
−∞
[1− Φ(x)]nφ(x)dx.
Tem-se que (n+1)[1−Φ(x)]nφ(x) representa a densidade do mı´nimo de n+1 varia´veis aleato´rias
com distribuic¸a˜o normal padra˜o. Portanto,
∫∞
−∞(n + 1)[1 − Φ(x)]nφ(x) = 1. Desta forma, a
3.9 IDENTIFICABILIDADE 37
informac¸a˜o de Kullback-Leibler pode ser reescrita como
H(p, 1) = − ln p− 2
∞∑
n=1
(1− p)n
n(n+ 1)
∫ ∞
−∞
(n+ 1)[1− Φ(x)]nφ(x)dx
= − ln p− 2
∞∑
n=1
(1− p)n
n(n+ 1)
= − ln p− 2
∞∑
n=1
[
(1− p)n
n
− (1− p)
n
n+ 1
]
= − ln p− 2
∞∑
n=1
(1− p)n
n
+ 2
∞∑
n=1
(1− p)n
n+ 1
= − ln p− 2(− ln p) + 2
∞∑
n=1
(1− p)n
n+ 1
= ln p+ 2
∞∑
n=1
(1− p)n
n+ 1
= −
∞∑
n=1
(1− p)n
n
+ 2
∞∑
n=1
(1− p)n
n+ 1
=
∞∑
n=1
(1− p)n
[
2
n+ 1
− 1
n
]
=
∞∑
n=1
(1− p)n(n− 1)
n(n+ 1)
. (3.31)
Como n ≥ 1, a se´rie (3.31) possui apenas termos positivos. Sendo assim, a informac¸a˜o de
Kullback-Leiber e´ maior ou igual que zero para 0 < p ≤ 1, com a igualdade se p = 1. Portanto,
a distribuic¸a˜o MON e´ identifica´vel no ponto p = 1.
Analogamente, para p ≥ 1, a informac¸a˜o de Kullback-Leibler para a distribuic¸a˜o MON
padra˜o e´ representada por
H(p, 1) =
∫ ∞
−∞
ln
(
[1− (1− p−1)Φ(x))]2
p−1
)
φ(x)dx
= − ln p−1 + 2
∫ ∞
−∞
ln [1− (1− p−1)Φ(x)]φ(x)dx.
Utilizando a expansa˜o do logaritmo e o fato de que (n + 1)Φ(x)nφ(x) representa a densidade
do ma´ximo de n + 1 varia´veis aleato´rias com distribuic¸a˜o normal padra˜o, tem-se que H(p, 1)
38 DISTRIBUIC¸A˜O MARSHALL-OLKIN NORMAL 3.9
pode ser reescrita como
H(p, 1) = − ln p−1 + 2
∫ ∞
−∞
(
−
∞∑
n=1
(1− p−1)nΦ(x)n
n
)
φ(x)dx
= − ln p−1 − 2
∞∑
n=1
(1− p−1)n
n(n+ 1)
∫ ∞
−∞
(n+ 1)Φ(x)nφ(x)dx
= − ln p−1 − 2
∞∑
n=1
(1− p−1)n
n(n+ 1)
= − ln p−1 − 2
∞∑
n=1
(1− p−1)n
n
+ 2
∞∑
n=1
(1− p−1)n
n+ 1
= − ln p−1 − 2(− ln p−1) + 2
∞∑
n=1
(1− p−1)n
n+ 1
,
continuando, tem-se que
H(p, 1) = ln p−1 + 2
∞∑
n=1
(1− p−1)n
n+ 1
= −
∞∑
n=1
(1− p−1)n
n
+ 2
∞∑
n=1
(1− p−1)n
n+ 1
=
∞∑
n=1
(1− p−1)n
[
2
n+ 1
− 1
n
]
=
∞∑
n=1
(1− p−1)n(n− 1)
n(n+ 1)
. (3.32)
Como n ≥ 1, a se´rie da pela expressa˜o (3.32) possui apenas termos positivos e portanto a
informac¸a˜o de Kullback-Leibler para p ≥ 1 e´ na˜o negativa. Novamente, H(1, 1) = 0 e portanto
a distribuic¸a˜o MON padra˜o e´ identifica´vel no ponto p = 1.
Para mostrar que a distribuic¸a˜o MON padra˜o e´ identifica´vel em todo ponto do espac¸o
parame´trico e´ necessa´rio provar que H(α, β) ≥ 0, com a igualdade se, e somente se, α = β.
Sejam 0 < α ≤ 1 e 0 < β ≤ 1. A informac¸a˜o de Kullback-Leibler H(α, β) e´ dada por
H(α, β) =
∫ ∞
−∞
ln
[
α
β
{
1− (1− β)[1− Φ(x)]
1− (1− α)[1− Φ(x)]
}2 ]
αφ(x)
{1− (1− α)[1− Φ(x)]}2dx.
Utilizando as expanso˜es do binoˆmio de Newton para expoentes negativos e do logaritmo, a
3.9 IDENTIFICABILIDADE 39
informac¸a˜o de Kullback-Leibler, H(α, β), pode ser reescrita como
H(α, β) = ln
(
α
β
)
+ 2α
∫ ∞
−∞
ln {1− (1− β)[1− Φ(x)]}φ(x)
∞∑
m=0
(m+ 1)(1− α)m[1− Φ(x)]mdx
−2α
∫ ∞
−∞
ln {1− (1− α)[1− Φ(x)]}φ(x)
∞∑
m=0
(m+ 1)(1− α)m[1− Φ(x)]mdx
= ln
(
α
β
)
− 2α
∫ ∞
−∞
∞∑
n=1
(1− β)n[1− Φ(x)]n
n
φ(x)
∞∑
m=0
(m+ 1)(1− α)m[1− Φ(x)]mdx
+2α
∫ ∞
−∞
∞∑
n=1
(1− α)n[1− Φ(x)]n
n
φ(x)
∞∑
m=0
(m+ 1)(1− α)m[1− Φ(x)]mdx
= ln
(
α
β
)
− 2α
∞∑
n=1
(1− β)n
n
∞∑
m=0
(m+ 1)(1− α)m
(m+ n+ 1)
∫ ∞
−∞
(m+ n+ 1)[1− Φ(x)]m+nφ(x)dx
+2α
∞∑
n=1
(1− α)n
n
∞∑
m=0
(m+ 1)(1− α)m
(m+ n+ 1)
∫ ∞
−∞
(m+ n+ 1)[1− Φ(x)]m+nφ(x)dx.
Observa-se que
∫∞
−∞(m + n + 1)[1 − Φ(x)]m+nφ(x)dx = 1 pois (m + n + 1)[1 − Φ(x)]m+nφ(x)
representa a densidade do mı´nimo de (m+ n+ 1) varia´veis aleato´rias com distribuic¸a˜o normal
padra˜o. Portanto, H(α, β) pode ser reescrita como
H(α, β) = ln
(
α
β
)
+ 2α
∞∑
m=0
(m+ 1)(1− α)m
(m+ n+ 1)
∞∑
n=1
(1− α)n − (1− β)n
n
= 2α
∞∑
m=0
(m+ 1)(1− α)m
(m+ n+ 1)
∞∑
n=1
(α− β) [(1− β)n−1 + (1− β)n−2(1− α) + · · ·+ (1− α)n−1]
n
+ ln
(
α
β
)
.
Como [(1− β)n−1 + (1− β)n−2(1− α) + · · ·+ (1− α)n−1] conte´m apenas termos positivos, con-
siderando α > β, tem-se que H(α, β) ≥ 0, com a igualdade se, e somente se, α = β. Portanto, a
distribuic¸a˜o MON padra˜o e´ identifica´vel em todo o espac¸o parame´trico. Para valores de α, β ≥ 1,
0 < α ≤ 1 e β > 1 ou 0 < β ≤ 1 e α > 1 as demonstrac¸o˜es sa˜o ana´logas.
No pro´ximo cap´ıtulo um breve estudo sobre infereˆncia e´ apresentado. Expresso˜es para os
paraˆmetros estimados da distribuic¸a˜o MON pelo me´todo da ma´xima verossimilhanc¸a sa˜o cal-
culadas e uma revisa˜o sobre testes parame´tricos e na˜o parame´tricos e alguns crite´rios de selec¸a˜o
de modelos tambe´m sa˜o feitos. A matriz de informac¸a˜o esperada e´ encontrada e intervalos de
confianc¸a para os paraˆmetros sa˜o constru´ıdos.
