Métodos numéricos para solução de equações diferenciais segundo a derivada de caputo
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Editor
Universidade Federal de Minas Gerais
Descrição
Tipo
Tese de doutorado
Título alternativo
Primeiro orientador
Membros da banca
Leonardo Antonio Borges Torres
Roberto Kawakami Harrop Galvão
Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira
Eduardo Nunes Gonçalves
Roberto Kawakami Harrop Galvão
Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira
Eduardo Nunes Gonçalves
Resumo
Esta tese se refere ao tema de cálculo de ordem não inteira, e está focada no estudo de métodos numéricos para solução de equações diferenciais e análises de sistemas dinâmicos, segundo a definição do operador derivada de Caputo. Neste trabalho, é realizada uma breve contextualização histórica sobre o tema, apresentando, em um âmbito geral, desde as primeiras discussões até a década de 1970. Devido aogrande número de trabalhos publicados a partir dessa época, optou-se por realizar uma contextualização voltada para as áreas de métodos numéricos e sistemas dinâmicos entre a década de 1970 e os dias atuais. É realizada uma exposição introdutória e de caráter analítico para as derivadas de Riemann- Liouville (utilizada na definição de Caputo), de Caputo e de Günwald-Letnikov (utilizada na obtenção de métodos numéricos). Também é realizada uma exposição a respeito daexistência e unicidade de equações diferenciais segundo as derivadas de Riemann-Liouville e de Caputo. Como resultados desta tese são apresentados: i) um contra exemplo para o teorema de existência e unicidade para equações diferenciais segundo a derivada de Riemann-Liouville encontrada na literatura, e é proposta uma reformulação desse teorema; ii) o método híbrido para solução de equações diferenciais segundo a derivada de Caputo; iii) o métodocom memória hereditária concentrada na condição inicial (MHCCI), também utilizado em equações diferenciais segundo a derivada de Caputo, mas no caso do sistema não depender explicitamente do tempo. É realizada uma análise preliminar sobre a estabilidadede pontos fixos em sistemas de equações diferenciais segundo a derivada de Caputo, utilizando o método MHCCI. Os resultados sugerem uma generalização do método indireto de Lyapunov.
Abstract
This thesis deals with the subject of non-integer order calculus mainly numerical methods or solving differential equations and dynamic systems analysis, according to the definition of the Caputo derivative.In this work, a brief historical review on the subject will be given in a general covering the period from the first discussion up to the 1970s. Due to the large number of papers published from the 1970s, it was decided to concentrate in a review for the areas of numerical methods and dynamic systems from the 1970s until the present day. As a theoretical framework, an analytical introductory background of a Riemann-Liouville(used in the definition of Caputo), Caputo and Günwald-Letnikov (used to obtain numerical methods) derivatives will be given. As well as a review on the existence and uniqueness of differential equations for Riemann-Liouville and Caputo derivatives. The main results of this thesis are: i) a counter example to the theorem of existence and uniqueness for differential equations derived according to the Riemann-Liouville found inthe literature, and will propose a reformulation of the theorem; ii) a hybrid method for solving Caputos differential equations; iii) method with concentrated hereditary memory in the initial condition (MHCCI), also used in Caputos differential equations, but only in the cases in which the system does not explicitly depend on time. A preliminary analysisof the stability of fixed points for Caputos differential equations will be shown using the MHCCI method. The results suggest a generalization of the indirect method of Lyapunov.
Assunto
Engenharia elétrica, Equações diferenciais
Palavras-chave
Derivada de Riemann- Liouville, Cálculo de ordem não inteira, Métodos numéricos, Cálculo fracionário, Estabilidade de pontos fixos, Derivada de caputo