Algumas questões em percolação anisotrópica
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Autor(es)
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Editor
Universidade Federal de Minas Gerais
Descrição
Tipo
Tese de doutorado
Título alternativo
Primeiro orientador
Membros da banca
Marcelo Richard Hilario
Ronald Dickman
Roberto Imbuzeiro Felinto de Oliveira
Leandro Pinto Rodrigues Pimentel
Ronald Dickman
Roberto Imbuzeiro Felinto de Oliveira
Leandro Pinto Rodrigues Pimentel
Resumo
Neste trabalho estudamos alguns aspectos dos modelos de percolação independente de elos anisotrópico na laje Z2 e na rede quadrada Z2. Consideramos o modelo de percolação independente de elos anisotrópico na laje Z2, onde supomos que os elos verticais estão abertos com probabilidade pv, enquanto os elos horizontais estão abertos com probabilidade ph. Estudaremos as curvas críticas para esses modelos e estabeleceremos sua continuidade e monotonicidade estrita. Os resultados podem ser estendidos para percolação independente de elos anisotrópico em Z3. Posteriormente, consideramos o modelo de percolação independente de elos anisotrópico em Z2, i.e., seja p = (ph; pv) 2 [0; 1]2 com pv > ph e declare cada elo horizontal (respectivamente vertical) de Z2 aberto com probabilidade ph (respectivamente pv), e fechado de outro modo, independentemente de todos os outros elos. Denote por Pp amedida de probabilidade correspondente. Considere x = (x1; x2) 2 Z2 com 0 < x1 < x2, e x0 = (x2; x1) 2 Z2. É natural questionar como se comporta a função de conectividade Pp(f0 ! xg), e quando a anisotropia das probabilidades de percolação implica na desigualdadeestrita Pp(f0 ! xg) > Pp(f0 ! x0g). Nós daremos uma resposta afirmativapara a questão, considerando o regime altamente supercrítico.
Abstract
In this work we study some aspects of anisotropic independent bond percolation on the slab Z2 f0; : : : ; kg and on the lattice Z2. We consider anisotropic independent bond percolation on the slab Z2 f0; : : : ; kg, where we suppose that the vertical bonds are open with probability pv, while the horizontal bonds are open with probability ph. We study the critical curves for these models and establish their continuity and strictmonotonicity. The results can be extended to anisotropic independent bond percolation on Z3. Later, we consider an anisotropic independent bond percolation model on Z2, i.e., let p = (ph; pv) 2 [0; 1]2 with pv > ph and declare each horizontal (respectively vertical) edge of Z2 to be open with probability ph (respectively pv), and otherwise closed, independentlyof all other edges. Let Pp denote the corresponding probability measure. Let x = (x1; x2) 2 Z2 with 0 < x1 < x2, and x0 = (x2; x1) 2 Z2. Its natural to ask how behaves the connectivity function Pp(f0 ! xg), and whether anisotropy in percolation probabilities implies the strict inequality Pp(f0 ! xg) > Pp(f0 ! x0g). We give afirmative answer to this question, at least in the highly supercritical regime.
Assunto
Matemática, Perlocação
Palavras-chave
Conectividades truncadas, Anisotropia, Percolação