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http://hdl.handle.net/1843/EABA-9GXKM6
Type: | Tese de Doutorado |
Title: | Curvas de contato no espaço projetivo |
Authors: | Éden Santana Campos Amorim |
First Advisor: | Israel Vainsencher |
First Referee: | Renato Vidal da Silva Martins |
Second Referee: | Daniel Levcovitz |
Third Referee: | Alex Correa Abreu |
metadata.dc.contributor.referee4: | Marco Pacini |
metadata.dc.contributor.referee5: | Mauricio Barros Correa Junior |
Abstract: | O espaço projetivo de dimensão ímpar P2n-1 admite uma estrutura de contato proveniente da distribuição (não integrável) de hiperplanos determinada por uma forma simplética em C2n. Um objeto de interesse e tema de nosso estudo é o conjunto das curvas racionais de grau d tangentes aos planos da distribuição de contato em P3. Tais curvas são chamadas curvas de contato, ou legendrianas. Para explorar a geometria de tais curvas, construimos o espaço de parâmetros Ld usando os mapas estáveis de Kontsevich com a estrutura do stack algébrico M0;0(P3; d). A teoria de interseção para stacks nos permite definir nesse espaço um invariante virtual Nd, associado ao número de curvas de contato de grau d incidentes a 2d+1 retas. Através de uma combinatória de grafos e partições oriunda da fórmula de localização de Bott determinamos uma fórmula geral para Nd. Calculamos explicitamente para curvas de grau até 4 - confirmando os casos já conhecidos de retas e cônicas de contato e apresentando os novos números associados a cúbicas e quárticas. Por fim, discutimos o significado enumerativo desses invariantes, ainda conjectural. |
Abstract: | The odd dimensional projective space P2n-1 admits a contact structure arising from a non integrable distribution of hyperplanes determined by a symplectic form in C2n. Our object of interest is the set of rational curves of degree d which are tangent to that contact distribution in P3. Such curves are called contact curves or legendrian curves. To explore the geometry of contact curves, we construct the parameter space Ld using Kontsevichs stable maps, M0;0(P3; d), endowed with the structure of algebraic stack. The intersection theory on stacks allows us to define in that space the virtual invariant Nd, associated with the number of degree d contact curves incident to 2d + 1 lines. Using graph combinatorics and partitions originated from Botts localization formula, we determine a general formula for Nd. We explicitly calculate it for contact curves up to degree 4 - confirming the known cases of contact lines and conics and introducing the new numbers for cubics and quartics. Finally, we discussthe enumerative significance of these invariants, still conjectural for d > 4. |
Subject: | Matemática Teoria de modulos Equações diferenciais Geometria algebrica Sistemas dinâmicos |
language: | Português |
Publisher: | Universidade Federal de Minas Gerais |
Publisher Initials: | UFMG |
Rights: | Acesso Aberto |
URI: | http://hdl.handle.net/1843/EABA-9GXKM6 |
Issue Date: | 7-Feb-2014 |
Appears in Collections: | Teses de Doutorado |
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