Existence results on k-normal elements over finite fields

Abstract

Um elemento α∈Fqn é normal sobre Fq se α e seus conjugados α, αq,…, αqn − 1 formarem uma base de Fqn sobre Fq. Em 2013, Huczynska, Mullen, Panario e Thomson introduziram o conceito de elementos k-normais, generalizando os elementos normais. Nos últimos anos, muitas questões relativas à existência e ao número de elementos k-normais com propriedades especificadas foram propostas. Neste artigo, discutimos algumas dessas questões e, em particular, fornecemos muitos resultados gerais sobre a existência de elementos k-normais com propriedades adicionais, como ser primitivo ou ter grande ordem multiplicativa. Também discutimos a existência e construção de elementos k-normais em corpos finitos, fornecendo uma conexão entre os elementos k-normais e a fatoração de xn − 1 sobre Fq.