Curvas racionais com singularidades hiperelíticas
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Editor
Universidade Federal de Minas Gerais
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Tipo
Tese de doutorado
Título alternativo
Primeiro orientador
Membros da banca
André Luis Contiero
Letterio Gatto
Lia Feital Fusaro
Marcelo Escudeiro Hernandes
Letterio Gatto
Lia Feital Fusaro
Marcelo Escudeiro Hernandes
Resumo
Neste trabalho, estudamos curvas racionais singulares no espaço projetivo, deduzindo
condições de suas parametrizações e semigrupos de valores associados a suas singularidades.
Aqui, focamos em curvas racionais com cúspides cujos semigrupos são do tipo hiperelítico.
Provamos que a variedade de (parametrizações de) curvas racionais de grau fixo d suficientemente grande em P^n com uma única cúspide hiperelítica de gênero g é sempre de codimensão pelo menos (n−1)g dentro do espaço de aplicações holomorfas P^1 → P^n de grau d; e quando g é pequeno, esse limite é exato e o espaço correspondente é formado por estratificações unirracionais indexadas por perfis de ramificação fixos. Também fornecemos evidências para uma generalização conjectural desse fato no caso em que as curvas racionais tem cúspide cujo semigrupo de valores associado S é arbitrário, e fornecemos evidências para essa conjectura sempre que S for semigrupo γ-hiperelítico de peso mínimo ou peso máximo.
Finalmente, obtivemos limites superiores sobre a gonalidade das curvas racionais com
cúspides hiperelíticas, bem como descrições qualitativas de seus modelos canônicos.
Abstract
In this work we study singular rational curves in projective space, deducing conditions
on their parameterizations from the value semigroups of their singularities. Here we focus
on rational curves with cusps whose semigroups are of hyperelliptic type. We prove that the
variety of (parameterizations of) rational curves of sufficiently large fixed degree d in P^n with
a single hyperelliptic cusp of delta-invariant g is always of codimension at least (n−1)g inside
the space of degree-d holomorphic maps P^1 → P^n; and that when g is small, this bound is
exact and the corresponding space of maps is paved by unirational strata indexed by fixed
ramification profiles. We also provide evidence for a conjectural generalization of this picture
for rational curves with cusps of arbitrary value semigroup S, and provide evidence for this
conjecture whenever S is a γ-hyperelliptic semigroup of either minimal or maximal weight.
Finally, we obtain upper bounds on the gonality of rational curves with hyperelliptic
cusps, as well as qualitative descriptions of their canonical models.
Assunto
Matemática - Teses, Curvas algébricas - Teses, Curvas racionais singulares - Teses, Curvas hiperelíticas - Teses
Palavras-chave
Curvas racionais singulares, Curvas hiperelíticas, Curvas γ-hiperelíticas, Gonalidade.