Folheações em P2 admitindo feixe linear polar redutível
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Editor
Universidade Federal de Minas Gerais
Descrição
Tipo
Tese de doutorado
Título alternativo
Primeiro orientador
Membros da banca
Marcio Gomes Soares
Arturo Ulises Fernandez Perez
Hernán Maycol Falla Luza
Thiago Fassarella Amaral
Arturo Ulises Fernandez Perez
Hernán Maycol Falla Luza
Thiago Fassarella Amaral
Resumo
Dada uma folheação fixamos uma reta e definimos o feixe linear polar de F com eixo L como sendo o conjunto de todas as curvas polares de F com respeito aos pontos l 2 L. Começamos esta tese estudando folheações F que admitem um feixe linear polar cujo elemento genérico é redutível. A esta folheação F é associado um modelo primitivo, que é uma folheação e F cujo feixe linear polar, além de possuir elemento genérico irredutível, é tal que suas curvas estão contidas nas curvas do feixe linear polar de F. Estabelecemos propriedades geométricas que relacionam folheações não primitivas e seus modelos primitivos associados como, por exemplo, relações entre os números de Milnor desuas singularidades. Na parte final, exploramos o conceito de equivalência linear, sendo que duas folheações são linearmente equivalentes se, e somente se, possuem o mesmo feixe linearpolar. Usando esse conceito construímos uma família a dois parâmetros de folheações em P2 C com o mesmo conjunto singular e mesmos números de Milnor em suas singularidades, mostrando assim que apenas o conjunto singular de uma folheação não define a mesma.Mostramos ainda que a rede polar define de maneira única uma folheação F em P2 C e, como consequência direta, o subesquema singular de uma folheação em P2 também a define. Por fim, estudamos as variedades invariantes comuns a duas folheações linearmente equivalentes e exploramos suas consequências.
Abstract
Given a foliation F on P2 , by fixing a line L P2 C, we define the polar pencil of F with axis L as the set of all polar curves of F with respect to points l 2 L. We begin this thesis by studying foliations F which admit a polar pencil whose generic element is reducible. To such an F we associate a primitive model, which is a foliation e F whose polar pencil, besides having irreducible generic element, is such that its curves are contained in those of the polar pencil of F. We establish geometric properties that relate a foliation F and its primitive model e F, such as relations between the Milnor numbers of their singularities. In the finalpart, we explore the concept of linear equivalence, two foliations being linearly equivalent if, and only if, they have the same polar pencil. By using this concept, we construct a twoparameter family of foliations on P2C with the same singular set and the same Milnor numbers at their singular points, and this shows that the singular set alone does not define a foliation. We also prove that the polar net defines in a unique way a foliation F in P2 C and, as a direct consequence, a foliation on P2C is uniquely defined by its singular subesqueme. Finally, we study common invariant varieties to two linearly equivalent foliations and explore its consequences.
Assunto
Matemática, Curvas algébricas, Folheações (Matematica)
Palavras-chave
Folheações primitivas, Feixe linear de curvas, Equivalência linear e rede polar, Feixe linear redutível