A comparison analysis of using different numerical representations in digital chaotic maps

Abstract

Mapas caóticos digitais vêm sendo bastante utilizados no meio científico, a exemplo de aplicações envolvendo simulação de Monte Carlo e geração de números pseudoaleatórios. Contudo, sabe-se que o uso de uma representação finita faz com que mapas caóticos digitais apresentem necessariamente órbitas periódicas que degeneram suas propriedades caóticas. Além disso, nota-se, também, que há na literatura um número significativo de trabalhos que propõem métodos para mitigar o processo de degradação do caos. Por exemplo, pode-se utilizar um registrador de deslocamento com realimentação linear como uma fonte de perturbação para esses sistemas. No entanto, poucos estudos visam a analisar o impacto do uso de diferentes representações numéricas no processo de degradação do caos em mapas caóticos digitais. Dado isso, este trabalho propõe uma arquitetura de hardware utilizando o formato HUB (Half Unit Bias), em ponto fixo, que acopla o mapa tenda com o mapa de Bernoulli e que apresenta propriedades pseudoaletórias, sendo que, para tal arquitetura, foi realizada uma análise comparando o uso do formato HUB com relação a representação padrão em ponto fixo. Além disso, este trabalho também propõe uma implementação, em software, de um novo sistema baseado no mapa seno que, usando a representação posit, utiliza inferência fuzzy de Sugeno para aproximar a função senoidal. Com isso, para tal sistema em software, também é proposta uma análise que compara a influência do uso da representação posit em relação a representação padrão IEEE 754 em ponto flutuante. Em ambos os sistemas propostos, a análise comparativa feita acerca das representações numéricas adotadas foi realizada tendo-se por base, sobretudo, propriedades caóticas e pseudoaleatórias dos sistemas, por meio de métricas como, por exemplo, o expoente de Lyapunov e a suíte de testes do NIST SP 800-22, que consiste em um conjunto de testes estatísticos para geradores de números pseudoaleatórios (PRNGs). Resultados mostram que, para a arquitetura de hardware proposta, a representação em ponto fixo que usa o formato HUB consome menos recursos em hardware e que ela pôde fazer com que o sistema não entrasse em pontos fixos de anulação de caos. Para o sistema baseado no mapa seno, foi constatado que, pelo fato da representação posit possuir uma maior entropia por bit, tal representação foi capaz de ter melhores resultados, em termos de pseudoaleatoriedade, quando comparada com a implementação usando o formato IEEE 754 em ponto flutuante. Ademais, ambos os sistemas propostos passaram em todos os testes do NIST SP 800-22, o que evidencia, portanto, que eles podem ser usados como um PRNG.