Construção das funções de forma 3-D para o método sem malha nodal vetorial
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Editor
Universidade Federal de Minas Gerais
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Tipo
Tese de doutorado
Título alternativo
Primeiro orientador
Membros da banca
Rodney Rezende Saldanha
Ricardo Luiz da Silva Adriano
Guilherme Simon da Rosa
Marcio Matias Afonso
Ricardo Luiz da Silva Adriano
Guilherme Simon da Rosa
Marcio Matias Afonso
Resumo
Os métodos sem malha tradicionais usam funções de forma escalares e, portanto, apresentam dificuldades na aproximação de campos vetoriais. O Método sem Malha Nodal Vetorial, Vector Nodal Meshless Method (VNMM), constrói suas aproximações usando funções de forma baseadas nos espaços H(curl) e no espaço polinomial de elementos de Nédélec do primeiro tipo. Para a aplicação do método, um conjunto de nós é distribuído no domínio e em suas fronteiras. Cada nó tem um vetor unitário associado. Para a imposição direta das condições de contorno, os nós localizados nas fronteiras do domínio e nas interfaces devem ter a direção vetorial tangente à respectiva fronteira ou interface. O VNMM tem sido aplicado para resolver problemas eletromagnéticos bidimensionais. Esta tese apresenta a construção das funções de forma VNMM para uso em problemas vetoriais tridimensionais. São provadas a capacidade de interpolação da função de forma e as taxas de convergência do método. Um problema de autovalores de uma cavidade retangular é solucionado e os resultados são comparados com aqueles obtidos utilizando o Método de Elementos Finitos de Aresta, Edge Finite Element Method (EFEM). A solução numérica para os autovalores aproximados pelo VNMM não é corrompida por modos espúrios. Três problemas magnetostáticos são solucionados: um problema de blindagem magnética, um problema de cabo coaxial e um problema com estrutura periódica e material não linear. Em todos os casos, a solução numérica é validada, não há dificuldades quanto à imposição das condições de contorno, fontes e interfaces. As condições de contorno periódicas são introduzidas no VNMM e validadas. A não linearidade é solucionada por aproximações sucessivas. Um algoritmo para seleção arbitrária dos nós do domínio de suporte da função de forma VNMM é desenvolvido a fim de eliminar a dependência de uma malha ou de uma subdivisão espacial na escolha dos nós de suporte. São apresentados os testes de interpolação das funções de forma com suporte arbitrário.
Abstract
Traditional meshless methods use scalar-based functions and therefore, present difficulties in approximating vector fields. The Vector Nodal Meshless Method (VNMM) constructs its approximations using shape functions based on H(curl) spaces and Nédélec’s first type elements polynomial space. For the application of the method, a set of nodes is distributed in the domain and on its boundary. Each node has an associated unit vector. For the direct imposition of the boundary conditions, the nodes located on the domain boundary and on the interfaces must have the vector direction tangent to the respective boundary or interface. The VNMM has been applied to solve two-dimensional electromagnetic problems. This thesis presents the construction of VNMM shape functions for use in three-dimensional vector problems. The interpolation capability of the shape function and the convergence rates of the method are proven. The problem of eigenvalues of a rectangular cavity is solved with the VNMM and the results are compared with those obtained using the Edge Finite Element Method (EFEM). The numerical solution for the eigenvalues approximated by VNMM is not corrupted by spurious modes. Three magnetostatic problems are solved: a magnetic shielding problem, a coaxial cable problem, and a problem with periodic structure and nonlinear material. In all cases, the numerical solution is validated, there are no difficulties regarding the imposition of boundary conditions, sources and interface conditions. Periodic boundary conditions are introduced into VNMM and validated. Nonlinearity is solved by successive approximations. An algorithm for the arbitrary selection of nodes in the support domain of the VNMM shape function is developed in order to eliminate the dependence on a mesh or an spatial subdivision in the choice of support nodes. Shape function interpolation tests with arbitrary support are presented.
Assunto
Engenharia elétrica, Imagem tridimensional, Cálculo vetorial, Campos eletromagnéticos
Palavras-chave
Método sem malha nodal vetorial, Funções de forma 3-D, Problemas eletromagnéticos tridimensionais, Condições de contorno periódicas, Não linearidade