The Kurosh Subgroup Theorem for profinite groups

Abstract

A teoria de Bass-Serre para grafos abstratos foi inaugurada no livro ’Arbres, amalgames, SL2’ (’Trees’ na versão em inglês), escrito por Jean-Pierre Serre em colaboração com Hyman Bass (1977). A motivação original do Serre era entender a estrutura de certos grupos algébricos cujas construções Bruhat-Tits são árvores. No entanto, a teoria rapidamente se tornou uma ferramenta padrão para a teoria geométrica de grupos e a topologia geométrica, particularmente no estudo de 3-variedades. Um trabalho posterior de Bass contribuiu substancialmente para a formalização e o desenvolvimento das ferramentas básicas e atualmente o termo teoria de Bass-Serre é amplamente empregado para descrever a disciplina. Essa teoria busca explorar e generalizar as propriedades de duas construções já bem conhecidas da teoria grupos: produto livre com amalgamação e extensões HNN. No entanto, ao contrário dos estudos algébricos tradicionais dessas duas estruturas, a teoria de Bass-Serre utiliza a linguagem geométrica de espaços de recobrimento e grupos fundamentais. O análogo profinito iniciou em Gildenhuys e Ribes (1978) onde o nome booleano foi utilizado. O objetivo era construir um paralelo entre a teoria de Bass-Serre de grupos abstratos agindo sobre árvores abstratas para grupos profinitos e aplicações em grupos abstratos. O Crecobrimento galoisiano universal de um grafo conexo também foi definido nesse artigo de Gildenhuys e Ribes (1978). Haran (1987) e Mel’nikov (1989) expandiram essas ideias de maneira independente e desenvolveram abordagens gerais para produtos livres de grupos profinitos indexados por um espaço profinito. O objetivo deles era ser capaz de descrever a estrutura de pelo menos certos subgrupos fechados de produtos pro-p livres de grupos pro-p, demonstrando uma versão profinita do Teorema do Subgrupo de Kurosh, que é o teorema principal dessa dissertação. Os artigos de Haran e Mel’nikov obtém resultados similares. Nesse texto, adotamos a elegante versão de Mel’nikov. As primeiras seções do capítulo 4 são baseadas em Zalesskii e Mel’nikov (1989). O primeiro capítulo dessa dissertação estabelece esse contexto histórico do desenvolvimento da teoria de grafos profinitos. O segundo inicia com a definição de limite inverso com algumas de suas propriedades, o que nos possibilita definir um espaço profinito, que surge como o limite inverso de espaços topológicos finitos, cada um com a topologia discreta.Fornecidas tais definições básicas, definimos um grafo profinito, que é um espaço profinito com estrutura de grafo. O espaço de vértices é um subspaço fechado (logo também profinito) e as aplicações de incidência são aplicações contínuas (no ponto de vista topológico), do espaço todo para o espaço dos vértices. Então definimos um q-morfismo de grafos profinitos, que é uma generalização do morfismo usual de grafos abstratos, pois permite que arestas sejam mapeadas em vértices. Em seguida definimos ação de grupos profinitos em garfos profinitos e o grafo quociente pela ação de um grupo profinito G, que é o espaço das órbitas pela ação de G e como um exemplo construímos o grafo de Cayley de um grupo profinito. No terceiro capítulo introduzimos o conceito de recobrimento galoisiano e do Crecobrimento galoisiano, que é uma aplicação ζ ∶ Γ → ∆ = G/Γ de um grafo profinito Γ no grafo quociente pela ação do grupo profinito G, ∆. O grupo profinito G é dito o grupo associado ao recobrimento galoisiano. Definimos então morfismos de recobrimentos galoisianos e o conceito de C-recobrimento galoisiano universal, cujo grupo associado é o grupo fundamental π C 1 (Γ) do grafo conexo Γ. Em seguida estabelecemos condições para que 0-seções e 0-transversais existam e a construção dos recobrimentos galoisianos universais. Terminamos o capítulo apresentando dois exemplos importantes: 3.4.5, 3.4.6 e uma demonstração original da versão profinita do Teorema de Nielsen-Schreier (quando o espaço profinito é finito), cujo enunciado estabelece que todo subgrupo aberto de um grupo profinito livre é profinito livre em um espaço finito. Esse teorema é demonstrado em [2], do artigo de Binz, Neukirch e Wenzel [1971] e utiliza a versão abstrata. Ribes e Steinberg (2010) deram uma nova demonstração sem utilizar a versão abstrata, através de produtos entrtelaçados, mas não é tão simples quanto a apresentada nessa dissertação. A abordagem também é completamente diferente. O último capítulo contém os principais tópicos dessa dissertação: a definição de um feixe de pro-C grupos, o produto livre de um feixe de pro-C grupos, grafos de pro-C grupos e especializações, o grupo fundamental de um grafo de pro-C grupos, o grafo padrão de um grafo de pro-C grupos e o Teorema de Kurosh, que estabelece: Theorem 1 (Kurosh). Seja C uma pseudo-variedade de grupos finitos fechada para extensão. Seja G = ∐n i=1 Gi o produto pro-C livre de um número finito de grupos pro-C Gi. Se H é um subgrupo aberto de G, então H = n∐i=1∐τ∈H/G/Gi(H ∩ gi,τGig−1i,τ ) ∐ F é um produto pro-C livre de grupos H ∩ gi,τGig−1 i,τ , onde, cada i = 1,⋯, n, gi,τ varia sobre um sistema de representantes das classes laterais duplas H/G/Gi , e F é um grupo pro-C livre de posto finito rF ,rF = 1 − t +n∑i=1(t − ti),onde t = [G ∶ H] e ti = ∣H/G/Gi∣. A ideia da demonstração é baseada em enxergar o produto livre de um úmero finito de grupos pro-C como o grupo fundamental de um grafo de pro-C grupos em que todos os grupos de aresta são triviais e H age sobre o grafo padrão de pro-C grupos.