Local and global behavior of Schrödinger-type equations

Abstract

Neste trabalho, consideramos o problema de valor inicial para a equação de Schrödinger não linear: i∂tu = −∆u − λ|u|α−1u, x ∈ RN , t > 0. (1) Onde u = u(t, x) é uma função complexa definida em R × RN . Estabelecemos a existência, unicidade e regularidade de soluções locais nos espaços L2(RN ) e H1(RN ), tanto para o caso subcrítico quanto para o crítico. Estudamos esse problema usando o teorema do ponto fixo de Banach, estimativas de Strichartz e ferramentas da análise harmônica. Além disso, provamos a existência de soluções globais, sob condições que envolvem a não linearidade, o tamanho dos dados iniciais u0 ∈ H1(RN ) e o sinal de λ. Também estabelecemos um critério de espalhamento (scattering). Finalmente, estabelecemos uma teoria de espalhamento (scattering) para dados pequenos da equação não linear de Schrödinger da forma: (i∂t + ∆)u = a(x)|u|α−1u, (2) onde u : R × RN −→ C, α > 0, e a ∈ W 1,∞(RN ) para o caso intercrítico, em dimensões N ≥ 3. Encontramos estimativas de estabilidade para o problema de recuperação de informações sobre a não linearidade no termo não-homogêneo e na potência da não linearidade por meio do mapa de espalhamento (scattering map), estendendo os resultados de Chen e Murphy [4].