Propriedade fraca de Lefschetz e a classificação de Sistemas de Togliatti minimais monomiais
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Universidade Federal de Minas Gerais
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Tipo
Dissertação de mestrado
Título alternativo
Weak Lefschetz property and the classification of minimal monomial Togliatti Systems
Primeiro orientador
Membros da banca
André Luis Contiero
Rodrigo Gondim
Rodrigo Gondim
Resumo
Classificar variedades suaves que satisfazem pelo menos uma equação de Laplace é um problema antigo em geometria algébrica e diferencial, como pode ser visto em \cite{togliatti1946alcune} e \cite{Tog}, onde E. Togliatti forneceu uma das primeiras contribuições para este problema. Ele provou que existe um e apenas um exemplo de superfície racional em $\mathbb{P}^5$ parametrizada por cúbicas e satisfazendo uma equação de Laplace de ordem $2$. Em \cite{mezzettiaaa2013laplace}, E. Mezzetti, R. M. Miró-Roig e G. Ottaviani provaram que existe uma relação entre a existência de variedades projetivas $X \subset \mathbb{P}^N$ satisfazendo pelo menos uma equação de Laplace de ordem $s \geq 2$ e a existência de ideais artinianos homogêneos $I \subset R=\kappa[x_0,\cdots,x_n]$ gerados por formas de grau $d$ que falham a propriedade fraca de Lefschetz no grau $d-1 $. Eles mostraram que um ideal artiniano $I \subset R$ gerado por $r$ formas de grau $d$, onde $r \leq {d+n-1\choose n-1}$, falha propriedade fraca de Lefschetz no grau $d- 1$ se, e somente se, a projeção da variedade Veronese $V(n,d)$ pelo sistema linear $|I^{-1}_d|$, denotada por $X_{I^{-1}_d}$, possui defeito osculatório de ordem $d-1$. Neste caso, $I$ é chamado de \textit{ sistema de Togliatti}. Embora o problema de classificar todas as variedades projetivas que possuem defeito osculatório, e por conseguinte, todos os sistemas de Togiatti, pareça estar fora de alcance no momento, neste trabalho voltaremos nossos esforços para o estudo do caso monomial, uma vez que, neste caso, a variedade associada $X_{I^{-1}_d}$ é tórica, e diversas ferramentas combinatórias podem ser utilizadas para o estudo dos sistemas Togliatti.
Abstract
Classifying smooth varieties that satisfy at least one Laplace equation is an ancient problem in algebraic and differential geometry, as can be seen in [28] and [27], where E. Togliatti provided one of the earliest contributions to this problem. He proved that there
exists one and only one example of a rational surface in P 5 parametrized by cubics and satisfying a Laplace equation of order 2.
In [20], E. Mezzetti, G. Ottaviani and R. M. Miró-Roig proved that there is a relationship between the existence of projective varieties X ⊂ P N satisfying at least one aplace equation of order s ≥ 2 and the existence of homogeneous Artinian ideals I ⊂ R = κ[x0, · · · , xn]
generated by forms of degree d that fail the weak Lefschetz property in degree d − 1. They showed that an Artinian ideal I ⊂ R generated by r forms of degree d, where r ≤ d+n−1 n−1 ,fails the weak Lefschetz property in degree d−1 if, and only if, the projection of the Veronese variety V (n, d) by the linear system |I −1d|, denoted by XI −1 d , has osculatory defect of order d − 1. In this case, I is called a Togliatti system. Although the problem of classifying all projective varieties that have osculatory defect, and consequently, all Togliatti systems, seems to be out of reach at the moment, in this work, we will focus our efforts on the study of the monomial case, since in this case, the associated variety XI −1 d is toric, and various combinatorial tools can be used for the study of Togliatti systems.
Assunto
Matemática – Teses, Geometria algébrica – Teses, Equações diferenciais – Teses, Laplace, Transformadas de – Teses
Palavras-chave
Álgebras artinianas, Equações de Laplace, Propriedade fraca de Lefschetz, Sistemas de Togliatti monomiais