40 DISTRIBUIC¸A˜O MARSHALL-OLKIN NORMAL 3.9
Cap´ıtulo 4
Infereˆncia
Neste cap´ıtulo aborda-se alguns to´picos relacionados a` infereˆncia da distribuic¸a˜o Marshall-Olkin
normal (MON). Expresso˜es para os estimadores dos paraˆmetros de uma amostra independente
da distribuic¸a˜o MON sa˜o obtidas utilizando o me´todo da ma´xima verossimilhanc¸a. A matriz de
informac¸a˜o de Fisher do modelo em estudo tambe´m e´ apresentada, e as propriedades assinto´ticas
dos estimadores de ma´xima verossimilhanc¸a sa˜o utilizadas para a construc¸a˜o de intervalos de
confianc¸a e testes de hipo´teses. Os testes adotados foram da raza˜o de verossimilhanc¸a, da raza˜o
de verossimilhanc¸a generalizada e de bondade de ajuste. Alguns crite´rios de selec¸a˜o de modelos
tambe´m sa˜o considerados.
4.1 Estimac¸a˜o
4.1.1 Estimac¸a˜o pontual
Seja x = (x1, · · · , xn)T uma amostra aleato´ria de tamanho n da distribuic¸a˜o MON com vetor
de paraˆmetros λ = (p, µ, σ)T . Considere ti =
xi − µ
σ
.
A func¸a˜o de verossimilhanc¸a e´ dada por
L(λ) =
n∏
i=1
f(ti;λ)
=
n∏
i=1
pφ(ti)
σ[Φ(ti)(1− p) + p]2 . (4.1)
Observe que Φ(ti)(1 − p) + p e´ sempre positivo e diferente de um para p 6= 1. Para o caso
p = 1 reca´ımos na distribuic¸a˜o normal. Desta forma, o logaritmo pode ser aplicado e a func¸a˜o
de log-verossimilhanc¸a e´ escrita como
l(λ) = log[L(λ)] =
n∑
i=1
log
{
pφ(ti)
σ[Φ(ti)(1− p) + p]2
}
= n log p− n log σ +
n∑
i=1
log φ(ti)− 2
n∑
i=1
log [Φ(ti)(1− p) + p]. (4.2)
41
42 INFEREˆNCIA 4.1
O estimador de ma´xima verossimilhanc¸a λˆ = (pˆ, µˆ, σˆ) do vetor de paraˆmetros λ = (p, µ, σ)
e´ obtido atrave´s da maximizac¸a˜o da func¸a˜o de verossimilhanc¸a (4.2), solucionando o sistema de
equac¸o˜es na˜o-lineares U =
(
∂l
∂p
, ∂l
∂µ
, ∂l
∂σ
)T
= 0. O vetor U , chamado de func¸a˜o ou vetor escore,
para a distribuic¸a˜o MON e´ dado pelas expresso˜es
∂l(λ)
∂p
=
n
p
−
n∑
i=1
2[1− Φ(ti)]
Φ(ti)(1− p) + p,
∂l(λ)
∂µ
=
n∑
i=1
ti
σ
+
2(1− p)
σ
n∑
i=1
φ(ti)
Φ(ti)(1− p) + p,
∂l(λ)
∂σ
= −n
σ
+
n∑
i=1
t2i
σ
+
2(1− p)
σ
n∑
i=1
φ(ti)ti
Φ(ti)(1− p) + p.
As equac¸o˜es
∂l(λ)
∂p
= 0,
∂l(λ)
∂µ
= 0,
∂l(λ)
∂σ
= 0 na˜o podem ser resolvidas analiticamente e desta
forma me´todos iterativos podem ser utilizados para encontrar estes estimadores numericamente.
As Figuras 4.1, 4.2 e 4.3 representam, respectivamente, as superf´ıcies da func¸a˜o de verossimi-
lhanc¸a da distribuic¸a˜o MON fixando os paraˆmetros p, µ e σ. Observa-se que existe apenas um
ponto de ma´ximo e sendo assim tem-se evideˆncias nume´ricas que os ma´ximos da func¸a˜o de
verossimilhanc¸a podem ser encontrados computacionalmente, como por exemplo utilizando o
algoritmo de Newton-Raphson descrito a seguir.
4.1.2 Algoritmo de Newton-Raphson
Expandindo a func¸a˜o escore U(λ) em se´rie de Taylor ate´ a primeira ordem em torno de um
ponto inicial λ(0), obte´m-se
U(λ) ∼= U(λ(0)) + (λ− λ(0))U ′(λ(0)) = U(λ(0)) + (λ− λ(0))H(λ(0)), (4.3)
em que H(λ(0)) e´ a matriz de derivadas segundas da func¸a˜o log-verossimilhanc¸a avaliada em
λ = λ(0). Fazendo U(λ) = 0, da equac¸a˜o (4.3) resulta o processo iterativo
λ(k+1) = λ(k) −H(λ(k))−1U(λ(k)), k = 0, 1, · · · ,
que e´ repetido ate´ que o processo de estabilize, ou seja, ate´ que a distaˆncia entre λ(k+1) e λ(k)
seja menor do que o n´ıvel desejado. Neste caso, o ponto λˆ que estabiliza o processo e´ enta˜o o
estimador de ma´xima verossimilhanc¸a.
4.1 ESTIMAC¸A˜O 43
mu −2.0
−1.5
−1.0
−0.5
sigm
a
0.5
1.0
1.5
M
O
−N
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
mu −2.0
−1.5
−1.0
−0.5
sigm
a
0.5
1.0
1.5
M
O
−N
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Figura 4.1: Superf´ıcie da func¸a˜o de verossimilhanc¸a fixando p = 0, 5 e p = 2
p
1.5
2.0
2.5sigma
0.5
1.0
1.5
M
O
−N
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
p
0.2
0.4
0.6
0.8
sigm
a
0.5
1.0
1.5
M
O
−N
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Figura 4.2: Superf´ıcie da func¸a˜o de verossimilhanc¸a fixando µ = −2 e µ = 2.
p
1.5
2.0
2.5
mu
−2
−1
0
1
2
M
O
−N
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Figura 4.3: Superf´ıcie da func¸a˜o de verossimilhanc¸a fixando σ = 2.
44 INFEREˆNCIA 4.1
4.1.3 Func¸a˜o escore e informac¸a˜o
Seja x = (x1, · · · , xn)T o valor observado de uma varia´vel aleato´ria X = (X1, · · · , Xn)T carac-
terizada por uma func¸a˜o de densidade de probabilidade f(x; θ) com θ = (θ1, · · · , θp)T o vetor
de paraˆmetros desconhecidos.
A primeira derivada da func¸a˜o log-verossimilhanc¸a U(θ) =
∂l(θ)
∂θ
e´ chamada de func¸a˜o
(vetor) escore com dimensa˜o p× 1. A matriz de informac¸a˜o esperada para θ ∈ Rp J(θ) obtida
atrave´s dos dados x e´ uma matriz quadrada p× p definida por
K(θ) = E[U(θ)U(θ)T ].
Quando as observac¸o˜es sa˜o independentes, a func¸a˜o escore e a informac¸a˜o esperada sa˜o as somas
de contribuic¸o˜es individuais sobre θ.
As condic¸o˜es de regularidade usadas na teoria assinto´tica esta˜o relacionadas sobretudo com
as propriedades diferenciais da func¸a˜o densidade de probabilidade e com a troca de diferen-
ciac¸a˜o por integrac¸a˜o. Essas condic¸o˜es sa˜o necessa´rias para provar as propriedades assinto´ticas
dos estimadores de ma´xima verossimilhanc¸a, tais como consisteˆncia, unicidade, normalidade,
eficieˆncia e suficieˆncia. As condic¸o˜es de regularidade a seguir foram retiradas de Casella e Benger
(2011, cap. 10):
1. Observa-se X1, · · · , Xn realizac¸o˜es independentes de uma varia´vel aleato´ria X, com Xi ∼
f(x|θ).
2. O paraˆmetro e´ identifica´vel, ou seja, se θ 6= θ′, enta˜o f(x|θ) 6= f(x|θ′).
3. As densidades f(x|θ) teˆm suporte comum e sa˜o diferencia´veis em θ.
4. O espac¸o parame´trico Θ conte´m um conjunto aberto no qual o verdadeiro valor do
paraˆmetro θ0 e´ ponto interior.
5. Para cada x a densidade f(x|θ) e´ treˆs vezes diferencia´vel com relac¸a˜o a θ, cuja terceira
derivada e´ cont´ınua em θ, e
∫
f(x|θ)dx pode ser diferenciado treˆs vezes.
