Exploring quantum walks: weighted paths and quotient graphs unveiled

Abstract

Esta dissertação explora o problema da Transferência Perfeita de Estado (PST) em grafos, que tem implicações significativas na computação quântica. O objetivo é determinar quais grafos permitem transferir perfeitamente o estado de um qubit (ou vértice) para outro qubit em um determinado tempo. O texto apresenta uma introdução ao tema utilizando técnicas de álgebra linear, discutindo condições necessárias e suficientes para alcançar o PST e enfatizando a transferência de longa distância entre qubits. O objetivo da otimização ´e minimizar o número de componentes quânticos necessários para alcançar a transferência perfeita de estado. Uma classe importante de grafos que admite PST são os caminhos com pesos. Para o PST entre vértices nos extremos, o problema foi completamente resolvido explorando a conexão desses grafos com polinômios ortogonais. No entanto, o problema se torna consideravelmente mais complexo para vértices em outras posições, levando a novos resultados e conexões explorados neste documento. Entre esses resultados, podemos citar uma fórmula que relaciona, de maneira inédita, o polinômio extremo com outro polinômio arbitrário em uma sequência de polinômios ortogonais; como criar uma sequência de polinômios ortogonais que contenha outros dois dados; e como o PST em caminhos com pesos se relaciona com o problema de Prouhet-Tarry-Escott, um problema em aberto na área de teoria dos números. Por fim, o documento apresenta uma abordagem para a construção de grafos com PST, explorando caminhos ponderados e partições equitativas. Também são apresentados novos teoremas nessa ´área, que têm relevância geral para a teoria dos grafos. Entre esses teoremas, destaca-se um critério para dois grafos possuírem um quociente simetrizado em comum; como as matrizes de partições equitativas se relacionam com matrizes projetivas; e como o conjunto de partições equitativas se transforma quando o grafo original é quocientado.