Problema do isomorfismo para álgebras envolventes universais de álgebra de lie
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Universidade Federal de Minas Gerais
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Dissertação de mestrado
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Viktor Bekkert
Fabio Enrique Brochero Martinez
Fabio Enrique Brochero Martinez
Resumo
Sejam L e H duas álgebras de Lie e UL e UH suas respectivas envolventes universais. O problema do isomorfismo para álgebras envolventes universais de álgebras de Lie consiste em estudar sob quais condições o isomorfismo entre UL e UH implica no isomorfismo entre L e H. Nesta dissertação, faremos o estudo para álgebras de Lie simples de dimensão 3 e para álgebras de Lie nilpotentes de dimensão finita, baseado nos artigos [Mal92] de Malcolmson e [RU07] de Riley e Usefi. A fim de estudarmos o artigo [Mal92], iremos estudar as álgebras dos quatérnios, baseado no artigo [Lew06] de David W. Lewis e na dissertação de mestrado [Sha08] de Zi Yang Sham. Iremos caracterizar as álgebras dos quatérnios sobre corpos específicos, a fim de adquirir uma caracterização para as álgebras de Lie simples de dimensão 3. Além disso, mostraremos que o isomorfismo entre as envolventes universais de duas álgebras de Lie simples de dimensão 3 acontece se, e somente se, as álgebras de Lie são isomorfas. Mostraremos ainda, baseado no artigo [RU07], que a envolvente universal de uma álgebra de Lie de dimensão finita determina se a álgebra de Lie é ou não nilpotente e, no caso de ela ser nilpotente, determina também o grau de nilpotência e o número mínimo de geradores da álgebra de Lie.
Abstract
Let L and H be two Lie algebras and UL and UH be their respective universal enveloping algebras. The isomorphism problem for universal enveloping algebras of Lie algebras asks us to determine under what conditions the isomorphism between UL and UH implies the isomorphism between L and H. In this dissertation, we will investigate this problem in the context of threedimensional simple Lie algebras and finite-dimensional nilpotent Lie algebras, based on the articles of Malcolmson [Mal92] and of Riley and Usefi [RU07]. In order to present a detailed proof of the main result of Malcolmson [Mal92], we will describe the class of quaternion algebras, based on the article [Lew06] of David W. Lewis and on masters dissertation [Sha08] of Zi Yang Sham. We will characterize the quaternion algebras over specific fields, in order to obtain a characterization of three-dimensional simple Lie algebras. Moreover, we will show that isomorphism between universal enveloping algebras of two three-dimensional simple Lie algebras occurs if and only if the Lie algebras are isomorphic. We will also show, based on the article [RU07], that the isomorphism type of the universal enveloping algebra of a finite dimensional Lie algebra determines whether or not the Lie algebra is nilpotent and, in case it is, it also determines the nilpotency class and the minimal number of generators of the Lie algebra.
Assunto
Matemática, Isomorfismos (Matematica), Lie, Algebra de, Teoria dos grupos
Palavras-chave
Álgebras de Lie