6. Para qualquer θ ∈ Θ, existe um nu´mero positivo c e uma func¸a˜o M(x) de modo que∣∣∣∣∣ ∂3∂θ3 log f(x|θ)
∣∣∣∣∣ ≤M(x)
com θ0 − c < θ < θ0 + c e Eθ0 [M(x)] <∞.
Sob estas condic¸o˜es, a esperanc¸a do vetor escore e´ zero e sua covariaˆncia e´ dada por
Cov(U) = E
(
−∂U
T
∂θ
)
= E
(
− ∂
2l(θ)
∂θ∂θT
)
= K,
em que a matriz de primeiras derivadas do vetor escore com sinal negativo J = −∂U
T
∂θ
= − ∂
2l(θ)
∂θ∂θT
e´ denominada de matriz de informac¸a˜o observada. A matriz hessiana e´ dada por −J e sendo
assim E(J) = K.
4.1 ESTIMAC¸A˜O 45
Casella e Berger (2011, cap.10) mostraram que se as condic¸o˜es de regularidade sa˜o satisfeitas
enta˜o o estimador de ma´xima verossimilhanc¸a θˆ e´ consistente, assintoticamente eficiente e sua
distribuic¸a˜o e´ aproximadamente normal p-variada: θˆ
D→ Np(θ,K(θ)−1).
4.1.4 Estimac¸a˜o intervalar
Sejam λ = (p, µ, σ)T o vetor de paraˆmetros da distribuic¸a˜o MON e λˆ = (pˆ, µˆ, σˆ)T seu
estimador de ma´xima verossimilhanc¸a. A matriz de informac¸a˜o (esperada) de Fisher e´ definida
por
K(λ) = −E
[
∂2l(λ)
∂λ∂λT
]
,
e sua inversa sera´ representada por K(λ)−1.
Utilizando o fato que a esperanc¸a do vetor escore e´ zero, das equac¸o˜es (4.3), encontra-se as
relac¸o˜es
E[vi(Ti)] =
1
2p
, E[wi(Ti)] = − E(Ti)
2(1− p) e E[wi(Ti)Ti] =
1− E(T 2i )
2(1− p) , (4.4)
em que
vi(ti) =
1− Φ(ti)
Φ(ti)(1− p) + p e wi(ti) =
φ(ti)
Φ(ti)(1− p) + p.
As segundas derivadas da func¸a˜o de log-verossimilhanc¸a sa˜o apresentadas no Apeˆndice B.
A matriz de informac¸a˜o esperada de Fisher para os paraˆmetros (p, µ, σ) da distribuic¸a˜o MON
e´ dada por
K(λ) =
 kp,p kp,µ kp,σkµ,p kµ,µ kµ,σ
kσ,p kσ,µ kσ,σ
 ,
em que os elementos de cada entrada sa˜o
kp,p =
n
p2
− 2nE[v2(T )],
kp,µ = − n
σ(1− p)E(T ) +
2n(1− p)
σ
E[v(T )w(T )],
kp,σ =
n
σ(1− p) [1− E(T
2)] +
2n(1− p)
σ
E[Tv(T )w(T )],
kµ,p = kp,µ,
kµ,µ =
n
σ2
E(T 2)− 2n(1− p)
2
σ2
E[w2(T )],
kµ,σ =
n
σ
E(T )− 2n(1− p)
σ2
{
E[(T 2 − 1)w(T )] + E[Tw2(T )]} ,
kσ,p = kp,σ,
kσ,µ = kµ,σ,
kσ,σ =
n
σ2
+
n
σ2
E(T 2)− 2n(1− p)
σ2
E
{
T 2w(T )[T + w(T )]
}
,
46 INFEREˆNCIA 4.1
em que v(T ) = vi(Ti) para todo i = 1, 2, · · · , n. A esperanc¸a E[v2(T )] e´ uma integral do tipo
beta e portanto e´ finita. A proposic¸a˜o a seguir mostra que a matriz de informac¸a˜o esperada
de Fisher esta´ bem definida, ou seja, as outras esperanc¸as que aparecem na matriz K(λ) sa˜o
finitas.
Proposic¸a˜o 2. Seja f a func¸a˜o densidade de probabilidade da distribuic¸a˜o MON com paraˆmetros
p, µ, σ e t =
x− µ
σ
. As integrais da forma
∫ +∞
−∞
φk(t)tmf(t)dt = E[Tmφk(T )]
sa˜o finitas para todo k,m ∈ N.
Demonstrac¸a˜o. Pelo Teorema 4 para p < 1 tem-se as desigualdades
E[Tmφk(T )] =
∫ +∞
−∞
φk(t)tm
pφ(x)
{Φ(x) + p[1− Φ(x)]}2dt (4.5)
<
∫ +∞
−∞
φk+1(t)tm
p
dt =
∫ +∞
−∞
e−
t2(k+1)
2 tm
p(
√
2pi)(k+1)
dt. (4.6)
Tem-se que ∫ +∞
−∞
e−
t2(k+1)
2 tm
p(
√
2pi)(k+1)
dt =
Mm(t)
p
√
k + 1
em que Mm(t) representa o m-e´simo momento de uma distribuic¸a˜o normal com me´dia 0 e
variaˆncia
1
k + 1
. Desta forma, E[Tmφk(T )] e´ finita. Para p ≥ 1 a demonstrac¸a˜o e´ ana´loga.
Para amostras grandes e sob as condic¸o˜es de regularidade apresentadas para a func¸a˜o de
verossimilhanc¸a, se λˆ e´ um estimador de ma´xima verossimilhanc¸a da distribuic¸a˜o MON enta˜o
√
n(λˆ− λ) D→ N3(0, k(λ)−1),
com
D→ denotando a convergeˆncia em distribuic¸a˜o. Em outras palavras, a distribuic¸a˜o de λˆ e´ as-
sintoticamente normal multivariada com me´dia λ e matriz de covariaˆncia K(λ)−1 = n−1k(λ)−1.
Sendo assim, intervalos de confianc¸a assinto´ticos para p, µ e σ podem ser constru´ıdos como
IC(p, 1− γ) =
(
pˆ− zγ/2
√
k(λˆ)(p,p), pˆ+ zγ/2
√
k(λˆ)(p,p)
)
IC(µ, 1− γ) =
(
µˆ− zγ/2
√
k(λˆ)(µ,µ), µˆ+ zγ/2
√
k(λˆ)(µ,µ)
)
IC(σ, 1− γ) =
(
σˆ − zγ/2
√
k(λˆ)(σ,σ), σˆ + zγ/2
√
k(λˆ)(σ,σ)
)
,
4.2 TESTES DE HIPO´TESES 47
em que k(λˆ)(p,p), k(λˆ)(µ,µ) e k(λˆ)(σ,σ) sa˜o as variaˆncias assinto´ticas de pˆ, µˆ e σˆ dadas pelos
primeiro, segundo e terceiro elementos da diagonal da matriz n−1K(λ)−1, respectivamente. Os
valores zγ/2 representam o (1 − γ)-e´simo quantil da distribuic¸a˜o. Os intervalos de confianc¸a
possuem comprimento 100(1− γ)%.
4.2 Testes de hipo´teses
Nesta sec¸a˜o e´ feita uma breve introduc¸a˜o dos testes parame´tricos e na˜o parame´tricos. Na parte
parame´trica os testes da raza˜o de verossimilhanc¸a e da raza˜o de verossimilhanc¸a generalizada
sa˜o apresentados. Sa˜o considerados na abordagem na˜o parame´trica o teste de bondade do ajuste
feito atrave´s das estat´ısticas de W ∗ e A∗, o teste de Kolmogorov-Smirnov e alguns crite´rios de
selec¸a˜o de modelos.
