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http://hdl.handle.net/1843/76804
Tipo: | Tese |
Título: | Diophantine equations over finite fields and applications |
Título(s) alternativo(s): | Equações diofantinas sobre corpos finitos e aplicações |
Autor(es): | José Gustavo Coelho |
Primeiro Orientador: | Fabio Enrique Brochero Martínez |
Primeiro membro da banca : | Alonso Sepúlveda Castellanos |
Segundo membro da banca: | José Alves Oliveira |
Terceiro membro da banca: | Osnel Broche Cristo |
Quarto membro da banca: | Victor Gonzalo Lopez Neumann |
Resumo: | A primeira parte desta tese foca-se em contar o número de soluções de equações diofantinas sobre corpos finitos para famílias que estão intimamente relacionadas com equações diagonais, apresentando resultados significativos nesta área. A segunda parte da tese está centrada na contagem de palavras-código de baixo peso em códigos cíclicos, apresentando alguns resultados novos. O capítulo introdutório estabelece as bases, introduzindo conceitos fundamentais que servem de fundamento para os capítulos subsequentes. O Capítulo 2 estuda polinômios completamente triangulares, caracterizados por expressões da forma \begin{equation*} f(x_1, \dots, x_n) = a_1 x_1^{d_{1,1}} + a_2 x_1^{d_{1,2}} x_2^{d_{2,2}} + \dots + a_n x_1^{d_{1,n}}\cdots x_n^{d_{n,n}} - b, \end{equation*} onde $a_i \in \F_q^*$ e $b \in \F_q$, com $d_{i,j} > 0$ para todo $1 \leq i \leq j \leq n$. Para esses polinômios, são derivadas fórmulas explícitas para a contagem do número de soluções sob condições aritméticas que os relacionam com polinômios diagonais de graus 1 e 2. O Capítulo 3 desloca o foco para polinômios completos, definidos como \begin{equation*} f(x_1, \dots, x_n) = a_1 x_1^{d_{1,1}} \cdots x_n^{d_{1,n}} + \dots + a_s x_1^{d_{s,1}}\cdots x_n^{d_{s,n}} - b, \end{equation*} onde $a_i \in \F_q^*$ e $b \in \F_q$, com $d_{i,j} > 0$ para $1 < i, j < n$. Este capítulo investiga a contagem de soluções para esses polinômios quando eles estão relacionados a polinômios diagonais da forma $$g(x_1, \dots, x_s) = a_1 x_1^d + \cdots + a_s x_s^d - b,$$ onde $n \ge s$, e os expoentes e coeficientes estão sujeitos a certas condições aritméticas. Finalmente, no Capítulo 4, apresentamos vários resultados sobre palavras-código de peso $2$ e $3$ em códigos cíclicos, junto com um teorema que relaciona a contagem de soluções de sistemas de equações diagonais sobre corpos finitos com característica $2$ à distribuição de peso dos códigos cíclicos binários correspondentes. O Capítulo 2 baseia-se no conteúdo do nosso artigo publicado, enquanto os capítulos 3 e 4 apresentam o conteúdo de artigos que ainda não foram publicados. No anexo, apresentamos comandos do SageMath usados para criar e verificar os exemplos que são discutidos ao longo da tese. |
Abstract: | The first part of this thesis focuses on counting the number of solutions to Diophantine equations over finite fields for families that are closely related to diagonal equations, presenting significant results in this area. The second part of the thesis is centered on counting low-weight codewords in cyclic codes, presenting some novel results. The introductory chapter lays the groundwork by introducing fundamental concepts that serve as the basis for the subsequent chapters. Chapter 2 studies fully triangular polynomials, characterized by expressions of the form \begin{equation*} f(x_1, \dots, x_n) = a_1 x_1^{d_{1,1}} + a_2 x_1^{d_{1,2}} x_2^{d_{2,2}} + \dots + a_n x_1^{d_{1,n}}\cdots x_n^{d_{n,n}} - b, \end{equation*} where $a_i \in \F_q^*$ and $b \in \F_q$, with $d_{i,j} > 0$ for all $1 \leq i \leq j \leq n$. For these polynomials, explicit formulas for counting the number of solutions are derived under arithmetic conditions that relate them to diagonal polynomials of degrees 1 and 2. Chapter 3 shifts the focus to full polynomials, defined as \begin{equation*} f(x_1, \dots, x_n) = a_1 x_1^{d_{1,1}} \cdots x_n^{d_{1,n}} + \dots + a_s x_1^{d_{s,1}}\cdots x_n^{d_{s,n}} - b, \end{equation*} where $a_i \in \F_q^*$ and $b \in \F_q$, with $d_{i,j} > 0$ for $1 < i, j < n$. This chapter investigates the solution count for these polynomials when they are related to diagonal polynomials of the form $$g(x_1, \dots, x_s) = a_1 x_1^d + \cdots + a_s x_s^d - b,$$ where $n \ge s$, and the exponents and coefficients are subject to certain arithmetic conditions. Lastly, in Chapter 4 we produce many results concerning weight $2$ and $3$ codewords in cyclic codes, along with a theorem linking the solution count of systems of diagonal equations over finite fields with characteristic $2$ to the weight distribution of corresponding binary cyclic codes. Chapter 2 is based on the contents of our published paper, while chapters 3 and 4 present the contents of articles that are yet to be published. In the annex, we present SageMath commands used to create and verify the examples that are discussed throughout the thesis. |
Assunto: | Matemática - Teses Corpos finitos (Álgebra) - Teses Equações diofantinas – Teses |
Idioma: | eng |
País: | Brasil |
Editor: | Universidade Federal de Minas Gerais |
Sigla da Instituição: | UFMG |
Departamento: | ICEX - INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS |
Curso: | Programa de Pós-Graduação em Matemática |
Tipo de Acesso: | Acesso Aberto |
URI: | http://hdl.handle.net/1843/76804 |
Data do documento: | 2-Ago-2024 |
Aparece nas coleções: | Teses de Doutorado |
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Arquivo | Descrição | Tamanho | Formato | |
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Thesis 30-08-2024 v2.pdf | Tese | 687.03 kB | Adobe PDF | Visualizar/Abrir |
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