Regimes de liderança em urnas de Pólya não-lineares
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Universidade Federal de Minas Gerais
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Dissertação de mestrado
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Renato Soares dos Santos
Ricardo Hiroshi Caldeira Takahashi
Rosangela Helena Loschi
Ricardo Hiroshi Caldeira Takahashi
Rosangela Helena Loschi
Resumo
O modelo de urnas de Pólya é um processo estocástico em que objetos de interesse real são representados por bolas coloridas em uma urna. Uma bola é sorteada aleatoriamente e retornada à urna juntamente com outra bola da mesma cor observada. Esse processo é repetido n vezes. Dizemos que uma cor lidera na urna quando esta cor é a maior em quantidade de bolas. O modelo original é linear, mas pode ser generalizado para incorporar efeitos não-lineares. O objetivo deste trabalho é estudar a evolução da população em Urnas de Pólya não-lineares quanto aos seus regimes de liderança. No caso linear, a quantidade de bolas de cada cor cresce linearmente com o tempo e para n suficientemente grande uma das cores assume a liderança. Já no caso não-linear, concluímos que há três possibilidades: a partir de um momento aleatório, ou somente uma das cores será sorteada ou ambas as cores continuarão a ser sorteadas, porém existirá uma cor líder; ou haverá infinitas trocas de liderança. Usamos como ferramenta fundamental a Construção de Rubin.
Abstract
Pólya's urn model is a stochastic process in which colored balls in an urn represent the objects of interest. A ball is drawn randomly and then is placed back in the urn with another additional ball of the same color. This process is repeated n times. We say that a color leads in the urn when this color has more balls. The original model is linear, but can be generalized to incorporate nonlinear effects. The goal of this dissertation is to study the evolution of the nonlinear urn's population in terms of leadership. In the linear case, the number of balls of each color grows linearly with time and for a large enough n, one of the colors takes the lead. In the nonlinear case, we conclude that there are three possibilities: from a random moment, either only one of the colors will be drawn or both colors will continue to be drawn, but there will be a leading color; or there will be infinite leadership changes. We use Rubin's construction as the main tool.
Assunto
Matemática – Teses, Processo estocástico – Teses, Pólya, Modelos de urnas – Teses
Palavras-chave
Urnas de Pólya não-lineares, Regimes de liderança, Construção de Rubin, Vantagem cumulativa
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