Para obter as propriedades assinto´ticas dos estimadores de ma´xima verossimilhanc¸a da dis-
tribuic¸a˜o MON, as condic¸o˜es de regularidade apresentadas devem ser cumpridas. Pore´m, na˜o
foi poss´ıvel verificar todas essas condic¸o˜es analiticamente e sendo assim me´todos computacio-
nais foram utilizados nos quais evideˆncias nume´ricas mostraram que a distribuic¸a˜o em estudo
satisfazem todas as condic¸o˜es de regularidade. Seja x = (x1, x2, · · · , xn)T uma amostra indepen-
dente de tamanho n de uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o MON, com vetor de paraˆmetros
λ = (p, µ, σ). Tem-se que
1. A distribuic¸a˜o MON e´ identifica´vel, ou seja, se λ 6= λ′ enta˜o Fλ 6= Fλ′ ;
2. A distribuic¸a˜o MON tem suporte independente do paraˆmetro λ e sua func¸a˜o densidade
de probabilidade e´ diferencia´vel em λ;
3. O espac¸o parame´trico conte´m um conjunto aberto no qual o verdadeiro valor do paraˆmetro
λ0 e´ um ponto interior;
4. A matriz de informac¸a˜o de Fisher e´ finita e definida positiva em uma vizinhanc¸a aberta
de λ0;
5. As terceiras derivadas da func¸a˜o log-verossimilhanc¸a sa˜o limitadas por uma func¸a˜o in-
tegra´vel de X ∼MON com esperanc¸a finita.
4.2.1 Teste da raza˜o verossimilhanc¸a
O teste da raza˜o de verossimilhanc¸a (TRV) pode ser feito para testar dois modelos quando
um dos modelos e´ submodelo do outro. O TRV e´ feito atrave´s da estat´ıstica de raza˜o de
verossimilhanc¸a definida por
LR = 2[l(λˆ)− l(λ˜)], (4.7)
em que λˆ e λ˜ sa˜o, respectivamente, os estimadores de ma´xima verossimilhanc¸a (EMVs) para
o modelo representado na hipo´tese alternativa HA e para o modelo representado na hipo´tese
nula H0. Tem-se que sob H0, a estat´ıstica LR converge em distribuic¸a˜o para uma distribuic¸a˜o
chi-quadrado com q graus de liberdade, com q sendo a diferenc¸a entre o nu´mero de paraˆmetros
48 INFEREˆNCIA 4.2
dos modelos. Matematicamente, LR
d→ χ2p. Rejeita-se a hipo´tese nula se LR > p1−α, em que
p1−α representa o quantil 1− α da distribuic¸a˜o chi-quadrado com q graus de liberdade e α e´ o
n´ıvel de significaˆncia desejado.
4.2.2 Teste da raza˜o de verossimilhanc¸a generalizada
Para testar modelos non-nested (na˜o aninhados) o teste da raza˜o de verossimilhanc¸a des-
crito anteriormente na˜o e´ mais apropriado. Vuong (1989) apresentou a seguinte definic¸a˜o para
modelos non-nested :
Definic¸a˜o 3. Dois modelos Fθ e Gγ, sa˜o estritamente non-nested se, e somente se, Fθ∩Gγ = ∅.
Considere a escolha entre dois modelos Fθ e Gγ com func¸o˜es de densidades de probabilidade cor-
respondentes f(yi|xi, θ) e g(yi|xi, γ), respectivamente. A estat´ıstica da raza˜o de verossimilhanc¸a
generalizada para testar a hipo´tese nula que os modelos sa˜o equivalentes e´ definida como
TF,G =
{
1√
n
n∑
i=1
log
f(yi|xi, θˆ)
g(yi|xi, γˆ)
}
×
{
1
n
n∑
i=1
(
log
f(yi|xi, θˆ)
g(yi|xi, γˆ)
)2
−
(
1
n
n∑
i=1
log
f(yi|xi, θˆ)
g(yi|xi, γˆ)
)2}− 1
2
.
(4.8)
A estat´ıstica TF,G converge em distribuic¸a˜o sob a hipo´tese nula de equivaleˆncia dos modelos,
para a distribuic¸a˜o normal padra˜o. Seja c um valor cr´ıtico da distribuic¸a˜o normal padra˜o para
o n´ıvel de significaˆncia desejado. Se o valor da estat´ıstica TF,G for maior que c enta˜o rejeita-se a
hipo´tese nula que os modelos sa˜o equivalentes em favor do modelo Fθ ser melhor do que Gγ. Se
TF,G for menor do que −c, enta˜o a hipo´tese nula e´ rejeitada em favor do modelo Gγ ser melhor
do que o modelo Fθ. Por fim, se |TF,G| ≤ c, enta˜o os modelos sa˜o equivalentes com base nos
dados. Para mais detalhes ver Vuong (1989).
4.2.3 Teste bondade do ajuste
Para verificar qual distribuic¸a˜o entre as distribuic¸o˜es testadas se ajusta melhor a um determi-
nado conjunto de dados, o teste de bondade de ajuste pode ser realizado. As estat´ısticas de
Cra´mer-von Mises (W ∗), Anderson-Darling (A∗) e o teste de Kolmogorov-Smirnov sera˜o utiliza-
dos. Em geral, o modelo que apresentar menores valores para (W ∗), (A∗) e para a estat´ıstica do
teste de Kolmogorov-Smirnov, sera´ considerado o melhor para o ajuste do conjunto de dados.
Para testar H0:X1, X2, · · · , Xn e´ uma varia´vel aleato´ria de uma distribuic¸a˜o cont´ınua com
func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada F (x;λ), em que a forma F e´ conhecida mas vetor de paraˆmetros
λ e´ desconhecido, as estat´ısticas W ∗ e A∗ sa˜o calculadas seguindo os procedimentos descritos a
seguir:
1. Estime λˆ um estimador eficiente de λ e calcule vi = Fi(xi; λˆ), em que os x
′
is sa˜o colocados
em ordem crescente;
2. Calcule yi = Φ
−1(vi), em que Φ(·) e´ a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada da distribuic¸a˜o
normal padra˜o e Φ−1(·) sua inversa;
4.3 TESTES DE HIPO´TESES 49
3. Calcule ui = Φ
(
yi − y¯
sy
)
, em que y¯ = n−1
∑n
i=1 yi e s
2
y = (n− 1)−1
∑n
i=1(yi − y¯)2;
4. Calcule
W 2 =
n∑
i=1
{
ui − (2i− 1)
2n
}2
+
1
12n
A2 = −n− 1
n
n∑
i=1
[(2i− 1) log(ui) + (2n+ 1− 2i) log(1− ui)];
5. Modifique W 2 por W ∗ = W 2(1 + 0.5/n) e A∗ = A2(1 + 0.75/n + 2.25/n2), em que n e´ o
tamanho da amostra.
A hipo´tese nula e´ rejeitada ao n´ıvel de significaˆncia α se as estat´ısticas modificadas W ∗ e A∗
excedem os limites superiores de significaˆncia apresentados em uma tabela dada por Chen e
Balakrishnan (1995). Em geral, quanto menor as estat´ısticas W ∗ e A∗, melhor e´ o ajuste dos
dados. Para mais detalhes ver os u´ltimos autores.
O teste de Kolmogorov-Smirnov (KS) verifica se uma amostra pode ser considerada como
proveniente de uma populac¸a˜o com uma determinada func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada. As
hipo´teses do teste sa˜o
H0 : a populac¸a˜o tem uma determinada distribuic¸a˜o D
H1 : a populac¸a˜o na˜o tem a distribuic¸a˜o D.
O procedimento para calcular a estat´ıstica Dn do teste KS, a qual e´ definida como o ma´ximo
valor absoluto da diferenc¸a entre as func¸o˜es de distribuic¸a˜o acumulada emp´ırica e estimada, e
o correspondente p-valor sa˜o descritos a seguir.
1. Ordenar os n valores dos dados y(1) ≤ y(2) ≤ · · · ≤ y(n);
2. Calcular a estat´ıstica
Dn = max
j=1,...,n
{
j
n
− Fˆ (y(j)), Fˆ (y(j))− j − 1
n
}
,
em que Fˆ (·) e´ a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada D sob a hipo´tese nula;
3. Gerar nu´meros aleato´rios de n distribuic¸a˜o U(0, 1) e ordenar, u
(i)
(i) ≤ u(i)(2) ≤ · · · ≤ u(i)(n);
4. Calcular
d(i) = max
j=1,...,n
{
j
n
− u(i)(j), u(i)(j) −
j − 1
n
}
;
5. Seja Ii = 1 se d
(i) ≥ Dn e caso contra´rio zero. Repetir os passos 3 e 4 N vezes, I1, · · · , IN .
O p-valor e´ estimado por
∑N
i=1
Ii
N
.
A hipo´tese nula e´ rejeitada se o p-valor for menor que o n´ıvel de significaˆncia utilizado para o
teste. Para informac¸o˜es adicionais ver Lin et al. (2007).
