Some topics on finite fields

Abstract

Neste trabalho, nós estudamos alguns problemas teóricos na teoria de corpos finitos e que são de interesse para várias aplicações, bem como em teoria de códigos, criptografia e áreas relacionadas. Em particular, nós estudamos o número de pontos racionais sobre hipersuperfícies e apresentamos cotas para tais números e fórmulas explícitas nos casos em que certas condições são satisfeitas. Para algumas dessas hipersuperfícies, nós também apresentamos condições para a maximalidade e minimalidade do número de pontos com respeito à cota de Weil. Outro tópico de interesse nessa tese é a interação de polinômios sobre corpos. Por exemplo, nós estudamos o grafo funcional associado à iteração de polinômios sobre corpos finitos. Nós também estudamos o número de soluções da equação $R^{(n)}(x)=\alpha$ sobre $\overline{\mathbb{F}}_q$ para uma função racional $R$. O último tópico dessa tese contém o estudo de códigos com métrica de posto que são construídos com polinômios linearizados sobre $\mathbb{F}_q$ os chamados códigos Gabidulin retorcidos.