Adjunções entre categorias de álgebras e extensões de quociente bifinito
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Editor
Universidade Federal de Minas Gerais
Descrição
Tipo
Tese de doutorado
Título alternativo
Adjunctions between categories of algebras and bifinite quotient extensions
Primeiro orientador
Membros da banca
Kostiantyn Lusenko
Edson Ribeiro Alvares
Eduardo do Nascimento Marcos
Lucas Henrique Calixto
Viktor Bekkert
Edson Ribeiro Alvares
Eduardo do Nascimento Marcos
Lucas Henrique Calixto
Viktor Bekkert
Resumo
O objetivo deste trabalho se divide em dois: o estudo de uma correspondência entre aljavas e álgebras através de adjunções e o estudo da conjectura da dimensão finitística de álgebras de dimensão finita por meio de extensões satisfazendo uma condição homológica. Nossa abordagem para o primeiro problema é definir uma correspondência entre a categoria das álgebras pseudocompactas básicas e sua subcategoria plena formada por álgebras A tais que Jn(A) = 0. Por meio de uma relação de equivalência nos morfismos da primeira, estudaremos os adjuntos a A 7→ A/Jn(A) à esquerda para cada inteiro positivo n. Por
exemplo, quando restringimos a n = 2, provaremos que o funtor que associa a cada álgebra a álgebra tensorial completa é o adjunto a F2 à esquerda. Para o segundo problema, dados pares de álgebras de dimensão finita B ⊆ A, controlaremos a dimensão finitística da menor B pela da maior A através de uma condição homológica envolvendo A e B. O principal resultado envolvendo dimensão finitística desta tese é o seguinte: Seja B ⊆ A uma extensão tal que A/B é B-bimódulo de dimensão projetiva finita. Então a dimensão finitística de B é finita sempre que a dimensão finitística de A é finita. Além disso, se a dimensão global de A é finita, então a dimensão global de B também é finita.
Abstract
The objective of this work is divided in two: the study of the correspondence between quivers and algebras via adjunctions and the study of the finitistic dimension conjecture for finite-dimensional algebras, via extensions satisfying homological properties. Our approach to the first problem is to define a correspondence between the category of basic pseudocompact algebras and its full subcategory formed by algebras A such that Jn(A) = 0. Through an equivalence relation on the morphisms of the first, we will study the
left adjuncts to A 7→ A/J2(A) for each positive integer n. For example, when we restrict to n = 2, we will prove that the functor that associates each algebra with the complete tensor algebra is left adjoint to F2. For the second problem, given finite-dimensional algebras B ⊆ A, we will control the finitistic dimension of B in terms of that of A, via a homological condition involving A and B. The main result involving finitistic dimension of this thesis is the following: Let B ⊆ A be an extension such that A/B is B-bimodule of finite projective dimension. Then the finitistic dimension of B is finite whenever the finitistic dimension of A is finite. Furthermore, if the global dimension of A is finite, then the global dimension of B is also finite.
Assunto
Matemática – Teses, Álgebra pseudocompacta – Teses, Dimensão de representação – Teses
Palavras-chave
Álgebra pseudocompacta, adjunção, levantamentos da projeção, conjectura da dimensão finitística, extensões de quociente bifinito