On the phase transition for some percolation models in random environments

Abstract

Nesta tese nós consideramos dois modelos de percolação em ambientes aleatórios e estamos interessados em seus fenômenos de transição de fase. O primeiro modelo de percolação estudado é na rede cúbica apresentando desordem colunar. Este modelo é definido em dois passos: primeiro as colunas verticais de $\mathbb{Z}^3$ são removidas independentemente com probabilidade $1-\rho$ e, no segundo passo, os elos conectando sítios na sub-rede remanescente são declarados abertos com probabilidade $p$ de modo independente. Nosso resultado mostra que existe $\delta>0$ tal que o ponto crítico $p_c(\rho)<1/2-\delta$ para todo $\rho>\rho_c$, onde $\rho_c$ denota o ponto crítico da percolação de sítios em $\mathbb{Z}^2$. O segundo modelo é na rede quadrada esticada horizontalmente, que consiste de uma versão generalizada de $\mathbb{Z}^2_+$ obtida ao se esticar a distância entre suas colunas, segundo uma variável aleatória positiva $\xi$. Neste modelo a probabilidade de um elo ser declarado aberto decairá exponencialmente segundo seu comprimento. Nosso resultado mostra a existência da transição de fase quando $\mathbb{E}(\xi^\eta)<\infty$, para algum $\eta>1$, e a ausência quando $\mathbb{E}(\xi^\eta)=\infty$, para algum $\eta<1$.