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http://hdl.handle.net/1843/34607
Type: | Tese |
Title: | Dois resultados em bilhares em superfícies com curvatura constante |
Authors: | Cláudia Pires Ferreira |
First Advisor: | Sônia Pinto de Carvalho |
First Co-advisor: | Sylvie Marie Oliffson Kamphorst Leal da Silva |
First Referee: | Javier Alexis Correa Mayobre |
Second Referee: | José Barbosa Gomes |
Third Referee: | Karina Daniela Marin |
metadata.dc.contributor.referee4: | Luciano Coutinho dos Santos |
metadata.dc.contributor.referee5: | Rafael Ramirez-Ros |
Abstract: | Neste trabalho estendemos alguns resultados sobre bilhares planos ao plano hiperbólico e a um hemisfério da esfera. Na primeira parte consideramos o bilhar definido na região delimitada por uma curva fechada e geodesicamente estritamente convexa. Estudando a entropia polinomial desses bilhares provamos que a aplicação do bilhar circular tem entropia polinomial igual a 1, enquanto que os outros bilhares têm entropia polinomial >=2. Em particular, provamos que o bilhar elíptico e não circular tem entropia polinomial igual a 2. As principais ferramentas utilizadas foram a integrabilidade dos bilhares circulares e elípticos em superfícies com curvatura constante, a propriedade Twist destes bilhares e uma generalização das técnicas aplicadas por Marco [27] para calcular entropia polinomial. Na segunda parte do trabalho, consideramos bilhares em mesas tipo estádios focalizadores e mostramos que, quando as partes focalizadoras são ligadas por segmentos geodésicos suficientemente longos, a aplicação de bilhar tem expoente de Lyapunov positivo em quase todo ponto. As principais ferramentas utilizadas foram uma versão do Teorema de Wojtkowski [40] do método dos campos de cones e uma generalização da construção dos campos de cones apresentadas por Donnay [14]. Finalizamos esta parte estudando o bilhar no estádio circular no plano hiperbólico. |
Abstract: | In this work we extend some results about plane billiards to the hyperbolic plane and to ahemisphere of the sphere. First we consider billiards defined in the region bounded by a closed and geodesically strictly convex curve. Studying the polynomial entropy of these billiards we prove that the circular billiard map has polynomial entropy equal to 1, while other billiards have polynomial entropy >=2. In particular, we prove that the elliptical billiard has polynomial entropy equal to 2. The main tools used were the integrability of circular and elliptical billiards on surfaces with constant curvature, the Twist property of those billiard maps and a generalization of the techniques applied by Marco [27] to calculate polynomial entropy. In the second part of the work, we consider stadium-like billiard tables and show that, when the focusing parts are connected by sufficiently long geodesic segments, the billiard map has a positive Lyapunov exponent almost everywhere. The main tools used were a Wojtkowski's version [40] of the cone field method and a generalization of the construction of the cone fields presented by Donnay [14]. We finish this part by studying the circular stadium billiard in the hyperbolic plane. |
Subject: | Matemática – Teses Superficies de curvatura constante – Teses Liapunov, Funções de – Teses. |
language: | por |
metadata.dc.publisher.country: | Brasil |
Publisher: | Universidade Federal de Minas Gerais |
Publisher Initials: | UFMG |
metadata.dc.publisher.department: | ICX - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA |
metadata.dc.publisher.program: | Programa de Pós-Graduação em Matemática |
Rights: | Acesso Aberto |
URI: | http://hdl.handle.net/1843/34607 |
Issue Date: | 19-Aug-2020 |
Appears in Collections: | Teses de Doutorado |
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