Órbitas de Birkhoff e não Birkhoff para aplicações do tipo Twist
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Editor
Universidade Federal de Minas Gerais
Descrição
Tipo
Dissertação de mestrado
Título alternativo
Primeiro orientador
Membros da banca
Alexandre Tavares Baraviera
Sonia Pinto de Carvalho
Jose Antonio Goncalves Miranda
Sonia Pinto de Carvalho
Jose Antonio Goncalves Miranda
Resumo
Para estudar a dinâmica de transformações que preservam área é interessante se perguntar sobre a existência de órbitas "ordenadas". A importância desta condição geométrica foi observada por G. D. Birkhoff no início do século XX e desde então as órbitas de Birkhoff vêm sendo estudadas com afinco. Nesta dissertação será estudado um critério para que uma aplicação possua entropia topológica positiva e utilizando este critério serão apresentadas condições para a existência de órbitas de Birkhoff. A aplicação em questão é um homeomorfismo do cilindro nele mesmo e são requeridas as hipóteses de que ela seja twist monótona e que preserve orientação. Tal aplicação é obtida através de uma relação de recorrência. Será apresentado um teorema que permite obter soluções da relação de recorrência com certas propriedades de periodicidade e ordem. Com isto é possível, a partir de órbitas da aplicação inicial com estas propriedades, concluir a existência de órbitas de Birkhoff, donde segue, em particular, um teorema de G. R. Hall. Com algumas hipóteses, mostra-se também a existência de órbitas de Birkhoff com um número de rotação pré-determinado. Para terminar, mostra-se que se a aplicação em questão tem entropia topológica nula então toda órbita tem número de rotação para frente e para trás e ainda, um resultado atribuído originalmente a P. Boyland, que se a entropia topológica é nula e a órbita é do tipo (p,q), com mdc(p,q) =1, então esta é necessariamente uma órbita de Birkhoff. Já que não se supõe nenhuma diferenciabilidade sobre a transformação em questão, não podem ser utilizados argumentos como os de hiperbolicidade, transversalidade e nem procedimentos variacionais para a construção de conjuntos caóticos, portanto os métodos aqui utilizados são puramente topológicos, o que ressalta a beleza do assunto. A referência básica do estudo apresentado é o artigo de S. B. Angenent, Monotone recurrence relations, their Birkhoff orbits and topological entropy publicado na Ergodic Theory & Dynamical Systems.
Abstract
Assunto
Sistemas dinamicos diferenciais, Matematica
Palavras-chave
Birkhoff