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http://hdl.handle.net/1843/40367
Type: | Tese |
Title: | Some topics on finite fields |
Other Titles: | Alguns tópicos sobre corpos finitos |
Authors: | José Alves Oliveira |
First Advisor: | Fabio Enrique Brochero Martínez |
First Referee: | Claudio Michael Qureshi Valdez |
Second Referee: | Cícero Fernandes de Carvalho |
Third Referee: | Daniel Nelson Panario |
metadata.dc.contributor.referee4: | Herivelto Marins Borges Filho |
metadata.dc.contributor.referee5: | Lucas da Silva Reis |
Abstract: | In this work, we study some theoretical problems in the theory of finite fields that are of interest for a number of applications, such as in coding theory, cryptography and related areas. In particular, we study the number of rational points on hypersurfaces and present bounds for such numbers and explicit formulas in the cases where certain conditions are satisfied. For some of these hypersurfaces, we also provide conditions for the maximality and minimality of the number of rational points with respect to Weil's bound. Another topic of interest in this thesis is the iteration of maps over fields. For example, we study the functional graph associated to the iteration of polynomial maps over finite fields. We also study the number of solutions of the equation $R^{(n)}(x)=\alpha$ over $\overline{\mathbb{F}}_q$ for a rational function $R$. The last topic in the thesis contains a study of code rank metric codes arising from linearized polynomials over $\mathbb{F}_q$, the so called twisted Gabidulin codes. |
Abstract: | Neste trabalho, nós estudamos alguns problemas teóricos na teoria de corpos finitos e que são de interesse para várias aplicações, bem como em teoria de códigos, criptografia e áreas relacionadas. Em particular, nós estudamos o número de pontos racionais sobre hipersuperfícies e apresentamos cotas para tais números e fórmulas explícitas nos casos em que certas condições são satisfeitas. Para algumas dessas hipersuperfícies, nós também apresentamos condições para a maximalidade e minimalidade do número de pontos com respeito à cota de Weil. Outro tópico de interesse nessa tese é a interação de polinômios sobre corpos. Por exemplo, nós estudamos o grafo funcional associado à iteração de polinômios sobre corpos finitos. Nós também estudamos o número de soluções da equação $R^{(n)}(x)=\alpha$ sobre $\overline{\mathbb{F}}_q$ para uma função racional $R$. O último tópico dessa tese contém o estudo de códigos com métrica de posto que são construídos com polinômios linearizados sobre $\mathbb{F}_q$ os chamados códigos Gabidulin retorcidos. |
Subject: | Matemática – Teses Corpos finitos (Álgebra) -Teses Hipersuperfícies – Teses Somas de Gauss – Teses Curvas algébricas – Teses |
language: | eng |
metadata.dc.publisher.country: | Brasil |
Publisher: | Universidade Federal de Minas Gerais |
Publisher Initials: | UFMG |
metadata.dc.publisher.department: | ICEX - INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS |
metadata.dc.publisher.program: | Programa de Pós-Graduação em Matemática |
Rights: | Acesso Aberto |
metadata.dc.rights.uri: | http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/pt/ |
URI: | http://hdl.handle.net/1843/40367 |
Issue Date: | 26-Jan-2022 |
Appears in Collections: | Teses de Doutorado |
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