50 INFEREˆNCIA 4.3
4.3 Crite´rios de selec¸a˜o de modelos
4.3.1 Crite´rio de informac¸a˜o de Akaike - AIC
O crite´rio de informac¸a˜o de Akaike (AIC) (Akaike, 1973), e´ uma ferramenta para selec¸a˜o
de modelos e foi desenvolvido a partir da distaˆncia de Kullback-Leibler, definida na expressa˜o
(3.30). O AIC e´ definido como
AIC = −2l(λˆ) + 2k,
em que l(λˆ) e´ a func¸a˜o log-verossimilhanc¸a maximizada e k e´ o nu´mero de paraˆmetros do
modelo. O termo acrescentado na func¸a˜o de log-verossimilhanc¸a tem a finalidade de corrigir o
vie´s resultante da comparac¸a˜o de modelos com diferentes nu´meros de paraˆmetros. Dentre os
modelos considerados o que possuir menor valor de AIC sera´ considerado o modelo de melhor
ajuste.
4.3.2 Crite´rio de informac¸a˜o de Akaike corrigido - AICc
Segundo Sugiura (1978), o crite´rio de informac¸a˜o de Akaike pode ser ruim se existem muitos
paraˆmetros quando comparados com o tamanho da amostra. Desta forma ele propoˆs uma
correc¸a˜o do vie´s do AIC atrave´s da expressa˜o
AICc = AIC +
2k(k + 1)
n− k − 1 ,
em que n e´ tamanho da amostra e k o nu´mero de paraˆmetros do modelo. Segundo Burnham
e Anderson (2004) sua utilizac¸a˜o e´ indicada quando a n
k
< 40. Se a raza˜o for suficientemente
grande os crite´rios AIC e AICc apresentam resultados semelhantes. O modelo com menor AICc
e´ selecionado.
4.3.3 Crite´rio Bayesiano de Schwarz - BIC
O crite´rio de informac¸a˜o de Schwarz (BIC) (Schwarz, 1978), pode ser expresso por
BIC = −2l(λˆ) + 2k ln(n),
em que l(λˆ) e´ func¸a˜o log-verossimilhanc¸a generalizada, n o nu´mero de observac¸o˜es e k o nu´mero
de paraˆmetros. Uma caracter´ıstica desse crite´rio e´ penalizar os modelos com mais paraˆmetros.
Um modelo com menor BIC e´ considerado o melhor modelo.
O pro´ximo cap´ıtulo apresenta um estudo de simulac¸a˜o e um ajuste da distribuic¸a˜o MON
para um banco de dados reais. Uma comparac¸a˜o desta distribuic¸a˜o e´ feita com as distribuic¸o˜es
normal, Cauchy, log´ıstica e t-Student.
Cap´ıtulo 5
Simulac¸a˜o e Aplicac¸a˜o
Neste cap´ıtulo, apresenta-se um estudo de simulac¸a˜o em que amostras da distribuic¸a˜o MON
sa˜o geradas. Para ilustrar a utilidade do modelo MON apresentado no Cap´ıtulo 3, um conjunto
de dados reais sera´ analisado para comparar o modelo em estudo com distribuic¸o˜es usuais que
modelam dados com caudas pesadas e curtose maior do que a da distribuic¸a˜o normal.
5.1 Simulac¸a˜o
Para se obter uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o MON e´ suficiente gerar um nu´mero
aleato´rio u da distribuic¸a˜o Uniforme(0,1) e em seguida efetuar o quantil de ordem u da distri-
buic¸a˜o MON:
x = Φ−1
[
pu
1− (1− p)u
]
σ + µ.
A Figura 5.1 mostra alguns histogramas para dados simulados de uma distribuic¸a˜o MON
com a linha cont´ınua representando a func¸a˜o de densidade estimada da frequeˆncia dos dados,
dada pelo comando density do R em sua versa˜o 2.15.2..
51
52 SIMULAC¸A˜O E APLICAC¸A˜O 5.2
x
D
en
si
da
de
−15 −10 −5 0 5 10
0.
00
0.
02
0.
04
0.
06
0.
08
0.
10 p= 0.7
µ= −3
σ= 6
n= 50
x
D
en
si
da
de
−20 −15 −10 −5 0 5 10
0.
00
0.
02
0.
04
0.
06
0.
08
0.
10 p= 6
µ= −8
σ= 5
n= 100
x
D
en
si
da
de
−10 −5 0 5 10
0.
00
0.
05
0.
10
0.
15
p= 0.04
µ= 5.5
σ= 4
n= 200
x
D
en
si
da
de
−20 −10 0 10 20
0.
00
0.
01
0.
02
0.
03
0.
04
0.
05
0.
06
0.
07 p= 8
µ= −5
σ= 7
n= 500
x
D
en
si
da
de
0 10 20 30 40
0.
00
0.
01
0.
02
0.
03
0.
04
0.
05
0.
06 p= 7
µ= 12
σ= 8
n= 700
x
D
en
si
da
de
−15 −10 −5 0 5 10 15
0.
00
0.
02
0.
04
0.
06
0.
08
0.
10
p= 0.5
µ= 2
σ= 4
n= 1000
Figura 5.1: Gra´ficos da func¸a˜o densidade exata da distribuic¸a˜o MON com histogramas para
dados simulados.
5.2 Aplicac¸a˜o
Nesta sec¸a˜o apresenta-se uma ana´lise de um conjunto de dados reais para mostrar a flexibilidade
da distribuic¸a˜o MON. Foram comparadas com a distribuic¸a˜o MON as distribuic¸o˜es normal,
5.2 APLICAC¸A˜O 53
log´ıstica, Cauchy e t-Student. O banco de dados utilizado foi originalmente considerado por
Badar e Priest (1982) e representa 63 valores de resisteˆncia para amostras de fibras de carbono.
Os dados sa˜o apresentados a seguir.
1.901 2.132 2.203 2.228 2.257 2.350 2.361 2.396 2.397 2.445 2.454 2.474
2.518 2.522 2.525 2.532 2.575 2.614 2.616 2.618 2.624 2.659 2.675 2.738
2.740 2.856 2.917 2.928 2.937 2.937 2.977 2.996 3.030 3.125 3.139 3.145
3.220 3.223 3.235 3.243 3.264 3.272 3.294 3.332 3.346 3.377 3.408 3.435
3.493 3.501 3.537 3.554 3.562 3.628 3.852 3.871 3.886 3.971 4.024 4.027
4.225 4.395 5.020.
A Tabela 5.1, lista as estimativas de ma´xima verossimilhanc¸a (EMVs) com os correspon-
dentes erros padro˜es entre pareˆnteses, o logaritmo da verossimilhanc¸a e as estat´ısticas AIC,
BIC e AICc. Os resultados encontrados indicam que o modelo MON teve os menores valores
Tabela 5.1: EMVs dos paraˆmetros dos modelos MON, normal, log´ıstica, t-Student e Cau-
chy para dados de fibras de carbono, correspondentes erros-padra˜o (entre pareˆnteses), log-
verossimilhanc¸a e valores dos AIC, BIC, AICc.
Distribuic¸a˜o Estimativas (Erro) Log-vero AIC BIC AICc
pˆ = 0.1786 (0.2009)
MON µˆ = 3.6647 (0.4503) -57.2830 120.5660 126.9954 120.9728
σˆ = 0.6519 (0.0867)
Normal µˆ = 3.0596 (0.0776) -58.8664 121.7329 126.0192 121.9329
σˆ = 0.6159 (0.0549)
Log´ıstica µˆ = 3.0244 (0.0780) -59.3295 122.6591 126.9453 122.8591
σˆ = 0.3525 (0.0365)
µˆ = 3.0475 (0.0773)
t-Student τˆ = 0.6150 (0.0556) - 58.7922 123.5845 130.0139 123.9913
νˆ = 28.7203 (1.2437)
Cauchy µˆ = 2.9902 (0.0916) -71.4473 146.8945 151.1808 147.0945
λˆ = 0.4033 (0.0611)
para AIC e AICc dentre os modelos considerados, e enta˜o poderia ser escolhido como o me-
lhor modelo. Em relac¸a˜o ao BIC, o da distribuic¸a˜o MON foi menor que o das distribuic¸o˜es
t-Student e Cauchy, sendo considerado o melhor modelo quando comparado com as mesmas.
Pore´m, quando comparado com as distribuic¸o˜es normal e log´ıstica, o BIC da MON foi maior do
que o encontrado para estas distribuic¸o˜es. A diferenc¸a foi pequena (na primeira e na segunda
casas decimais). Este resultado era de se esperar pois o BIC penaliza as distribuic¸o˜es com mais
paraˆmetros.
