Curvas de preenchimento de espaço
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Editor
Universidade Federal de Minas Gerais
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Tipo
Monografia de especialização
Título alternativo
Primeiro orientador
Membros da banca
Jorge Sabatucci
Andre Gimenez Bueno
Andre Gimenez Bueno
Resumo
Nesta monografia, estudamos curvas de preenchimento de espaço. Os
estudos de Cantor sobre cardinalidade de conjuntos infinitos levaram a questionamentos sobre a noção de dimensão. A dimensão não era um conceito matemático
definido, mas uma ideia intuitiva. Acreditava-se que ela estivesse associada ao tamanho do espaço, isto é, um espaço de dimensão maior deveria possuir mais pontos
que um espaço de dimensão menor. No entanto, o matemático russo George Cantor mostra que esta é uma ideia equivocada. Introduzindo uma nova teoria, Cantor
apresenta um resultado absolutamente surpreendente e contra-intuitivo: o de que o
quadrado unitário possui exatamente o mesmo número de pontos que um segmento
de reta de comprimento 1.
Esta prova é feita através da construção de uma bijeção entre esses
dois conjuntos. Como esta bijeção não era contínua, tentou-se, então, atribuir
a incoerência à falta de continuidade da função de Cantor. Isto também não
foi possível, uma vez que Peano exibe uma função contínua que cobre toda uma
superfície plana. Surge, assim, a primeira curva de preenchimento de espaço, que
foi dita um "monstro matemático", por apresentar uma ideia tão extravagante.
As curvas de preenchimento de espaço possuem várias aplicações, principalmente no âmbito computacional e tecnológico. Entre elas, podemos citar, por
exemplo, o melhoramento de imagens digitais, refinamento de malhas e armazenamento e recuperação de dados.
Esta monografia está organizada em 2 capítulos. No primeiro, faz-se
uma introdução dos conceitos básicos que serão necessários ao longo deste trabalho, tais como normas, distância e convergência de sequências de funções.
Abstract
Assunto
Matemática, Curvas algébricas, Espaços algebricos
Palavras-chave
Estudos de George Cantor, Matemática
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