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http://hdl.handle.net/1843/56379
Type: | Tese |
Title: | Equivariant compactifications of discrete groups |
Other Titles: | Compactificações equivariantes de grupos discretos |
Authors: | Lucas Henrique Rocha de Souza |
First Advisor: | Victor Guerassimov |
First Referee: | Christopher Hruska |
Second Referee: | Jason Manning |
Third Referee: | Mário Jorge Dias Carneiro |
metadata.dc.contributor.referee4: | Nikolai Alexandrovitch Goussevskii |
metadata.dc.contributor.referee5: | Pablo Daniel Carrasco Correa |
Abstract: | This text presents two main theorems and their respective applications: For the first one, let $G$ be a group acting properly discontinuously and cocompactly on a Hausdorff locally compact space $X$. A Hausdorff compact space $Z$ that contains $X$ as an open subspace has the equivariant perspectivity property if the action $G\curvearrowright X$ extends to an action $G\curvearrowright Z$, by homeomorphisms, such that for every compact $K\subseteq X$ and every element $u$ of the unique uniform structure compatible with the topology of $Z$, the set $\{gK: g \in G\}$ has finitely many non $u$-small sets. We prove that the category of equivariant perspective compactifications of an action $G\curvearrowright X$ depends only on the group $G$: if $G\curvearrowright X'$ is another properly discontinuous and cocompact action, then the categories of equivariant perspective compactifications of $X$ and of $X'$, with their respective actions, are isomorphic and this isomorphism send a compactification of $X$ to a compactification of $X'$ with the same boundary. This generalizes similar results for convergence group actions and $E\mathcal{Z}$-structures. We apply the first result to the following construction: let $G$ be a group acting by homeomorphisms on a Hausdorff compact space $Z$. We constructed a new space $X$ that blows up equivariantly the bounded parabolic points of $Z$. This means, roughly speaking, that $G$ acts by homeomorphisms on $X$ and there exists a continuous equivariant map $\pi: X \rightarrow Z$ such that for every non bounded parabolic point $z \in Z$, $\#\pi^{-1}(z) = 1$. The second main theorem characterizes when maps with such properties come from this construction. We use such construction to characterize topologically some spaces that $G$ acts with the convergence property (such as Sierpi\'nski carpets and dense amalgams) and to construct new convergence actions of $G$ from old ones. As one of the applications, if $(G,\mathcal{P})$ is a relatively hyperbolic pair with its Bowditch boundary that is non trivial, connected and without local cut points, then $G$ is one-ended. |
Abstract: | Este texto apresenta dois resultados principais e suas respectivas aplicações: Para o primeiro resultado, tome $G$ um grupo agindo propriamente descontinuamente e cocompactamente em um espaço Hausdorff localmente compacto $X$. Um espaço Hausdorff compacto $Z$ que contém $X$ como subespaço aberto possui a propriedade de perspectividade equivariante se a ação $G\curvearrowright X$ estende a uma ação por homeomorfismos $G\curvearrowright Z$ tal que para todo compacto $K\subseteq X$ e todo elemento $u$ da única estrutura uniforme compatível com a topologia de $Z$, o conjunto $\{gK: g \in G\}$ possui uma quantidade finita de conjuntos $u$-pequenos. Será demonstrado que a categoria de compactificações perspectivas equivariantes com respeito a uma ação $G\curvearrowright X$ depende apenas do grupo $G$: se $G\curvearrowright X'$ é outra ação propriamente descontínua e cocompacta, então as categorias de compactificações perspectivas equivariantes de $X$ e de $X'$, com respeito a suas respectivas ações, são isomorfas e esse isomorfismo manda cada compactificação de $X$ para uma compactificação de $X'$ com a mesma fronteira. Isso generaliza resultados similares para ações de convergência e $E\mathcal{Z}$-estruturas. Então é aplicado o primeiro resultado na seguinte construção: seja $G$ um grupo agindo em um espaço Hausdorff compacto $Z$. Constrói-se um novo espaço $X$ que "explode" de maneira equivariante os pontos parabólicos limitados de $Z$. Isso significa, de maneira simplificada, que $G$ age por homeomorfismos no espaço $X$ e existe uma aplicação contínua e equivariante $\pi: X \rightarrow Z$ tal que para todo ponto parabólico limitado $z \in Z$, $\#\pi^{-1}(z) = 1$. O segundo teorema principal caracteriza quando um mapa com tais propriedades vem desta construção. Essa construção é usada para caracterizar topologicamente alguns espaços em que $G$ age com a propriedade de convergência (como carpetes de Sierpi\'nski e amálgamas densos) e é usada para construir novas ações de convergência de $G$ a partir de ações antigas. Como exemplo de aplicação, se $(G,\mathcal{P})$ é um par relativamente hiperbólico com fronteira de Bowditch não trivial, conexa e sem pontos de corte locais, então $G$ possui apenas um fim. |
Subject: | Matemática – Teses Compactificações de grupos – Teses Carpete de Sierpiński – Teses |
language: | eng |
metadata.dc.publisher.country: | Brasil |
Publisher: | Universidade Federal de Minas Gerais |
Publisher Initials: | UFMG |
metadata.dc.publisher.department: | ICX - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA |
metadata.dc.publisher.program: | Programa de Pós-Graduação em Matemática |
Rights: | Acesso Aberto |
URI: | http://hdl.handle.net/1843/56379 |
Issue Date: | 24-May-2021 |
Appears in Collections: | Teses de Doutorado |
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