A Figura 5.2 ilustra o histograma dos dados com as densidades dos modelos comparados
substituindo os valores encontrados para as estimativas de ma´xima verossimilhanc¸a. Nota-se
que a distribuic¸a˜o MON proporciona um ajuste satisfato´rio aos dados.
54 SIMULAC¸A˜O E APLICAC¸A˜O 5.2
x
D
en
si
da
de
2 3 4 5
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
MON
Normal
Logística
t − Student
Cauchy
Figura 5.2: Histograma do conjunto de dados de fibras de carbono com as func¸o˜es de densidades
de probabilidades dos modelos MON, normal, log´ıstica, t-Student e Cauchy.
Para verificar se o modelo MON se ajusta melhor ao banco de dados do que o modelo normal
pode-se testar as hipo´teses H0: p = 1 versus H1: H0 na˜o e´ verdadeira, equivalentemente, H0:
normal × H1: MON. A estat´ıstica LR encontrada para testar estas hipo´teses foi 3.1668 (p-
valor < 0.10). Desta forma, rejeita-se a hipo´tese nula em favor da distribuic¸a˜o MON ao n´ıvel de
significaˆncia de 10%, ou seja, o modelo MON e´ significantemente melhor que o modelo normal
baseado na estat´ıstica da raza˜o de verossimilhanc¸a.
Testou-se, via estat´ıstica dada na expressa˜o (4.8) para modelos non-nested (“na˜o aninha-
dos”), o modelo MON com os modelos log´ıstica, Cauchy e t-Student. A estat´ıstica encontrada
para testar H0: log´ıstica versus HA: MON foi de 0.2588. Desta forma, a hipo´tese nula na˜o e´
rejeitada ao n´ıvel de significaˆncia de 5%, ou seja, os modelos MON e log´ıstica sa˜o equivalentes
para o conjunto de dados. Para testar as hipo´teses H0: Cauchy versus HA: MON, a estat´ıstica
encontrada foi de 0.8951. Ao n´ıvel de 5% de significaˆncia a hipo´tese nula na˜o e´ rejeitada e
portanto, os modelos MON e Cauchy sa˜o equivalentes para o ajuste dos dados. Por fim, a
estat´ıstica encontrada para testar as hipo´teses H0: t-Student versus HA: MON foi de 0.3827.
Aceita-se a hipo´tese nula o que significa que os modelos MON e t-Student sa˜o significantemente
equivalentes para o ajuste do conjunto de dados.
Os valores para as estat´ısticas (W ∗) e (A∗) encontrados para todos os modelos esta˜o listados
na Tabela 5.2. Pela tabela de valores cr´ıticos para W ∗ e A∗, apresentada em Chen e Balakris-
tihnan (1995), todas as distribuic¸o˜es testadas, exceto a distribuic¸a˜o Cauchy, se adequam aos
5.2 APLICAC¸A˜O 55
dados. Entretanto, as estat´ısticas encontradas para o modelo MON foram as menores e desta
forma tem-se que este modelo se encaixa melhor ao conjunto de dados do que os outros modelos
testados.
Tabela 5.2: Teste bondade do ajuste
Distribuic¸a˜o Estat´ıstica W ∗ Estat´ıstica A∗
MON 0.0051 0.1734
Normal 0.0069 0.3311
Log´ıstica 0.0094 0.3966
Cauchy 0.0657 2.4666
t-Student 0.0071 0.3281
A Tabela 5.3 mostra os resultados do teste de Kolmogorov-Smirnov (KS) para os cinco
modelos ajustados. Dentre os modelos comparados, o melhor e´ o modelo MON com o maior
p-valor igual a 0.7130. Isto e´, o teste KS sugere que os dados para fibra de carbono seguem uma
distribuic¸a˜o MON.
Tabela 5.3: Teste de Kolmogorov-Smirnov para as distribuic¸o˜es testadas
Distribuic¸a˜o Dn p-valor
MON 0.0868 0.7130
Normal 0.0987 0.5210
Log´ıstica 0.0944 0.6000
Cauchy 0.1239 0.2570
t-Student 0.0903 0.6810
56 SIMULAC¸A˜O E APLICAC¸A˜O 5.2
Cap´ıtulo 6
Concluso˜es e discusso˜es
Neste trabalho, estudou-se a distribuic¸a˜o Marshall-Olkin normal, a qual e´ obtida atrave´s da
transformac¸a˜o da famı´lia definida em Marshall e Olkin (1997). Expanso˜es em se´ries convergen-
tes foram calculadas para as func¸o˜es de distribuic¸a˜o acumulada e de densidade de probabilidade,
expresso˜es para alguns momentos foram deduzidas com os primeiros termos encontrados expli-
citamente. As entropias de Shannon e de Re´nny foram calculadas e tambe´m estudou-se a iden-
tificabilidade do modelo. Na parte inferencial, expresso˜es para os estimadores dos paraˆmetros
de uma amostra independente da distribuic¸a˜o Marshall-Olkin normal foram obtidas atrave´s do
me´todo de ma´xima verossimilhanc¸a. A matriz de informac¸a˜o esperada de Fisher foi apresentada
e intervalos de confianc¸a foram constru´ıdos.
Investigou-se o comportamento do paraˆmetro adicional como uma medida de assimetria e foi
verificado que o resultado de Rubio e Stell (2012) e´ verdadeiro, ou seja, o paraˆmetro adicional
da MON na˜o modela assimetria forte ou moderada. Para constatar esse resultado, um estudo
com o mesmo conjunto de dados utilizado por Ga´rcia et al. (2010) foi realizado (os resultados
se encontram no Apeˆndice C). Desta forma, verificou-se que a distribuic¸a˜o MON na˜o compete
com distribuic¸o˜es assime´tricas como afirmaram Ga´rcia et al. (2010).
A distribuic¸a˜o MON possui curva de densidade de probabilidade deslocada (para a direita
ou esquerda) e e´ mais afunilada (alta) quando comparada com a distribuic¸a˜o normal, deduziu-se
que esta distribuic¸a˜o poderia competir com distribuic¸o˜es usuais que modelam dados com cau-
das pesadas e curtose maior do que a da distribuic¸a˜o normal. Para verificar esse pensamento
intuitivo, utilizou-se um banco de dados reais ajustando-se ale´m da distribuic¸a˜o MON as dis-
tribuic¸o˜es normal, log´ıstica, Cauchy e t-Student. As distribuic¸o˜es ajustadas foram comparadas
utilizando-se as estat´ısticas AIC, BIC, CAIC, os testes da raza˜o de verossimilhanc¸a, da raza˜o
de verossimilhanc¸a generalizada e de bondade de ajuste. De acordo com os crite´rios citados, a
MON se ajustou melhor aos dados do que as outras distribuic¸o˜es testadas.
Sendo assim, a distribuic¸a˜o Marshall-Olkin normal pode modelar fenoˆmenos com caudas
pesadas, curtose maior que a da distribuic¸a˜o normal e um leve descolocamento, ou seja, modelar
dados ligeiramente afastados da normalidade.
57
58 CONCLUSO˜ES E DISCUSSO˜ES 6.0
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62 CONCLUSO˜ES E DISCUSSO˜ES .0
Apeˆndice A
A.1 Terceiro momento
Neste apeˆndice os primeiros termos da expansa˜o que representa os momentos de terceira e
quarta ordem sa˜o calculados. Os resultados encontrados foram baseados no artigo de Bose e
Gupta (1959).
O terceiro momento para X ∼MON(p, 0, 1) e´ dado por
E(X3) =
{ ∑∞
n=0 p(1− p)n(n+ 1)
∫∞
−∞ x
3φ(x)[1− Φ(x)]ndx, se 0 < p ≤ 1,∑∞
n=0 q(1− q)n(n+ 1)
∫∞
−∞ x
3φ(x)Φ(x)ndx, se q−1 = p > 1.
