Sequential Bayesian Analysis of the Non-Gaussian State-Space Models Family

Abstract

Neste trabalho é analisada a família de modelos de espaços de estado não-gaussianos proposta por Gamerman et al. (2013) denominada non-Gaussian state space model (NGSSM). Analisamos também sua extensão do caso univariado para o multivariado e uma variação específica a algumas distribuições da família tratados em Aktekin et al. (2018, 2020). A família proposta permite uma certa flexibilidade na modelagem ao abranger um vasto leque de distribuições não-gaussianas ao mesmo tempo que se preserva a função de verossimilhança marginal em forma analítica e, consequentemente, também a distribuição preditiva, evitando a necessidade de aproximações numéricas para esta. Isso se traduz em eficiência computacional (em termos de velocidade) e precisão para a modelagem. O problema motivante a ser focado nesse trabalho se restringe ao campo de finanças quantitativas no que diz respeito à modelagem de volatilidade estocástica, que serve como variável importante na decisão de gestão de risco, alocação de portfólio, precificação de opções, dentre outros. Trabalharemos com três distribuições contidas na família NGSSM. A saber, Poisson, Gamma e Weibull. A modelagem será insipirada nos trabalhos de Aktekin et al. (2020) para o caso multivariado. Para inferência (Bayesiana) dos parâmetros, será utilizado o filtro de partículas híbrido de Liu-West (HLW) apresentado em Chen et al (2010). O HLW se baseia nas ideias do filtro de Liu-West (2001), abreviado de LW, do filtro de Storvik (2002) e do filtro Particle Learning (PL) de Carvalho et al. (2010). Ao final, tambem faremos inferência usando o filtro híbrido de Liu-West completamente adaptado (FAHLW), apresentado em Silva (2020), que combina ideias dos filtros HLW e PL. No caso exposto em Aktekin et al. (2018), eles empregaram o filtro de partículas Particle Learning (PL) para estimação online dos parâmetros do modelo usando de estatísticas suficientes no que pode ser chamado de um filtro Rao-Blackwellizado. Apesar de o filtro atingir resultados muito bons e o trabalho feito para possibilitar o uso do PL ser extraordinário, os autores assumiram duas premissas: i) assumiram conhecimento de parâmetros que não tinham estatística suficiente e ii) discretizaram o espaço paramétrico de um importante parâmetro do modelo, o que leva a um trade-off entre acurácia da inferência e complexidade de tempo para o filtro. Para o HLW, a ideia de usar um kernel de mistura de Normais multivariadas com shrinkage (encolhimento) para evitar perda de informação na evolução artificial dos parâmetros vem da estrutura do filtro de LWe é o que nos permite a estimação de parâmetros sem a necessidade de estatística suficiente. Porém, a fim de refinar o filtro de LW, é incorporado o uso de estatísticas suficientes para parâmetros onde estas são disponíveis (ideia primeiro difundida em Storvik (2002) e utilizado também no PL (2010)). A ordem de amostragem dos parâmetros e estados no framework usado no LW impossibilita o filtro de ser completamente adaptado, o que é sempre uma propriedade desejável, uma vez que se mitiga o problema de degeneração de partículas. Essa mudança no algoritmo é o insight crucial no FAHLW. Detalhamento aprofundado dos frameworks e explicações podem ser encontrados em Silva (2020).