Simulação de Monte Carlo em redes triangulares irregulares
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Universidade Federal de Minas Gerais
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Artigo de periódico
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Monte Carlo simulation in triangular irregular networks
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Resumo
As Redes Triangulares Irregulares (TINs) são uma das formas mais utilizadas para representar topologia de superfície quando se trabalha com Modelos Digitais de Terreno (DTM) ou Sistemas de Informação Geográfica (GIS). Dada esta forma de representação, este artigo investiga uma demonstração probabilística para quantificar como a precisão de cada ponto σ (sigma) pode ser considerada ambígua, do ponto de vista topológico, em qualquer nova Triangulação Delaunay 2D. Para o conseguir, esta investigação concebeu uma demonstração inicial de que, existe uma precisão máxima para a qual a topologia da rede permanece constante numa nova Triangulação Delaunay, em cada ponto e no TIN como um todo. A abordagem metodológica foi experimental, com várias experiências matemáticas realizadas utilizando o método de Simulação de Monte Carlo. Primeiro, para cada ponto da rede, e depois, para todos os pontos da rede, para variados σ. As experiências culminaram em ajudar a resolver o problema da existência do máximo σ para o qual a probabilidade de ocorrência em topologia de NIF constante é de 100%. Os resultados matemáticos deram origem à seguinte afirmação: Considerando um NIF gerado pela Triangulação Delaunay, se algum ponto de coordenadas (x_i,y_i ) numa Rede Triangular Irregular for perturbado (ou seja, tem o seu lugar alterado), de acordo com uma distribuição Normal N(μ,σ^2 ), então, existe um valor σ_max (sigma máximo) para o qual a topologia da rede permanece constante. Por exemplo, verificou-se que σ_(max.1) de um ponto existe e é obtido por σ_(max.1)=0.30866, e noutro ponto, σ_(max.2)=0.2. Os resultados indicam também o seguinte para o TIN: Cada Rede Triangular Irregular bidimensional gerada pela Triangulação Delaunay tem um valor σ_* (sigma asterisco) para o qual a topologia da rede permanece constante. Neste trabalho, simulando o pior caso de uma Rede Triangular Irregular: σ_*=0,2. Finalmente, conclui-se que existe o máximo de σ para cada ponto, bem como para a rede como um todo. No entanto, os resultados precisam de ser testados em redes mais extensas para provar (ou não) se isso sempre aconteceu. Esta investigação faz avançar os conhecimentos sobre o TIN combinando técnicas de simulação e topologia de rede.
Abstract
Triangular Irregular Networks (TINs) are one of the most used ways to represent surface topology when working with Digital Terrain Models (DTM) or Geographic Information Systems (GIS). Given this form of representation, this article investigates one probabilistic demonstration to quantify how each point's accuracy σ (sigma) can be considered to have ambiguity, from the topological point of view, in any new 2D Delaunay Triangulation. To achieve it, this research designed an initial demonstration that, there is a maximum precision for which the network topology remains constant in a new Delaunay Triangulation, at each point and in the TIN as a whole. The methodological approach was experimental, with various mathematical experiments carried out using the Monte Carlo Simulation method. First, for each point of the network, and then for all network points for varied σ. The experiments culminate in helping to solve the problem of the existence of maximum σ for which the probability of occurrence in constant TIN topology is 100%. The mathematical results originated the following statement: Considering a TIN generated by Delaunay Triangulation, if any point of coordinates (xi,yi) in a Triangular Irregular Network is disrupted (i.e., has its place altered), according to a Normal distribution N(μ,σ2), then, exists a value σmax (sigma maximum) for which the topology of the network remains constant. For example, it was found that σmax.1 of one point exists and is obtained by σmax.1=0.30866, and at another point, σmax.2=0.2. The results also indicate the following for TIN: Every two-dimensional Triangular Irregular Network generated by the Delaunay Triangulation has a value σ∗ (sigma asterisk) to which the network topology remains constant. In this work, simulating the worst case of a Triangular Irregular Network: σ∗=0.2. Finally, it is concluded that the σ maximum for each point exists, as well as for the network as a whole. However, the results need to be tested in more extensive networks to prove (or not) if it always happened. This research advances the knowledge on the TIN combining simulation techniques and network topology.
Assunto
Topologia, Representação de superfícies, Simulação (Computadores), Algorítmos computacionais
Palavras-chave
Redes triangulares irregulares, Simulação de Monte Carlo, Triangulação de Delaunay, Topologia
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