(A.1)
Para q−1 = p > 1 tem-se
E(X3) =
∞∑
n=0
q(1− q)n(n+ 1)
∫ ∞
−∞
x3φ(x)[Φ(x)]ndx
= q
∫ ∞
−∞
x3φ(x)dx+
∞∑
n=1
q(1− q)n(n+ 1)
∫ ∞
−∞
x3φ(x)[Φ(x)]ndx
= q
∫ ∞
−∞
x3φ(x)dx+
∞∑
n=1
q(1− q)n(n+ 1)
∫ ∞
−∞
x3φ(x)[Φ(x)]ndx
=
∞∑
n=1
q(1− q)nµ′3(n+ 1, n+ 1),
pois
∫∞
−∞ x
3φ(x)dx e´ terceiro momento de uma distribuic¸a˜o normal padra˜o e e´ igual a zero, e
µ′3(n+ 1, n+ 1) = (n+ 1)
∫ ∞
−∞
x3φ(x)[Φ(x)]ndx
e´ o terceiro momento do ma´ximo de n + 1 varia´veis com distribuic¸a˜o normal padra˜o. Bose e
Gupta (1959) mostraram que
µ′3(n+ 1, n+ 1) =
5
2
µ′1(n+ 1, n+ 1) +
(
n+ 1
4
)∫ ∞
−∞
[Φ(x)]n−3
e−2x
2
pi2
dx. (A.2)
63
64 A.1
Substituindo alguns valores de n na expressa˜o (A.2) tem-se
µ′3(2, 2) =
5
2
µ′1(2, 2) =
5
√
pi
2
,
µ′3(3, 3) =
5
2
µ′1(3, 3) =
15
4
√
pi
,
µ′3(4, 4) =
5
2
µ′1(4, 4) +
1
pi2
∫ ∞
−∞
e−2x
2
dx
=
15I2(1)
pi
+
√
2pi
2pi2
=
15 arctan
√
2
pi
√
pi
+
√
2pi
2pi2
.
O valor de µ′3(5, 5) foi apresentado por Bose e Gupta (1959):
µ′3(5, 5) =
75 arctan
√
2 + 5√
(2pi)3
− 25
4
√
pi
.
Assim, a expansa˜o do terceiro momento e´ dada por
E(X3) =
∞∑
n=1
q(1− q)nµ′3(n+ 1, n+ 1)
= q(1− q)µ′3(2, 2) + q(1− q)2µ′3(3, 3) + q(1− q)3µ′3(4, 4) + q(1− q)4µ′3(5, 5) +
∞∑
n=5
q(1− q)nµ′3(n+ 1, n+ 1)
=
5
√
piq(1− q)
2
+
15q(1− q)2
4
√
pi
+ q(1− q)3
[
15 arctan
√
2
pi
√
pi
+
√
2pi
2pi2
]
+
+q(1− q)4
[
75 arctan
√
2 + 5√
(2pi)3
− 25
4
√
pi
]
+
∞∑
n=5
q(1− q)nµ′3(n+ 1, n+ 1).
Quando 0 < p ≤ 1 o terceiro momento da distribuic¸a˜o MON padra˜o pode ser representado
como
E(X3) =
∞∑
n=0
p(1− p)n(n+ 1)
∫ ∞
−∞
x3φ(x)[1− Φ(x)]ndx (A.3)
= p
∫ ∞
−∞
x3φ(x)dx+
∞∑
n=1
p(1− p)n(n+ 1)
∫ ∞
−∞
x3φ(x)[1− Φ(x)]ndx
=
∞∑
n=1
p(1− p)nµ′3(n+ 1, 1),
A.2 QUARTO MOMENTO 65
em que µ′3(n+ 1, 1) =
∫∞
−∞(n+ 1)x
3φ(x)[1−Φ(x)]ndx e´ o terceiro momento do mı´nimo de n+ 1
varia´veis normais padra˜o. Por Bose e Gupta (1959) tem-se
µ′3(n+ 1, 1) =
5
2
µ′1(n+ 1, 1)−
(
n+1
4
)
pi2
∫ ∞
−∞
[1− Φ(x)]n−3e−2x2dx.
Substituindo n = (1, 2, 3), respectivamente, em (A.3), tem-se
µ′3(2, 1) =
5
2
µ′1(2, 1) = −
5
√
pi
2pi
,
µ′3(3, 1) =
5
2
µ′1(3, 1) = −
15
√
pi
4
,
µ′3(4, 1) =
5
2
µ′1(4, 1)−
1
pi2
√
2pi
2
= −15 arctan
√
2
pi
√
pi
−
√
2pi
2pi2
.
Desta forma, o terceiro momento da distribuic¸a˜o MON padra˜o para valores de p entre zero e
um e´ dado pela expansa˜o
E(X3) =
∞∑
n=1
p(1− p)nµ′3(n+ 1, 1)
= p(1− p)µ′3(2, 1) + p(1− p)2µ′3(3, 1) + p(1− p)3µ′3(4, 1) +
∞∑
n=4
p(1− p)nµ′3(n+ 1, 1)
= −p(1− p)5
√
pi
2pi
− p(1− p)215
√
pi
4
− p(1− p)3
[
15 arctan
√
2
pi
√
pi
+
√
2pi
2pi2
]
+
∞∑
n=4
p(1− p)nµ′3(n+ 1, 1).
A.2 Quarto momento
O quarto momento de uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o MON padra˜o pode ser represen-
tado por
E(X4) =
{ ∑∞
n=0 p(1− p)n(n+ 1)
∫∞
−∞ x
4φ(x)[1− Φ(x)]ndx, se 0 < p ≤ 1,∑∞
n=0 q(1− q)n(n+ 1)
∫∞
−∞ x
4φ(x)Φ(x)ndx, se q−1 = p > 1.
(A.4)
66 A.2
Para q−1 = p > 1 tem-se
E(X4) =
∞∑
n=0
q(1− q)n(n+ 1)
∫ ∞
−∞
x4φ(x)[Φ(x)]ndx
= q
∫ ∞
−∞
x4φ(x)dx+
∞∑
n=1
q(1− q)n(n+ 1)
∫ ∞
−∞
x4φ(x)[Φ(x)]ndx
= 3q +
∞∑
n=1
q(1− q)n(n+ 1)
∫ ∞
−∞
x4φ(x)[Φ(x)]ndx
= 3q +
∞∑
n=1
q(1− q)nµ′4(n+ 1, n+ 1),
em que
µ′4(n+ 1, n+ 1) = (n+ 1)
∫ ∞
−∞
x4φ(x)[Φ(x)]ndx
e´ o quarto momento do ma´ximo de n+1 varia´veis com distribuic¸a˜o normal padra˜o, e
∫∞
−∞ x
4φ(x)dx
e´ o quarto momento (que representa a curtose) da distribuic¸a˜o normal padra˜o e e´ igual a 3.
Por Bose e Gupta (1959), o quarto momento do ma´ximo de n+ 1 varia´veis com distribuic¸a˜o
normal padra˜o pode ser escrito como
µ′4(n+ 1, n+ 1) = −
4
3
+
13
3
µ′2(n+ 1, n+ 1) +
5
(
n+1
5
)
(2pi)
5
2
∫ ∞
−∞
[Φ(x)]n−4e−
5
2
x2dx. (A.5)
Substituindo n = 1, 2, 3 na expressa˜o (A.5), respectivamente, tem-se que
µ′4(2, 2) = −
4
3
+
13
3
µ′2(2, 2) = 3,
µ′4(3, 3) = −
9
3
+
13
3
µ′2(3, 3) = −
4
3
+
13
3
(
2pi +
√
3
2pi
)
,
µ′4(4, 4) = −
4
3
+
13
3
µ′2(4, 4) = −
4
3
+
13
3
(
pi +
√
3
pi
)
,
µ′4(5, 5) = −
4
3
+
13
3
µ′2(5, 5) +
5
(2pi)
5
2
∫ ∞
−∞
e−
5
2
x2dx
= −4
3
+
13
3
µ′2(5, 5) +
√
5
4pi2
.
A.2 QUARTO MOMENTO 67
Portanto, o quarto momento da distribuic¸a˜o MON padra˜o pode ser representado como
E(X4) = 3q +
∞∑
n=1
q(1− q)nµ′4(n+ 1, n+ 1)
= 3q + q(1− q)µ′4(2, 2) + q(1− q)2µ′4(3, 3) + q(1− q)3µ′4(4, 4) + q(1− q)4µ′4(5, 5)
+
∞∑
n=5
q(1− q)nµ′4(n+ 1, n+ 1)
= 3q + 3q(1− q) + q(1− q)2
[
−4
3
+
13
3
(
2pi +
√
3
2pi
)]
+ q(1− q)3
[
−4
3
+
13
3
(
pi +
√
3
pi
)]
+q(1− q)4
(
−4
3
+
13
3
µ′2(5, 5) +
√
5
4pi2
)
+
∞∑
n=5
q(1− q)nµ′4(n+ 1, n+ 1).
