GIKN construction of non-hyperbolic measures

Abstract

O trabalho seminal de Smale sobre hiperbolicidade melhorou substancialmente a compreensão da teoria dos sistemas dinâmicos. Eventualmente, ficou claro que essa conceito era muito restritivo. Na década de 1960, foi estabelecido que sistemas uniformemente hiperbólicos não são densos no espaço de sistemas dinâmicos [1]. Isso levou a um enfraquecimento do conceito de hiperbolicidade. Pesin introduziu o conceito de hiperbolicidade não uniforme [12]. Usamos o termo hiperbolicidade não uniforme quando todos os expoentes de Lyapunov são diferentes de zero, em quase todo ponto, com respeito a uma medida invariante. Em contraste com a situação hiperbólica, parecia lógico questionar se sistemas não uniformemente hiperbólicos são densos entre sistemas diferenciáveis. Como mostrado em [2], a resposta para esta questão é não na topologia C 1 . Kleptsyn e Nalsky construíram um C 1 -conjunto aberto de difeomorfismos com uma medida ergódiga não-hiperbólica. A abordagem de Kleptsyn e Nalsky foi baseada no artigo devido a orodetski, Ilyashenko, Kleptsyn e, Nalsky [8]. Esta dissertação apresenta uma abordagem simplificada de um resultado semelhante devido a [8], onde a fibra é S 1 e a base dinâmicas são dadas pelo shift. Demonstramos que existe um conjunto aberto no espaço de pares de difeomorfismos do círculo equipados com a topologia C 1 , e que para cada um desses pares, o step skew product associado tem uma medida ergódica não-hiperbólica. E feita uma análise do artigo, e as provas são apresentadas de forma mais detalhadas.