Threshold solutions for the nonlinear Schrödinger equation

Abstract

Estudamos a equação NLS focalizada em Rᴺ no regime massa supercrítica e energia subcrítica (ou intercrítica), com dados H1 no limiar massa-energia ME.(u0)=ME(Q), onde Q é o estado fundamental. Anteriormente, Duyckaerts–Merle estudou o comportamento de soluções limiares no caso H¹-crítico, nas dimensões N=3; 4; 5, posteriormente generalizado por Li – Zhang para dimensões superiores. No caso intercrítico, Duyckaerts – Roudenko estudou o problema de limite para a equação NLS cúbica 3d. Neste artigo, generalizamos os resultados de Duyckaerts–Roudenko para qualquer dimensão e qualquer potência da não linearidade para todo o intervalo intercrítico. Mostramos a existência de soluções especiais, Q±, além da onda estacionária eᶦᵗQ, que se aproximam exponencialmente da onda estacionária na direção positiva do tempo, mas diferem em seu comportamento para o tempo negativo. Classificamos as soluções no nível de limiar, mostrando que a explosão ocorre em tempo finito (positivo e negativo), ou espalhamento em ambas as direções do tempo, ou que a solução é igual a uma das três soluções especiais acima, até simetrias. Nossa prova se estende ao caso H¹-crítico, dando assim uma prova alternativa do resultado de Li–Zhang e unificando os casos críticos e intercríticos. Esses resultados são obtidos estudando a equação linearizada em torno da onda estacionária e algumas soluções aproximadas personalizadas para a equação NLS. Estabelecemos importantes propriedades de decaimento de funções associadas ao espectro do operador linearizado de Schrödinger, que, em combinação com estabilidade modulacional e coercividade para o operador linearizado em subespaços especiais, nos permite usar um argumento de ponto fixo para mostrar a existência de soluções especiais . Finalmente, provamos a unicidade estudando soluções com decaimento exponencial para uma sequência de equações linearizadas.