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http://hdl.handle.net/1843/74891
Tipo: | Dissertação |
Título: | Um passeio aleatório com catástrofes |
Autor(es): | Carlos Henrique Santos |
primer Tutor: | Roger William Câmara Silva |
primer miembro del tribunal : | Sokol Ndreca |
Segundo miembro del tribunal: | Pablo Almeida Gomes |
Resumen: | Dissertamos sobre os resultados e demonstrações do artigo [3], no qual os autores estudaram uma classe de modelos para crescimento populacional com catástrofes. Do ponto de vista matemático, esse tipo de modelo pode ser entendido como um passeio aleatório nos inteiros não negativos, cujas probabilidades de transições dependem do estado. O formidável dessa classe de passeios aleatórios é a sua estabilidade. De fato, uma classe ainda maior de passeios aleatórios são estáveis, veja [19]. Em acordo com o roteiro de [3], mostramos a recorrência positiva desse passeio e explicitamos a sua distribuição estacionária. Comentamos sobre a forte estabilidade desse processo. Logo após definimos um profícuo acoplamento para a cadeia de Markov, o qual utilizamos à exaustão para provar muitos resultados. Estabelecemos cotas inferiores e superiores para a distância em variação total, analisando o comportamento da convergência para a estacionariedade desse processo. Após essa análise, conseguimos discutir o principal resultado, segundo os próprios autores, de [3]: A classe de modelos apresenta o fenômeno de cutoff. O principal desafio na prova desse resultado é que o acoplamento definido fornece cotas para a distância em variação total apenas considerando os estados inciais fixados, sendo o espaço de estados dessa cadeia infinito enumerável. Por fim, apresentamos alguns outros resultados interessantes, como a dependência logarítmica entre o estado inicial e o tempo de primeira extinção do processo. |
Abstract: | We discussed upon the results and proofs of the article [3], in which the authors studied a class of models for populations growth with catastrophes. From a mathematical point of view, this kind of model can be understood as a random walk in non-negative integers, whose transition probabilities are state depend. The formidable thing about this class of random walks is their stability. In fact, an even larger class of random walks are stable, see [19]. In accordance with [3]'s script, we proof the positive recurrence of this random walk and explain its stationary distribution. We commented on the strong stability of this process. Soon after, we defined a useful coupling for this Markov chain, which we used extensively to prove many results. We established lower and upper bounds for the distance in total variation, analyzing the behavior of convergence towards stationarity of this process. After this analysis we were able to discuss the main result, according to the authors themselves, of [3]: The class of models presents the phenomenon of cutoff. The main challenge in proving this result is that the defined coupling provides quotas for the distance in total variation only considering the fixed initial states, and the state space of this chain is countable. Finally, we present some other interesting results, such as the logarithmic dependence between the initial state and the time of first extinction of the process. |
Asunto: | Estatística – Teses Markov, Campos aleatórios de – Teses Catástrofes (Matemática) – Teses Modelo de população estável – Teses |
Idioma: | por |
País: | Brasil |
Editor: | Universidade Federal de Minas Gerais |
Sigla da Institución: | UFMG |
Departamento: | ICX - DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA |
Curso: | Programa de Pós-Graduação em Estatística |
Tipo de acceso: | Acesso Aberto |
metadata.dc.rights.uri: | http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/pt/ |
URI: | http://hdl.handle.net/1843/74891 |
Fecha del documento: | 4-jun-2024 |
Aparece en las colecciones: | Dissertações de Mestrado |
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