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http://hdl.handle.net/1843/53869
Type: | Tese |
Title: | Índice do catenoide capilar imerso na bola unitária Euclidiana |
Authors: | Wilson Berrocal Meza |
First Advisor: | Ezequiel Rodrigues Barbosa |
First Referee: | Allan George de Carvalho Freitas |
Second Referee: | Celso dos Santos Viana |
Third Referee: | Emerson Alves Mendonça de Abreu |
metadata.dc.contributor.referee4: | Marcos Petrúcio de Almeida Calvalcante |
Abstract: | Esta tese consiste de vários resultados sobre hipersuperfícies mínimas capilares contidas na bola unitária Euclidiana $\mathbb{B}_{1}^{n+1}(0)$. Na primeira parte, estudamos o índice de Morse das catenoides capilares contidas na bola Euclidiana $\mathbb{B}_{1}^{3}(0)$. Nós provamos que, se $\Sigma_{c}$ é uma catenoide capilar contida em $\mathbb{B}_{1}^{3}(0)$ onde $c$ é constante de capilaridade, então o índice de Morse de $\Sigma_{c}$ está entre 3 e 7 ($3\leq\Ind(\Sigma_{c})\leq 7$). Além disso, obtemos que qualquer catenoide capilar com ângulo de contato próximo de $\frac{\pi}{2}$ possui índice de Morse igual a 4, assim como a catenoide crítica. Também, verificamos que não existe catenoide capilar na bola unitária com ângulo de contato menor que $\widetilde{\theta}\approx 1.3421$. Para encontrarmos nossa estimativa do índice das catenoides capilares, focamos na análise de dois problemas de autovalores mais simples associados à nossa superfície mínima capilar (Jacobi-Steklov e bordo fixo). Na segunda parte, mostramos alguns resultados de classificação de hipersuperfícies mínimas capilares considerando que as funções coordenadas da aplicação normal de Gauss são autofunções de Jacobi-Steklov. Para $n=2$, mostramos que, se algum dos autovalores associados às funções coordenadas da aplicação normal de Gauss é zero, então a superfícies é um disco totalmente geodésico. Ainda para $n=2$, provamos que, se dois autovalores associadas às funções coordenadas da aplicação normal de Gauss são iguais e diferentes de zero, então a superfícies é uma catenoide capilar. Na última parte, encontramos duas identidades integrais que nos permitir apresentar uma prova diferente do seguinte resultado que já foi mostrado por outros autores: se $\Sigma^{n}$ é uma hipersuperfície estacionária estável de tipo-II(estabilidade no espaço de funções que têm média zero no bordo) na bola unitária, então $\Sigma^{n}$ é um $n$-disco totalmente geodésico. |
Abstract: | This thesis consists of several results on minimal capillary hypersurfaces contained in the Euclidean unit ball $\mathbb{B}_{1}^{n+1}(0)$. In the first part, we studied the Morse index of the capillary catenoids contained in the Euclidean ball $\mathbb{B}_{1}^{3}(0)$. We prove that, if $\Sigma_{c}$ is a capillary catenoid contained in $\mathbb{B}_{1}^{3}(0)$ where $c$ is the capillary constant, then the Morse index of $\Sigma_{c}$ is between 3 and 7 ($3\leq\Ind(\Sigma_{c})\leq 7$). Furthermore, we obtain that any capillary catenoid with a contact angle close to $\frac{\pi}{2}$ a Morse index equal to 4, as does the critical catenoid. Also, we verify that there is no capillary catenoid in the unit ball with a contact angle less than $\widetilde{\theta}\approx 1.3421$. To find our estimate of the capillary catenoid index, we focused on the analysis of two simpler eigenvalue problems associated with our minimal capillary surface (Jacobi-Steklov and fixed boundary). In the second part, we show some results of classification of minimal capillary hypersurfaces considering that the coordinate functions of the Gauss map are Jacobi-Steklov eigenfunctions. For $n=2$, we show that, if any of the eigenvalues associated with the coordinate functions of the Gauss map is zero, then the surface is a totally geodesic disk. Still for $n=2$, we prove that, if two eigenvalues associated with the coordinate functions of the Gauss map are equal and different from zero, then the surface is a capillary catenoid. In the last part, we find two integral identities that allow us to present a different proof of the following result that has already been shown by other authors: if $\Sigma^{n}$ is a type-II stable stationary hypersurface(stability in the space of functions that have zero mean on the boundary) on the unit ball, then $\Sigma^{n}$ is a totally geodesic $n$-disk. |
Subject: | Matemática – Teses Hipersuperficies – Teses Índice de Morse – Teses Aplicação de Gauss – Teses |
language: | por |
metadata.dc.publisher.country: | Brasil |
Publisher: | Universidade Federal de Minas Gerais |
Publisher Initials: | UFMG |
metadata.dc.publisher.department: | ICX - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA |
metadata.dc.publisher.program: | Programa de Pós-Graduação em Matemática |
Rights: | Acesso Aberto |
URI: | http://hdl.handle.net/1843/53869 |
Issue Date: | 2-Dec-2022 |
Appears in Collections: | Teses de Doutorado |
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