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http://hdl.handle.net/1843/50999
Type: | Tese |
Title: | On the phase transition for some percolation models in random environments |
Other Titles: | A transição de fase para alguns modelos de percolação em ambientes aleatórios |
Authors: | Marcos Vinícius Araújo Sá |
First Advisor: | Remy de Paiva Sanchis |
metadata.dc.contributor.advisor2: | Marcelo Richard Hilário |
First Referee: | Augusto Quadros Teixeira |
Second Referee: | Glauco Valle da Silva Coelho |
Third Referee: | Hubert Lacoin |
metadata.dc.contributor.referee4: | Paulo Cupertino de Lima |
Abstract: | In this thesis we consider two percolation models in random environments and we are interested in their phase transition phenomenon. The first percolation model we study is defined on the cubic lattice featuring columnar disorder. This model is defined in two steps: first the vertical columns of $\mathbb{Z}^3$ are removed independently with probability $1-\rho$ and, in the second step, the bonds connecting sites in the remaining sub-lattice are declared open with probability $p$, independently. Our result shows that there exists $\delta>0$ such that $p_c(\rho)<1/2-\delta$ for any $\rho>\rho_c$, where $\rho_c$ denotes the critical point of site percolation in $\mathbb{Z}^2$. The second model is defined on a horizontally stretched square lattice, which is a generalized version of $\mathbb{Z}^2_+$ obtained by stretching the distances between its columns according to a positive random variable $\xi$. In this model the probability of a bond being declared open will decay exponentially according to its length. Our result shows the existence of a phase transition when $\mathbb{E}(\xi^\eta)<\infty$, for some $\eta>1$, and the absence of phase transition when $\mathbb{E}(\xi^\eta)=\infty$ for some $\eta<1$. |
Abstract: | Nesta tese nós consideramos dois modelos de percolação em ambientes aleatórios e estamos interessados em seus fenômenos de transição de fase. O primeiro modelo de percolação estudado é na rede cúbica apresentando desordem colunar. Este modelo é definido em dois passos: primeiro as colunas verticais de $\mathbb{Z}^3$ são removidas independentemente com probabilidade $1-\rho$ e, no segundo passo, os elos conectando sítios na sub-rede remanescente são declarados abertos com probabilidade $p$ de modo independente. Nosso resultado mostra que existe $\delta>0$ tal que o ponto crítico $p_c(\rho)<1/2-\delta$ para todo $\rho>\rho_c$, onde $\rho_c$ denota o ponto crítico da percolação de sítios em $\mathbb{Z}^2$. O segundo modelo é na rede quadrada esticada horizontalmente, que consiste de uma versão generalizada de $\mathbb{Z}^2_+$ obtida ao se esticar a distância entre suas colunas, segundo uma variável aleatória positiva $\xi$. Neste modelo a probabilidade de um elo ser declarado aberto decairá exponencialmente segundo seu comprimento. Nosso resultado mostra a existência da transição de fase quando $\mathbb{E}(\xi^\eta)<\infty$, para algum $\eta>1$, e a ausência quando $\mathbb{E}(\xi^\eta)=\infty$, para algum $\eta<1$. |
Subject: | Matemática – Teses Percolação – Teses Transição de fase – Teses Campos aleatórios – Teses Grupo de renormalização– Teses |
language: | eng |
metadata.dc.publisher.country: | Brasil |
Publisher: | Universidade Federal de Minas Gerais |
Publisher Initials: | UFMG |
metadata.dc.publisher.department: | ICX - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA |
metadata.dc.publisher.program: | Programa de Pós-Graduação em Matemática |
Rights: | Acesso Aberto |
URI: | http://hdl.handle.net/1843/50999 |
Issue Date: | 22-Nov-2019 |
Appears in Collections: | Teses de Doutorado |
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