Quando 0 < p ≤ 1 o quarto momento da distribuic¸a˜o MON padra˜o pode ser escrito como
E(X4) =
∞∑
n=0
p(1− p)n(n+ 1)
∫ ∞
−∞
x4φ(x)[1− Φ(x)]ndx
= p
∫ ∞
−∞
x4φ(x)dx+
∞∑
n=1
p(1− p)n(n+ 1)
∫ ∞
−∞
x4φ(x)[1− Φ(x)]ndx
= 3p+
∞∑
n=1
p(1− p)nµ′4(n+ 1, 1),
com µ′4(n + 1, 1) = (n + 1)
∫∞
−∞ x
4φ(x)[1 − Φ(x)]ndx sendo o quarto momento do mı´nimo de
uma amostra de n + 1 observac¸o˜es da distribuic¸a˜o normal padra˜o. Por Bose e Gupta (1959),
esse momento e´ dado por
µ′4(n+ 1, 1) = −
4
3
+
13
3
µ′2(n+ 1, 1) +
5
(
n+1
5
)
(2pi)
5
2
∫ ∞
−∞
[1− Φ(x)]n−4e− 52x2dx. (A.6)
Escrevendo n = 1, 2, 3 na expressa˜o (A.6) os primeiros termos dessa expansa˜o sa˜o
µ′4(2, 1) = −
4
3
+
13
3
µ′2(2, 1) = 3,
µ′4(3, 1) = −
4
3
+
13
3
µ′2(3, 1) = −
4
3
+
13
3
(
2pi +
√
3
2pi
)
,
µ′4(4, 1) = −
4
3
+
13
3
µ′2(4, 1) = −
4
3
+
13
3
(
pi +
√
3
pi
)
,
µ′4(5, 1) = −
4
3
+
13
3
µ′2(5, 1) +
5
(2pi)
5
2
∫ ∞
−∞
e−
5
2
x2dx
= −4
3
+
13
3
µ′2(5, 1) +
√
5
4pi2
.
68 A.2
Portanto, o quarto momento para a distribuic¸a˜o MON padra˜o para valores de p entre zero e
um pode ser escrito como
E(X4) = 3p+
∞∑
n=1
p(1− p)nµ′4(n+ 1, 1)
= 3p+ p(1− p)µ′4(2, 1) + p(1− p)2µ′4(3, 1) + p(1− p)3µ′4(4, 1)
+p(1− p)4µ′4(5, 1) +
∞∑
n=5
p(1− p)nµ′4(n+ 1, 1)
= 3p+ 3p(1− p) + p(1− p)2
[
−4
3
+
13
3
(
2pi +
√
3
2pi
)]
+ p(1− p)3
[
−4
3
+
13
3
(
pi +
√
3
pi
)]
+p(1− p)4
[
−4
3
+
13
3
µ′2(5, 1) +
√
5
4pi2
]
+
∞∑
n=5
p(1− p)nµ′4(n+ 1, 1).
Apeˆndice B
Neste apeˆndice sa˜o apresentadas as derivadas de segunda ordem da func¸a˜o de log-verossimilhanc¸a
da distribuic¸a˜o MON. Lembrando que as representac¸o˜es usadas a seguir foram obtidas atrave´s
da propriedade que a esperanc¸a do vetor escore e´ zero.
Fazendo-se as representac¸o˜es
vi(ti) =
1− Φ(ti)
Φ(ti)(1− p) + p e wi(ti) =
φ(ti)
Φ(ti)(1− p) + p,
tem-se que as derivadas parciais de segunda ordem em relac¸a˜o aos paraˆmetros da distribuic¸a˜o
MON sa˜o dadas por
∂2l
∂p2
= − n
p2
+ 2
n∑
i=1
v2i (ti),
∂2l
∂µ2
= − n
σ2
+
2(1− p)
σ2
n∑
i=1
{
tiwi(ti) + (1− p)w2i (ti)
}
,
∂2l
∂σ2
=
n
σ2
− 3
σ2
n∑
i=1
t2i +
2(1− p)
σ2
n∑
i=1
{
(t2i − 2)wi(ti)ti + t2iw2i (ti)
}
,
∂2l
∂p∂µ
= − 2
σ
n∑
i=1
wi(ti)− 2(1− p)
σ
n∑
i=1
vi(ti)wi(ti),
∂2l
∂p∂σ
= − 2
σ
n∑
i=1
tiwi(ti)− 2(1− p)
σ
n∑
i=1
tivi(ti)wi(ti),
∂2l
∂µ∂σ
= − 2
σ
n∑
i=1
ti +
2(1− p)
σ2
n∑
i=1
{
(t2i − 1)wi(ti) + (1− p)tiw2i (ti)
}
.
69
70 B.0
Apeˆndice C
Neste apeˆndice, uma ana´lise do conjunto de dados utilizado por Garc´ıa et al. (2010) e´ realizada.
Para verificar a bondade do ajuste, outros testes, ale´m dos utilizados por eles, sa˜o apresentados.
Na Tabela C.1, tem-se as estimativas de ma´xima verossimilhanc¸a (com os correspondentes
erros-padra˜o entre pareˆnteses) e os valores das estat´ısticas AIC, BIC e CAIC para os modelos
MON, normal, normal poteˆncia (NP) e skew-normal (SN).
Tabela C.1: EMVs dos paraˆmetros dos modelos MON, normal, NP, SN e SNB para dados de IQ
Scores OITS, correspondentes erros-padra˜o (entre pareˆnteses) e valores dos AIC, BIC e CAIC.
Distribuic¸a˜o Estimativas (Erro) Log-vero AIC BIC CAIC
pˆ = 0.2507 (0.2436)
MON µˆ = 112.8751 (4.7352) -182.3138 370.6276 376.4813 391.6477
σˆ = 8.3928 (0.9503)
Normal µˆ = 106.6538 (1.1415) -183.3872 370.7744 374.6769 384.7878
σˆ = 8.2296 (0.7998)
λˆ = 42.3960 (16.1669)
NP µˆ = 68.4544 (5.3993) -182.4298 370.8596 376.7133 379.7133
σˆ = 17.4787 (2.0053)
λˆ = 2.5463 (1.2147)
SN µˆ = 97.4548 (1.9864) -182.1399 370.2798 376.1335 379.1335
σˆ = 12.3430 (1.9647)
Na Tabela C.2 encontra-se os testes de hipo´teses realizados para testar a distribuic¸a˜o MON
com as distribuic¸o˜es normal e skew-normal.
Tabela C.2: Teste de Hipo´teses
Teste H0 H1 Estat´ıstica Nı´vel p-valor
Raza˜o de verossimilhanc¸a normal MON 2.1468 10% 0.1429
Raza˜o de verossimilhanc¸a generalizada SN MON -0.3505 5% -
Desta forma, aceita-se a hipo´tese nula em favor da distribuic¸a˜o normal ao n´ıvel de signi-
ficaˆncia de 5%, ou seja, o modelo normal se ajusta melhor ao conjunto de dados analizados
do que o modelo MON, baseando-se na estat´ıstica da raza˜o de verossimilhanc¸a. Ja´ no teste da
raza˜o de verossimilhanc¸a generalizada, aceita-se a hipo´tese nula o que significa que os modelos
MON e skew-normal sa˜o significantemente equivalentes para o ajuste do conjunto de dados.
71
72
A Tabela C.3 apresenta os resultados para o teste de Kolmogorov-Smirnov para os modelos
testados. Dentre os quatro modelos analisados, o melhor ajuste e´ do modelo SN com p-valor
igual a 0.8250. Em outras palavras, tem-se que o teste KS sugere que os dados seguem uma
distribuic¸a˜o skew-normal.
Tabela C.3: Teste de Kolmogorov-Smirnov para as distribuic¸o˜es testadas.
Distribuic¸a˜o Dn p-valor
MON 0.0962 0.6570
Normal 0.1264 0.3450
NP 0.0932 0.734
SN 0.0859 0.8250
A Figura C.1 ilustra o histograma dos dados IQ scores OTIS. As linhas representam as
densidades das distribuic¸o˜es MON, normal, normal poteˆncia e skew-normal, usando os valores
encontrados para as estimativas de ma´xima verosimilhanc¸a encontradas para os paraˆmetros.
x
D
en
si
da
de
90 95 100 105 110 115 120 125
0.
00
0.
01
0.
02
0.
03
0.
04
0.
05
0.
06
MON
Normal
Skew − Normal
Normal − Potência
Figura C.1: Histograma dos dados de fibras de carbono com as func¸o˜es de densidades de proba-
bilidades substituindo-se as EMVs dos modelos MON, normal, skew-normal e normal-poteˆncia.