Percolação Bootstrap em árvores homogêneas
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Universidade Federal de Minas Gerais
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Dissertação de mestrado
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Primeiro orientador
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Marcelo Richard Hilario
Rodrigo Geraldo do Couto
Rodrigo Geraldo do Couto
Resumo
Dada uma árvore homogênea de grau (...) e uma densidade inicial de sítios ocupados p, é sabido que existe um ponto (...) para o qual a configuração final do modelo de percolação bootstrap de limiar (...) nessa árvore apresenta duas fases distintas para quase toda configuração inicial: possuirá densidade de vértices ocupados menor que 1 se (...) e estará completamente ocupada se (...). Nesse trabalho, além de mostrarmos esse resultado, estudamos ainda um outro ponto crítico relacionado a esse modelo. Mostramos que existe um ponto (...) que também divide as possíveis configurações finais em dois casos distintos para quase todas as configurações iniciais desse modelo: se (...), teremos a ocorrência de aglomerados infinitos de vértices ocupados e, se (...), nenhum aglomerado infinito é encontrado. Além disso, mostramos que na fase subcrítica (...) a distribuição do tamanho dos aglomerados de sítios ocupados na configuração bootstrap final possui decaimento exponencial e que, ainda nessa configuração final, no valor crítico (...) o tamanho esperado do aglomerado de sítios ocupados é infinito.
Abstract
Given a homogeneous tree with degree (...), and a initial density p of occupied sites, it is known that there exists a point (...) for wich the the final configuration of the bootstrap percolation model with threshold (...) in this tree shows two distinct phases for almost every initial configuration: it will have density of occupied vertices less than (...) and it will be entirely occupied if (...). In this work, besides of showing this result, we study another critical point related to this model. We show that there exists a point (...) which also divides all possible final configurations in two distinct cases for almost every initial configuration of this model: if (...), then we will have the occurrence of infinite clusters of occupied vertices and, if (...), then no infinite cluster can be found. In addition, we show that in the subcritical phase (...), the distribution of the occupied cluster size in the final bootstrapped configuration has an exponetial decay and show that, in this same final configuration, in the critial value (...) the expected occupied cluster size is infinite.
Assunto
Matemática, Percolação de Bootstraps, Probabilidades
Palavras-chave
transição de fase, percolação bootstrap, probabilidade, árvores homogêneas