Topological obstructions to the existence of metrics with non-negative or positive scalar curvature and mean convex boundary

Abstract

Neste trabalho vamos estudar a geometria de variedades n-dimensional orient´aveis e compactas com bordo n˜ao-vazio (M, ∂M) tais que existe uma aplica¸c˜ao de grau diferente de zero F : (M, ∂M) → (Σ×T n−2 , ∂Σ×T n−2 ), onde (Σ, ∂Σ) ´e uma superf´ıcie compacta, conexa, orient´avel com bordo n˜ao-vazio e 3 ≤ n ≤ 7. Mostramos que dependendo da topologia de Σ, a existˆencia desta aplica¸c˜ao de grau diferente de zero F ´e uma obstru¸c˜ao topol´ogica para existˆencia de uma m´etrica em M com curvatura escalar positiva ou n˜ao-negativa e bordo mean convexo. Mais precisamente, mostramos que 1. Se Σ n˜ao ´e um disco e nem um cilindro ent˜ao M n˜ao admite uma m´etrica com curvatura escalar n˜ao-negativa e bordo mean convexo. 2. Se Σ n˜ao ´e um disco ent˜ao M n˜ao admite uma m´etrica com curvatura escalar positiva e bordo mean convexo. Al´em disso, toda m´etrica em M com curvatura escalar n˜aonegativa e bordo mean convexo ´e Ricci-flat com bordo totalmente geod´esico.. Por fim, estudamos o caso em que Σ ´e um disco. Neste caso consideramos uma m´etrica g em M com curvatura escalar positiva e bordo mean convexo(isto ´e, RM g > 0 e H∂M g ≥ 0) e definimos FM como sendo o conjunto de todos os discos imersos em M cujos bordos em ∂M s˜ao homotopicamente n˜ao-triviais em ∂M. Mostramos que 1 2 inf R M g A(M, g) + inf H ∂M g L(M, g) ≤ 2π (2) onde A(M, g) = inf Σ∈FM |Σ|g e L(M, g) = inf Σ∈FM |∂Σ|g. Al´em disso, se ∂M ´e totalmente geod´esico e vale a igualdade em (2), ent˜ao o recobrimento universal de (M, g) ´e isom´etrico a (R n×Σ0, δ+g0), onde δ ´e a m´etrica canˆonica de R n e (Σ0, g0) v vi ´e um disco com curvatura Gaussiana constante 1 2 inf RM g e ∂Σ0 tem curvatura geod´esica nula em (Σ0, g0).