Folheações efetivas no plano complexo
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Editor
Universidade Federal de Minas Gerais
Descrição
Tipo
Tese de doutorado
Título alternativo
Effective foliations in the complex plane
Primeiro orientador
Membros da banca
Arturo Ulises Fernández Pérez
Evelia Rosa García Barroso
Fernando Lourenço
Nacy Edith Saravia Molina
Evelia Rosa García Barroso
Fernando Lourenço
Nacy Edith Saravia Molina
Resumo
Muitas propriedades de uma folheação holomorfa podem ser lidas a partir do seu conjunto
de separatrizes. O polígono de Newton é um instrumento geométrico que codifica propriedades
locais de curvas analíticas e de folheações holomorfas. Alguns textos exploram a relação
entre os polígonos de Newton de certas folheações não-dicríticas e o de suas separatrizes.
Nesta tese propomos estudar essas relações para o caso de folheações dicríticas. Para tanto,
nos restringimos a uma classe particular de folheações dicríticas, denominadas folheações
efetivas, caracterizadas por possuírem, no divisor excepcional de sua redução de singularidades,
componentes dicríticas de valência no máximo dois. Uma folheação nesta família possui uma
equação equilibrada de separatrizes desprovida de polos. Assim, demonstramos a igualdade
entre os polígonos de Newton de uma folheação efetiva do segundo tipo dicrítica e o de
sua equação equilibrada de separatrizes, generalizando resultados previamente obtidos para
folheações não-dicríticas em [14] e [29]. Essa abordagem possui aplicações no estudo
de curvas polares associadas a uma folheação. Apresentamos uma generalização, para
folheações efetivas do segundo tipo, do Teorema da Decomposição Polar provado em [10]
para folheações do tipo curva generalizada não-dicríticas, resultado que descreve, sob uma
perspectiva topológica, a decomposição das curvas polares em pacotes de ramos a partir de
informações de equisingularidade das separatrizes da folheação.
Abstract
Many properties of a holomorphic foliation can be deduced from its set of separatrices. The
Newton polygon is a geometric tool that encodes local information about analytic curves and
holomorphic foliations. Several works explore the relationship between the Newton polygons
of certain non-dicritical foliations and those of their separatrices. In this thesis, we propose
to study this relationship in the context of dicritical foliations. To this end, we restrict our
attention to a particular class of foliations, called effective foliations, characterized by having,
in the exceptional divisor of their reduction of singularities, dicritical components of valence
at most two. Foliations in this class admit a balanced equations of separatrices without poles.
We show that, for an effective second type foliation, its Newton polygon coincides with the
Newton polygon of its balanced equation of separatrices, thus generalizing results previously
obtained for non-dicritical foliations in [14] and [29]. This approach has applications in the
study of polar curves associated with a foliation. We present a generalization, for effective
second type dicritical foliations, of the Polar Decomposition Theorem, proved in [10] for nondicritical generalized curve foliations. This result describes, from a topological perspective, the
decomposition of polar curves into packages of branches, based on equisingularity data of the
foliation’s separatrices.
Assunto
Matemática – Teses, Folheações (Matemática) – Teses, Diagrama de Newton – Teses, Diagrama de Eggers – Teses
Palavras-chave
teorema da decomposição polar