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http://hdl.handle.net/1843/EABA-AY5FST| Type: | Tese de Doutorado |
| Title: | Characteristically simple subgroups of quasiprimitive permutation groups |
| Authors: | Pedro Henrique Pereira Daldegan |
| First Advisor: | Csaba Schneider |
| First Referee: | Ana Cristina Vieira |
| Second Referee: | John William Macquarrie |
| Third Referee: | Carmela Sica |
| metadata.dc.contributor.referee4: | Cristina Acciarri |
| metadata.dc.contributor.referee5: | Martino Garonzi |
| Abstract: | O Teorema de ONan-Scott classifica os grupos de permutações primitivos finitos dividindo-os em classes, de acordo com a estrutura de seus subgrupos normais minimais [25]. Um importante resultado nesta classificação é que todo grupo de permutações admite no máximo dois subgrupos normais minimais transitivos distintos [8, Lemma 5.1]. Um grupo de permutações é dito quase-primitivo se todos os seus subgrupos normais não triviais são transitivos. Por exemplo, todo grupo de permutações primitivo é quase-primitivo, mas visto que um grupo simples transitivo ´e sempre quase-primitivo, mas nem sempre primitivo, a classe dos grupos quase- primitivos ´e estritamente maior que a classe dos grupos primitivos.Grupos de permuta¸coes quase-primitivos finitos foram caracterizados por Praeger em [28]. Neste artigo Praeger mostrou que os grupos quase-primitivos podem ser classificados similarmente à classificação dos grupos primitivos. O problema de inclusão para um grupo de permutações H almeja determinar os possíveis subgrupos (quase-primitivos ou primitivos) do grupo simétrico que contenham H. Tal problema possui um número importante de aplicações em teoria de grupos, combinatória algébrica e teoria algébrica de grafos. Por exemplo, é uma situação comum em combinatória algébrica sabermos uma parte do grupo de automorfismos de uma estrutura combinatória, por exemplo um grafo de Cayley, e queremos determinar um grupo de automorfismos maior que pode ser quase-primitivo ou primitivo. O estudo do problema de inclusão é possível visto que há informações detalhadas sobre as fatoracões de grupos simples não abelianos finitos. Alguns resultados gerais sobre tais fatoraçõoes podem ser encontrados em [1, 26]. Neste trabalho descrevemos todas as inclusões H G tais que H é um grupo caracteristicamente simples, não abeliano e transitivo, e G é um grupo de permutações finito quase-primitivo com socle não abeliano. A este tipo de inclusão damos o nome de inclusão CharS-QP. Tais inclusões ocorrem naturalmente, por exemplo quando tomamos um grupo quase-primitivo finito G que possui um subgrupo normal minimal não abeliano S. Se denotarmos por soc(G) o socle de G, tanto S G quanto soc(G) G são inclusões CharS-QP. Ao tratar esse problema, nosso primeiro passo foi imergir explicitamente, sob algumas hipóteses, um grupo de permutaçõoes quase-primitivo em um produto entrelaçado com a ação produto, de forma que tal imersão fosse permutacional. Teorema 1. (Teorema de Imersão) Sejam G um grupo de permutações quase- primitivo em e . Assumamos as seguintes condições: 1.S = Q1 × · · · × Qr é um subgrupo normal minimal de G, em que cada Qi é caracteristicamente simples e não abeliano, e r 2. 2.G age transitivamente em {Q1, . . . , Qr} por conjuga¸cao. 3.Consideremos as projeções i : S Qi, e assumamos que S = (S1) × · · · × (Sr). Se considerarmos := [Q1 : (Q1)], então existe uma imersão permutacional : G Sym() wr Sr, em que consideramos o produto entrela¸cado como um grupo de permutações agindo com a ação produto em r. O resultado acima é um dos pontos-chave para demonstrar nosso segundo resultado.Teorema 2. (Teorema principal) Seja H G uma inclusao CharS-QP, tal que soc(G) é não abeliano. Então H soc(G). Com o intuito de entender melhor as inclusões do teorema principal, atacamos o problema analisando separadamente cada uma das classes de ONan-Scott (Capítulo 7). Tais resultados dependem fortemente da fatoração de grupos simples, bem como do teorema de classificação dos grupos simples finitos. |
| Abstract: | We say that G (..) Sym(..) is transitive if G has just one orbit on , namely (..). If G is transitive on (..) and the only partitions of (..) preserved by G are (..) and (..), then we say that G is primitive. The O'Nan-Scott Theorem [25] classifies the finite primitive permutation groups by dividing them into classes, according to the structure of their minimal normal subgroups. An important result in this classification is that every permutation group admits at most two distinct transitive minimal normal subgroups [8, Lemma 5.1]. A permutation group is quasiprimitive if all its nontrivial normal subgroups are transitive. For example, all primitive permutation groups are quasiprimitive. Finite quasiprimitive groups were characterized by Cheryl Praeger [28], who showed that they can be classified similarly to the O'Nan-Scott classification of finite primitive permutation groups. The inclusion problem for a permutation group H asks to determine the possible (primitive or quasiprimitive) subgroups of the symmetric group that contain H. In other words, given a permutation group H (..) Sym(..), we are asking about its overgroups. For instance, it is a common situation in algebraic combinatorics that we know a part of the group of automorphisms of a combinatorial structure (for example, a Cayley graph) and we wish to determine a larger automorphism group which may be primitive or quasiprimitive. In this work we describe all inclusions H (..) G such that H is a transitive nonabelian characteristically simple group and G is a finite primitive or quasiprimitive permutation group with nonabelian socle. The study of these inclusions is possible since we have detailed information concerning factorizations of finitenonabelian simple groups. For this reason, many of the results presented here rely on the classification of finite simple groups, specially chapters 4 and 7. |
| Subject: | Matemática Grupos de permutação Teoria dos grupos |
| language: | Inglês |
| Publisher: | Universidade Federal de Minas Gerais |
| Publisher Initials: | UFMG |
| Rights: | Acesso Aberto |
| URI: | http://hdl.handle.net/1843/EABA-AY5FST |
| Issue Date: | 6-Apr-2018 |
| Appears in Collections: | Teses de Doutorado |
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