Novel tests for stability analysis of time-delayed systems: a linear matrix inequality-based approach

Abstract

A análise de estabilidade de sistemas com retardo no tempo tem sido um campo de pesquisa muito ativo nas últimas décadas. O interesse se baseia, em parte, no fato de o atraso ser um fenômeno inerente a uma ampla classe de sistemas encontrados nas mais diversas áreas, como engenharia, biologia e economia. Além disso, os sistemas com atraso são representados por equações diferenciais infinito-dimensionais, o que torna a determinação de sua estabilidade um problema particularmente mais complexo. Apesar dos diversos avanços obtidos na área nos últimos anos, os métodos existentes para lidar com esse problema ainda possuem as suas limitações. Levando em consideração este cenário, nesta tese são propostos novos métodos para analisar a estabilidade de sistemas lineares invariantes no tempo (LTI) com atraso constante e variante no tempo. Primeiramente, são propostas novas condições necessárias e suficientes para análise de estabilidade independente do retardo de sistemas sujeitos a retardo constante no tempo. O método proposto é baseado no uso da desigualdade de Lyapunov, definida por meio de polinômios matriciais dependentes da frequência, e formulado em termos de desigualdades matriciais lineares (LMIs), resultado obtido graças ao Lema de Kalman-Yakubovich-Popov (KYP). Como segunda contribuição, são propostas novas condições suficientes para a estabilidade dependente do atraso de sistemas com atraso variante no tempo. Tais condições são obtidas a partir do uso de um novo funcional de Lyapunov-Krasovskii e dependente de parâmetros. Este critério de estabilidade é especificado como uma condição de negatividade de uma função quadrática parametrizada pelo atraso. Neste trabalho também é proposto um método para converter essa condição em um problema de otimização convexa de dimensão finita que pode ser verificado de maneira exata em termos de condições LMIs. Finalmente, as condições de estabilidade dependente do atraso são estendidas para o caso de sistemas com múltiplos atrasos variantes no tempo. Exemplos numéricos mostram que os métodos propostos podem levar a resultados menos conservadores quando comparados aos resultados fornecidos por abordagens similares encontradas na literatura.