Método das prolongações e suas aplicações à física
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Editor
Universidade Federal de Minas Gerais
Descrição
Tipo
Dissertação de mestrado
Título alternativo
The prolongation method and its applications to physics
Primeiro orientador
Membros da banca
Mario Sergio de Carvalho Mazzoni
Alexis Roa Aguirre
Alexis Roa Aguirre
Resumo
O método das prolongações, desenvolvido a partir dos estudos pioneiros de Sophus Lie entre as décadas de 1870 e 1890, é uma técnica matemática que permite a determinação de geradores de transformações contínuas que atuam como simetrias, isto é, que mapeiam soluções em soluções de equações diferenciais. Nosso intuito no presente trabalho será estudar o método e investigar como ele pode ser aplicado à física.
Primeiramente, estudaremos o método das prolongações minuciosamente. Após uma necessária revisão geral, construiremos o método no contexto de equações diferenciais, visando transformações de ponto. Em seguida, faremos o mesmo no contexto dos problemas variacionais, dotados de lagrangianas, de onde surgirão as chamadas simetrias variacionais e resultados relevantes associados.
Em seguida, devotaremos nossa atenção à aplicabilidade do formalismo à física. Faremos isso de tal forma a explorar os resultados derivados nos primeiros capítulos. O método será aplicado a duas equações de interesse físico: as equações de Burgers e de Korteweg e De Vries. Além disso, enveredaremos pelos campos da relatividade geral e da cosmologia, e veremos como o método das prolongações pode nos ajudar na resolução de questões presentes nessas áreas. Teremos também a oportunidade de aprender como podemos aplicar nossos estudos ao problema da quantização da gravitação.
Abstract
The method of prolongations, developed from the pioneering studies of Sophus Lie between the 1870s and 1890s, is a mathematical technique that allows the determination of generators of continuous transformations that act as symmetries, i.e., that map solutions onto solutions, of differential equations. Our aim in the present work will be to study the method and investigate how it can be applied to physics.
Firstly, we will study the method of prolongations in detail. After a necessary general review, we will construct the method in the context of differential equations, aiming at point transformations. Then, we will do the same in the context of variational problems, equipped with lagrangians, from which the so-called variational symmetries and very important associated results will arise.
Next, we will turn our attention to the applicability of the formalism to physics. We will do this in order to explore the results derived in the first chapters. The method will be applied to two equations of physical interest: the Burgers and Korteweg-De Vries equations. In addition, we will venture into the fields of general relativity and cosmology and see how the method of prolongations can help us solve problems in these areas. We will also have the opportunity to learn how we can apply our studies to the problem of quantization of gravitation.
Assunto
Simetria, Grupos de Lie
Palavras-chave
Simetrias, Prolongações, Grupos de Lie, Variedades