Campos de vetores tangentes a folheações holomorfas de codimensão Um
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Autor(es)
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Editor
Universidade Federal de Minas Gerais
Descrição
Tipo
Tese de doutorado
Título alternativo
Primeiro orientador
Membros da banca
Marcio Gomes Soares
Gilcione Nonato Costa
Marianna Ravara Vago
Javier Ribón Herguedas
Gilcione Nonato Costa
Marianna Ravara Vago
Javier Ribón Herguedas
Resumo
Dizemos que um germe de campo de vetores X em (...) é tangente a uma folheação holomorfa definida pelo germe de 1-forma integrável (...). Esse trabalho objetiva estudar algumas propriedades geométricas advindas dessa configuração. Observamos, em primeiro lugar, que o conjunto singular de (...) é sempre invariante por X. Assim, se o conjunto singular de (..) contém uma curva, X possui uma separatriz. Em 1992, X. Gómez-Mont e I. Luengo apresentaram uma família de campos de vetores em (...) sem separatrizes. Mostraremos nesse trabalho que os campos de vetores nesta família não são tangentes a folheações. Mostramos ainda que se um campo de vetores X tangente a uma folheação possuir, em alguma dessingularização, uma singularidade no domínio de Poincaré, então X possui separatriz. Um germe de campo de vetores X em (...) é dito " Poincaré fortemente não ressonante" se a parte linear de X estiver no domínio de Poincaré com autovalores fortementenão ressonantes ou seja, sem relações lineares não triviais com coeficientes inteiros. Uma folheação G de codimensão um é do tipo hiperbólico complexo se para todo mapa (...), holomorfo e transversal a G, a folheação bidimensional (...)G é do tipo curva generalizada ou seja, não possui selas-nó na dessingularização. Consideramos F um germe de folheação de dimensão um em (...) com singularidade isolada em (...), possuindo uma dessingularização por blow-ups puntuais não dicríticos e tal que todas as suas singularidades são do tipo Poincaré fortemente não ressonantes. Se uma folheação G de codimensão um é invariante por uma F de dimensão um com essas características, então G é uma folheação hiperbólica complexa. Por fim, consideramos um germe de campo de vetores holomorfo X em (...) tangente a três folheações independentes. Mostramos que X é tangente a um feixe linear de folheações e, portanto, a infinitas folheações. Como consequência, o campo de vetores X possui superfícies invariantes.
Abstract
We say that a germ of vector field X in (...) is tangent to a holomorphic foliation defined by a germ of integrable 1-form (...). In this thesis we aim to study some geometric properties arising from this setting. We first observe that the singular set of ! is invariant by X. Thus, if the singularset of ! contains a curve, then X has a separatrix. In 1992, X. Goméz-Mont and I. Luengo presented a family of vector fields in (...) without separatrices. We prove that vector fields in this family are not tangent to foliations. Besides, we prove that if a vector field X tangent to a foliation has, in some desingularization, a singularity in the Poincaré domain, then X has a separatrix. A germ of vector field in (...) is said to be strongly non-resonant Poincaré if the linear part of X is in the Poincaré domain with strongly non-resonant eigenvaluesthat is, without non-trivial linear relations with integer coefficients. A foliation G of codimension one is complex hyperbolic if for every map (...), holomorphic and transversal to G, the two-dimensional foliation (...)G is of generalized curve type that is, there are no saddle-nodes in its desingularization. Let F be a germ of one dimensional foliation in (...) with isolated singularity at (...), having a desingularization by nondicritical punctual blow-ups such that all singularities are of strongly non-resonant Poincaré type. If a foliation G of codimension one is invariant by F with such characteristics, then G is a complex hyperbolic foliation. Finally, we considere a germ of holomorphic vector field X in (...) tangent to three independent foliations. We prove that X is tangent to a linear pencil of foliations and, therefore, to infinitely many foliations. As a consequence, the vector field X has invariant surfaces.
Assunto
Matemática, Folheações (Matemática), Campos vetoriais, Folheações (Matematica), Geometria integral, Funções holomorficas
Palavras-chave
Integral primeira holomorfa, separatriz, feixe linear de folheações, folheação hiperbólica complexa, dessingularização, variedade invariante