Existência de soluções positivas para o p-Laplaciano com dependência do gradiente
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Editor
Universidade Federal de Minas Gerais
Descrição
Tipo
Tese de doutorado
Título alternativo
Primeiro orientador
Membros da banca
Carlos Tomei
Olimpio Hiroshi Miyagaki
Paulo Cesar Carrião
Marcelo da Silva Montenegro
Olimpio Hiroshi Miyagaki
Paulo Cesar Carrião
Marcelo da Silva Montenegro
Resumo
O principal objetivo desse trabalho é o estudo da existência de soluções positivas para problemas de Dirichlet envolvendo o operador p-Laplaciano nos quais a não linearidade envolvida depende do gradiente da solução. Consideraremos o problema \Delta _{p}u = \omega (x)f(u, | \nabla u|) em domínios suaves e limitados de R^{N}, sendo \omega uma função peso e f(u, | \nabla u|) uma não linearidade. Não consideraremos nenhum comportamento assintótico em f. Tais hipóteses serão substituídas por condições adequadas em uma vizinhança do primeiro autovalor do p-Laplaciano. No caso de um domínio radial \Omega, a existência de solução positiva para o problema considerado será obtida mediante a aplicação do Teorema do Ponto Fixo de Schauder. Para domínios gerais, aplicaremos o método de sub- e supersolução. A subsolução decorre da solução de um problema radial em um subdomínio B_{} \subset \Omega, e a supersolução é gerada pela solução de um problema linear em um domínio \Omega_{2} supset \Omega. Estudaremos a escolha do domínio \Omega_2 e os resultados obtidos serão aplicados para garantirmos a existência de soluções positivas para o problema de Dirichlet \Delta _{p}u = \lambda u(x) ^{q1}(1 + |\nabla u(x)|^{p}) em domínios suaves e limitados de R^{N}
Abstract
The main aim of this work is to prove the existence of positive solutions for Dirichlet problems involving the p-Laplacian operator and nonlinearities that depend on the gradient of the solution. We will consider the problem \Delta _{p}u = \omega (x)f(u, | \nabla u|) in a smooth bounded domain of R^{N}, where \omega is a weight function and f(u, | \nabla u|) is a nonlinearity. No asymptotic behavior is assumed on f. Such hypotheses will be replaced by appropriate conditions in a neighborhood of the first p-Laplacian eigenvalue. If \Omega is a radial domain, the existence of positive solutions will be obtained by applying the Schauder. Fixed Point Theorem. In the general case, we will apply the sub- and supersolution method. A subsolution will be obtained from the radial solution in the subdomain B_{} \subset \Omega and a supersolution will be obtained as a multiple of a solution of a linear problem in a domain \Omega_{2} supset \Omega. We will study the choice of the domain 2 and our results will be applied to guarantee the existence of positive solutions for the problem \Delta _{p}u = \lambda u(x) ^{q1}(1 + |\nabla u(x)|^{p}), with Dirichlet boundary condition, in smooth and bounded domain of R^{N}.
Assunto
Matemática
Palavras-chave
Soluções positivas, Método de ponto fixo, Não-linearidades com dependência do gradiente, Método de sub e supersolução, P-Laplaciano