Resultados de existência e de não existência de soluções para uma classe de equações elípticas
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Editor
Universidade Federal de Minas Gerais
Descrição
Tipo
Dissertação de mestrado
Título alternativo
Primeiro orientador
Membros da banca
Ronaldo Brasileiro Assuncao
Paulo Cesar Carrião
Olímpio Hiroshi Miyagaki
Paulo Cesar Carrião
Olímpio Hiroshi Miyagaki
Resumo
Nesta dissertação estudamos uma classe de problemas elípticos quase lineares com singularidades no operador e na não-linearidade. Recentementemuitos resultados foram publicados para esse tipo de problema nos casos em que W ou em que W ´e um domínio exterior tal que 0 / W. Baseados no artigo de Bartsch, Peng e Zhang [3], consideramos o caso menos estudado em que W. Quando 6 0 e > 0, isto é, quando a desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg falha, demonstramos uma identidade do tipo de Pohozaev. Consequentemente, esse problema não possui solução quandoW é um cone estrelado em relacão a um ponto RN. Modificando algumas condições sobre os parâmetros e demonstramos a existência de uma solução através da minimização de um funcional definido em um espaço de Sobolev com propriedades que refletem a geometria do domínio W. Também estudamos o caso concreto da desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg. Supondo que 1 < p < N, > p N, > p, /p > /p(, ) demonstramos a existência de uma solução através da minimizacão do quociente de Rayleigh-Ritz, isto é, A existência de uma solucao estritamente positiva e de energia mínima (conhecida como solução ground state) é obtida como consequência do princpio do máximo. Na mesma direcão, usando o fato de que S,(W) é atingido e o princpio do máximo demonstramos um resultado decomparacao para S,(W); precisamente, se W1 W2, entao S,(W1) > S,(W2). No caso de dom´nios diferenciaveis, quando W C2 e com a hipótese de que 0 W, demonstramos um resultado de não existencia de solucão para alguns tipos de domínios W. A ideia é demonstrar que S,(W) = S,(RN) e usar a invariância do quociente acima para concluir que S,(W) não é atingido. Baseados nos artigos de Bartsch, Peng e Zhang [3] e de Kou e Peng [17], também estudamosum problema de valor de fronteira com condicões do tipo de Neumann. O principal argumento da demonstracao desse fato é um lema de concentracão-compacidade. Para obtermos uma sequência de Palais-Smale no n´vel de minimax e com o expoente crítico usamos a hipótese de que a curvatura média em 0 W é positiva.
Abstract
Assunto
Matemática, Equações diferenciais elipticas
Palavras-chave
Operador p-laplaciano, Kohn e Nirenberg, Existência e não-existência de soluçoes, Desigualdade de Caffarelli