Critérios para as Componentes Espectrais Absolutamente Contínuas de Operadores de Jacobi a Valores Matriciais
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Editor
Universidade Federal de Minas Gerais
Descrição
Tipo
Tese de doutorado
Título alternativo
Primeiro orientador
Membros da banca
Gastao de Almeida Braga
Pablo Daniel Carrasco Correa
César de Oliveira
Tiago Pereira da Silva
Pablo Daniel Carrasco Correa
César de Oliveira
Tiago Pereira da Silva
Resumo
Apresentamos, neste trabalho, caracterizações da componente espectral absolutamente contínua de multiplicidade arbitrária associada ao operador de Jacobi discreto a valores matriciais definido em (...). Os resultados apresentados são, essencialmente, extensões, pois tratam-se de caracterizações já conhecidas, em alguns casos, para operadores de Schrödinger a valores matriciais e, em outros, para operadores de Jacobi escalares. O primeiro resultado que obtivemos é uma extensão, para o caso matricial, da desigualdade de jitomirskaya-Last (Jitomirskaya & Last [1999]), que relaciona o comportamento assintótico de soluções da equação de autovalores com a medida espectral do operador. Tais caracterizações são baseadas na chamada Teoria de Kotani (Kotani & Simon [1988]), desenvolvida para operadores ergódicos, e nos resultados obtidos por Last e Simon (Last & Simon [1999]), que relacionam o comportamento assintótico da média de Cesàro das normas das matrizes de transferência do cociclo associado ao operador ao seu tipo espectral. Especificamente, demonstramos para operadores ergódicos que para um inteiro (...), a componente absolutamente contínua de multiplicidade (...) do operador está associada ao conjunto das energias para as quais os (...) menores exponentes de Lyapunov (definidos a partir do cociclo) se anulam. Também demonstramos que esta mesma componente absolutamente contínua de multiplicidade (...) está associada ao comportamento assintótico, em (...), da média de Cesàro do r-ésimo menor valor singular de matrizes dadas por soluções da equação de autovalores associada ao operador. Tal resultado nos permite demonstrar a constância dessas componentes espectrais associadas a operadores dinamicamente definidos por aplicações minimais. Ainda nesse contexto, demonstramos uma versão mais fraca da chamada dicotomia exponencial (Haro & Puig [2013], Johnson [1986], Marx [2014]). A saber, demonstramos que o conjunto resolvente associado a um operador minimal coincide com o conjunto de pontos nosquais o cociclo satisfaz uma condição de crescimento exponencial uniforme. Por fim, apresentamos também a Teoria de Kotani para operadores de Dirac ergódicos, um caso particular de operadores de Jacobi a valores matriciais singulares.
Abstract
We dicuss in this work some characterizations of the absolutely continuous spectrum of arbitrary multiplicity of discrete matrix-valued Jacobi operators on (...). Essentially, these results extend some well-known characterizations for scalar Schrödinger operators. The first result obtained is an extension of the Jitomirskaya-Last inequality (Jitomirskaya & Last [1999]), which relates the asymptoptic behavior of the solutions to the eingenvalue equation to the spectral measures. Such characterizations are extensions of Kotani's theory (Kotani & Simon[1988]) for ergodic operators, and of Last-Simon results (Last & Simon [1999]), which relate the absolutely continuous spectrum to the assintoptical behavior of the Cesàro mean of the transfer matrices' norms. Especifically, we prove (as in Kotani & Simon [1988]) that for an integer (...), the absolutely continuous spectrum of multiplicity (...) is related to the energies for which the (...) smaller Lyapunov exponents are 0. We also prove that the absolutely continuous spectrum of multiplicity (...) is also related to the asymptoptic behavior, in (...), of the Cesàro mean of the singular values of some matrices given by solutions to the eigenvalue equation. This result allows us to prove the constancy of these spectral components for minimal Jacobi operators. In this setting, we give a proof of a weaker version of the exponential dichotomy (Haro & Puig [2013], Johnson [1986], Marx [2014]). Namely, we prove that the resolvent set is the set of energies for which the operator's cocicle satisfies an uniformly exponential growth condition.We also discuss Kotani's theory for ergodic Dirac operators, which can be seen as particular class of singular matrix-valued Jacobi operators.
Assunto
Matemática, Física matemática, Hamilton-Jacobi, Equações, Teoria espectral (Matematica), Equações diferenciais parciais
Palavras-chave
Operador de Dirac, Exponencial, Operador de Jacobi a valores matriciais, Dicotomia, Teoria de Kotani