Two problems on convex geometry: isotropic measures and classification in valuation theory

Abstract

Esta tese consiste em duas partes distintas, cada uma estudando um problema diferente na teoria dos corpos convexos. A primeira parte trata das medidas isotrópicas, mais especificamente, do problema de descrever explicitamente os pesos na decomposição da identidade para um corpo convexo na posição de John. Fazemos isso para a posição de John, ou seja, quando a bola Euclidiana unitária n-dimensional Bn, é o elipsóide com volume máximo dentro de K, e para a posição positiva de John em relação ao corpo convexo L, ou seja, quando L ¦ K e L tem volume máximo dentre todas as imagens TL em K, onde T é uma matriz definida-positiva. Também fazemos isso para elipsóides funcionais no sentido definido por Ivanov e Naszódi [30]. Consideramos funções log-côncavas próprias h : Rn → R (funções log-côncavas e semicontínuas superiores que possuem integral positiva finita). Por [30], para cada s > 0 existe (e é única no conjunto de funções log-côncavas próprias) uma função log-côncava com a maior integral sob a condição de que esta seja pontualmente menor ou igual a h1/s. Essa função é chamada s-função de John de h. Novamente, por [30], existe uma caracterização dessa função semelhante àquela dada por John em seu teorema fundamental. A segunda parte estuda o problema de caracterização de valuações semicontínuas superiores. Denote por Convpac(R;R) o espaço de funções convexas de valor finito em R que são afins por partes fora de uma conjunto compacto. Um funcional Z : Convpac(R;R) → R é chamado uma valuação se Z(u ( v) + Z(u ' v) = Z(u) + Z(v) para todo u, v ∈ Convpac(R;R) tal que u ( v, u ' v ∈ Convpac(R;R). Aqui, u ( v e u ' v denotam as funções máximo e mínimo pontuais de u, v ∈ Convpac(R;R), respectivamente. Uma classificação de valuações semicontínuas superiores, invariantes por translação e inalterada por adição de funções afins por partes no espaço Convpac(R;R) é estabelecida.