Topics in interacting particle systems and anisotropic percolation models

Abstract

Nesta tese, apresentamos resultados em processos estocásticos, mais precisamente, em sistemas de partículas interagentes e em modelos de percolação anisotrópica. O primeiro tópico de nossa análise é o processo de contato sob renovações, uma recente generalização do clássico processo de contato; analisamos o caso em que a distribuição dos intervalos, entre as renovações, tem cauda pesada, onde o decaimento é polinomial com expoente entre 0 e 1. Mostramos que neste caso, um fenômeno incomum é observado, há possibilidade de sobrevivência mesmo em grafos finitos: para cada expoente, há transição de fase de acordo com o tamanho do grafo, isto é, temos extinção quase certa se a quantidade de indivíduos é menor que o tamanho crítico e temos possibilidade de sobrevivência caso contrário. E, além disso, exibimos cotas inferior e superior bastante satisfatórias para o tamanho crítico. O segundo tópico consiste em um sistema unidimensional e infinito de partículas, onde há uma partícula carregada que está sob a ação de uma força constante, que lhe provoca movimento e consequentemente interações com as demais partículas presentes no sistema. Como resultado, teoremas centrais do limite são estabelecidos, para a posição e velocidade da partícula carregada. Por fim, analisamos o diagrama de fase do modelo de percolação anisotrópica de elos de Bernoulli independentes na rede hipercúbica d-dimensional, onde a probabilidade de um elo estar aberto, varia de acordo com sua direção. Dois resultados são obtidos: primeiro, estabelecemos que, na rede orientada, de certa forma, o diagrama de fase é similar ao do modelo na árvore d-regular; e segundo, estabelecemos que, se d é maior que 10, é válida uma conjectura envolvendo o expoente crítico de transição dimensional, que fora proposta por físicos.