Grupos sincronizadores e o teorema de O'nan-Scott
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Universidade Federal de Minas Gerais
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Dissertação de mestrado
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Primeiro orientador
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Israel Vainsencher
Ana Cristina Vieira
Ana Cristina Vieira
Resumo
O Teorema de ONan-Scott classifica os grupos de permutações primitivos finitos dividindo-os em oito classes, de acordo com a estrutura dos seus subgrupos normais minimais. Um importante resultado utilizado nessa classificação é que todo grupo de permutações primitivo finito admite no máximo dois subgrupos normais minimais. A propriedade de sincronização surgiu no contexto da teoria de autômatos finitos e semigrupos de transformações. Arnold [1] e Steinberg [2] definiram os grupos de permutações sincronizadores com o objetivo de estudar a Conjectura de Cerný por outra perspectiva. Peter Neumann [12] estudou os grupos sincronizadores utilizando a teoria de grafos. Ele mostrou que os grupos sincronizadores possuem uma caracterização na teoria dos chamados grafos orbitais não direcionados, além de provar que um grupo primitivo que preserva uma estrutura de produto" não pode ser sincronizador. Peter Cameron [5] também muito contribuiu nessa área, e definiu os chamados grupos básicos. Não é difícil demonstrar que todo grupo sincronizador é primitivo. Isso nos motiva a perguntar em quais, dentre as classes do Teorema de O'Nan-Scott, é possível encontrar grupos sincronizadores. Nesse trabalho, utilizaremos o conceito de decomposições cartesianas, introduzido por Kóvacs [9] e reformulado por Baddeley, Praeger e Schneider [3], para mostrar que em quatro, dentre as oito classes do Teorema de O'Nan-Scott, não há grupos sincronizadores. Isso nos diz que os grupos sincronizadores podem ser encontrados somente nas quatro classes restantes, mas veremos que mesmo nessas classes existem grupos não sincronizadores.
Abstract
The O'Nan-Scott Theorem classifies the finite primitive permutation groups by dividing them into eight classes, according to the structure of its minimal normal subgroups. An important result in this classification is that every finite primitive permutation group admits at most two minimal normal subgroups. The synchronization property emerged from finite automata and transformation semigroup theory. Synchronizing permutation groups were introduced by Arnold [1] and Steinberg [2] to study the Cerný Conjecture from another perspective. Peter Neumann [12] studied the synchronizing groups using graph theory. He introduced a graph theoretic characterization of non-synchronizing groups in terms of undirected orbital graphs, and proved that a primitive group that preserves a \power structure" can not be synchronizing. Peter Cameron [5] also contributed in this area, and defined the so called basic groups. It is not dificult to show that synchronizing groups are primitive. This motivates us to inquire in which of the classes in the O'Nan-Scott Theorem we can find synchronizing groups. In this work, we use the concept of cartesian decompositions, introduced by Kovács [9] and reformulated by Baddeley, Praeger and Schneider [3], to show that in four, among the eight classes of the O'Nan-Scott Theorem, there are no synchronizing groups. This tells us that the synchronizing groups can be found only in the remaining four classes, but we will see that even in these classes there are non-synchronizing groups.
Assunto
Matemática, Teoria dos grupos, Álgebra linear
Palavras-chave
Matemática