Integrabilidade algébrica para r-formas polinomiais
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Universidade Federal de Minas Gerais
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Dissertação de mestrado
Título alternativo
Primeiro orientador
Membros da banca
Márcio Gomes Soares
Rogério Santos Mol
Rogério Santos Mol
Resumo
A teoria da integrabilidade construída por Darboux provei uma relação entre a integrabilidade de campos vetorias polinomiais e o número de hipersuperf´ıcies algébricas invariantes
que ele admite. Esta teoria proposta inicialmente por Henri Poincaré tem sido aplicado satisfatoriamente ao estudo de muitos modelos físicos. Jean Pierre Jouanolou melhorou muito a teoria de Darboux caracterizando a existência de integrais primeiras racionais para 1-formas Polinomiais em Kn
e P
n
K, onde K ´e um corpo algebricamente fechado de característica zero. Este trabalho esta baseado no estudo do artigo [9], no qual M.Corrˆea Jr, L.G.Maza
e M.G.Soares demostram um teorema de integrabilidade algébrica de tipo DarbouxJouanolou para as r-formas polinomiais. Assim o primeiro resultado principal de este trabalho está dado por Teorema 4.0.1 Seja K um corpo algebricamente fechado e ω uma r-forma polinomial de grau d em Kn . Se ω admite
d − 1 + n
n
.
n
r + 1
+ r + 1
hipersuperfícies algébricas irredutíveis invariantes, então ω admite uma integral primeira racional. Supondo que a forma não admite integral primeira racional a ´ultima equação nos provê
uma cota para o número de hipersuperfícies invariantes por ω, infelizmente esta cota está longe de ser ótima. Desta forma o segundo resultado de este trabalho esta basejado na teoria de integrabilidade de Lagutinskii-Pereira, na qual é introduzido o conceito de r-ésimo polinômio extático de um campo de vetores fornecendo um outro critério para a existência de integrais primeiras racionais. Em particular obtemos uma cota ótima para o número de hiperplanos invariantes. Teorema 5.0.2 Seja X um campo polinomial em C n de grau d. Suponha que X não admite integral primeira racional então o número de hipersuperfícies irredutíveis invariantes por X de grau k ´e no máximo
(d − 1)
n+k
k
2
+
1
k
k + 1
2
n + k
k
− 1
.
Em particular, se k = 1 vale
n + 1
2
(d − 1) + n,
sendo esta última cota ótima. Finalmente, na última parte deste trabalho, damos uma aplicação à teoria das folheações
holomorfas de dimensão um no espaço projetivo P
n
.
Teorema 6.0.3 Seja F uma folheação holomorfa 1-dimensional no espaço projetivo
P
n
C
com grau(F) = d. Suponha que F não admite integral primeira racional então
1. O número de hipersuperfícies irredutíveis invariantes por F de grau k contando
multiplicidade ´e no máximo
n + k
k
+
1
k
n+k
k
2
(d − 1).
2. No caso k = 1 vale,
(n + 1) +
n + 1
2
(d − 1) = nd +
n
2
(d − 1) + 1.
Abstract
The theory of integrability developed by Darboux provides a relationship between the integrability of polynomial vector fields and the number of invariant algebraic hypersurfaces
that they admit. This theory, initially proposed by Henri Poincar´e, has been successfully applied to the study of many physical models. Jean Pierre Jouanolou significantly
improved Darboux’s theory by characterizing the existence of rational first integrals for
polynomial 1-forms in Kn and P
n
K, where K is an algebraically closed field of characteristic
zero.
This work is based on the study of article [9], in which M. Corrˆea Jr., L. G. Maza, and
M. G. Soares prove an algebraic integrability theorem of Darboux–Jouanolou type for
polynomial r-forms. Thus, the first main result of this work is given by
Theorem 4.0.1 Let K be an algebraically closed field and let ω be an r-form of degree d in Kn
. If ω admits
d − 1 + n
n
.
n
r + 1
+ r + 1
irreducible invariant algebraic hypersurfaces, then ω admits a rational first integral.
Assuming that the form does not admit a rational first integral, the above equation
provides an upper bound for the number of invariant hypersurfaces of ω, unfortunately,
this bound is far from optimal. Thus, the second main result of this work is based on
the Lagutinskii–Pereira theory of integrability, in which the concept of the r-th extactic
polynomial of a vector field is introduced, providing another criterion for the existence
of rational first integrals. In particular, we obtain an optimal bound for the number of
invariant hyperplanes.
Theorem 5.0.2 Let X be a polynomial vector field on C
n of degree d. Suppose that
X does not admit a rational first integral. Then the number of irreducible invariant
hypersurfaces of degree k of X is at most
(d − 1)
n+k
k
2
+
1
k
k + 1
2
n + k
k
− 1
.
In particular, if k = 1, we have
n + 1
2
(d − 1) + n,
and this last bound is optimal.
Finally, in the last part of this work, we present an application to the theory of onedimensional holomorphic foliations on the projective space P
n
.
Theorem 6.0.3 Let F be a one-dimensional holomorphic foliation on the complex
projective space P
n
C with degree deg(F) = d. Suppose that F does not admit a rational
first integral then
1. The number of irreducible invariant hypersurfaces of F of degree k, counted with
multiplicity, is at most
n + k
k
+
1
k
n+k
k
2
(d − 1).
2. For k = 1, we have
(n + 1) +
n + 1
2
(d − 1) = nd +
n
2
(d − 1) + 1.
Assunto
Matemática - Teses, Campos vetoriais - Teses, Hipersuperfícies - Teses, Folheações (Matemática) - Teses
Palavras-chave
Campo de vetores, Hipersuperfícies invariantes, Folheações holomorfas